الرياضيات

1. 1.

   أوجد النقطتين الساكنتين للدالة f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 وصنّفهما.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. النقاط الساكنة ميلها صفر. اشتق وحل المعادلة التربيعية ثم عوّض في الدالة الأصلية قبل التصنيف.
   2. f'(x) = 3x^2 - 6x - 9.
   3. من 3(x - 3)(x + 1) = 0 نحصل على x = 3 وx = -1.
   4. النقطتان هما (3, -22) و(-1, 10).
   5. f''(x) = 6x - 6: النقطة (-1, 10) عظمى محلية و(3, -22) صغرى محلية.

   نقاط التصحيح

   • f'(x) = 3x^2 - 6x - 9.
   • من 3(x - 3)(x + 1) = 0 نحصل على x = 3 وx = -1.
   • النقطتان هما (3, -22) و(-1, 10).
   • f''(x) = 6x - 6: النقطة (-1, 10) عظمى محلية و(3, -22) صغرى محلية.

   ملاحظة الفاحص: المشتقة الأولى الصفرية تحدد نقطة مرشحة لا نوعها. استخدم المشتقة الثانية أو تغير الإشارة.

2. 2.

   حل ln(x - 1) + ln(x + 1) = ln(8) مع تحديد قيد المجال.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. حدد مجال اللوغاريتم قبل جمعهما. يجب أن يكون كلا الداخلين موجباً تماماً.
   2. يشترط اللوغاريتمان x > 1.
   3. ln((x - 1)(x + 1)) = ln(8)، إذن x^2 - 1 = 8.
   4. x = 3؛ نرفض x = -3 لأنه خارج المجال.

   نقاط التصحيح

   • يشترط اللوغاريتمان x > 1.
   • ln((x - 1)(x + 1)) = ln(8)، إذن x^2 - 1 = 8.
   • x = 3؛ نرفض x = -3 لأنه خارج المجال.

   ملاحظة الفاحص: تحقق من الحلول في اللوغاريتمات الأصلية؛ قد ينتج التربيع جذراً غير مقبول.

3. 3.

   يتبع X توزيعاً ثنائي الحدين حيث n = 5 وp = 0.4. احسب P(X = 2) واذكر افتراضين للنموذج.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اختر المحاولتين الناجحتين ثم اضرب احتمالات النجاح والفشل لهذا النمط.
   2. P(X = 2) = C(5, 2)(0.4)^2(0.6)^3.
   3. الاحتمال هو 0.3456.
   4. المحاولات مستقلة.
   5. لكل محاولة نتيجتان واحتمال نجاح ثابت.

   نقاط التصحيح

   • P(X = 2) = C(5, 2)(0.4)^2(0.6)^3.
   • الاحتمال هو 0.3456.
   • المحاولات مستقلة.
   • لكل محاولة نتيجتان واحتمال نجاح ثابت.

   ملاحظة الفاحص: استخدم نجاحين بالضبط لا نجاحين على الأقل. الاستقلال وثبات p افتراضان للنموذج.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.