الرياضيات AA: المستوى العالي
الأعداد والجبر — الموضوع 1
- 1.
بالنظر إلى z₁ = 3 + 2i وz₂ = 1 − 4i، احسب z₁ + z₂ وz₁z₂، مع كتابة كل إجابة بالصورة a + bi.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى z₁ = 3 + 2i وz₂ = 1 − 4i، احسب z₁ + z₂ وz₁z₂، مع كتابة كل إجابة بالصورة a + bi.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع الجزأين الحقيقي والتخيلي كلاً على حدة للحصول على z₁ + z₂ = 4 − 2i.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 3.
اكتب العدد z = −2 + 2√3 i بالصيغة القطبية r(cos θ + i sin θ)، مع كتابة r وθ بدقة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اكتب العدد z = −2 + 2√3 i بالصيغة القطبية r(cos θ + i sin θ)، مع كتابة r وθ بدقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب r = |z| = √((−2)² + (2√3)²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 5.
حل المعادلة التربيعية z² − 4z + 13 = 0، مع كتابة كلا الجذرين بالصورة a + bi.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة التربيعية z² − 4z + 13 = 0، مع كتابة كلا الجذرين بالصورة a + bi.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام القانون العام z = [4 ± √(16 − 52)]/2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 7.
بالنظر إلى z = 2(cos 30° + i sin 30°)، استخدم نظرية دي موافر لإيجاد z⁶ بالصورة a + bi.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى z = 2(cos 30° + i sin 30°)، استخدم نظرية دي موافر لإيجاد z⁶ بالصورة a + bi.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة نظرية دي موافر zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 9.
أوجد الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد z = 8i، مع كتابة كل جذر بالصورة r(cos θ + i sin θ) حيث 0 ≤ θ < 360°.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد z = 8i، مع كتابة كل جذر بالصورة r(cos θ + i sin θ) حيث 0 ≤ θ < 360°.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة z بالصيغة القطبية: 8i = 8(cos 90° + i sin 90°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 11.
أثبت بالاستقراء الرياضي أن 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 لكل عدد صحيح موجب n.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت بالاستقراء الرياضي أن 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 لكل عدد صحيح موجب n.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحالة الأساسية n = 1: الطرف الأيسر = 1، الطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فالعبارة صحيحة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 13.
للمتعددة الحدود p(x) = x³ − 5x² + 9x − 5 جذر واحد هو 2 + i. أوجد الجذرين الآخرين.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمتعددة الحدود p(x) = x³ − 5x² + 9x − 5 جذر واحد هو 2 + i. أوجد الجذرين الآخرين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أنه لأن معاملات p(x) حقيقية، تظهر الجذور المركبة في أزواج مترافقة، لذا 2 − i جذر أيضاً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 15.
حل نظام المعادلات الخطية 2x + y − z = 3، وx − y + 2z = 4، و3x + 2y − z = 7 باستخدام الاختزال الصفي، أو اذكر إن لم يكن له حل وحيد.
[5 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل نظام المعادلات الخطية 2x + y − z = 3، وx − y + 2z = 4، و3x + 2y − z = 7 باستخدام الاختزال الصفي، أو اذكر إن لم يكن له حل وحيد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة المصفوفة الموسعة للنظام.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 17.
أوجد عدد التراتيب المميزة لحروف الكلمة STATS.
[4 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد عدد التراتيب المميزة لحروف الكلمة STATS.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن STATS تتكوّن من 5 حروف، مع تكرار S مرتين وT مرتين.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 19.
تُختار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة تضم 6 رجال و5 نساء. أوجد عدد طرق تشكيل لجنة تضم رجلين وامرأتين بالضبط.
[4 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُختار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة تضم 6 رجال و5 نساء. أوجد عدد طرق تشكيل لجنة تضم رجلين وامرأتين بالضبط.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الترتيب غير مهم، لذا تُستخدم التوافيق لكل مجموعة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 21.
أوجد معامل x³ في التوسيع ذي الحدين لـ (2x − 3)⁵.
[4 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معامل x³ في التوسيع ذي الحدين لـ (2x − 3)⁵.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحد العام للتوسيع ذي الحدين: ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 23.
لمتسلسلة هندسية لا نهائية حد أول 8 ونسبة مشتركة 0.5. احسب المجموع إلى ما لا نهاية، مع ذكر الشرط اللازم لوجود هذا المجموع.
[3 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتسلسلة هندسية لا نهائية حد أول 8 ونسبة مشتركة 0.5. احسب المجموع إلى ما لا نهاية، مع ذكر الشرط اللازم لوجود هذا المجموع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن الشرط |r| < 1 لازم لوجود المجموع إلى ما لا نهاية.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 25.
للمعادلة التربيعية 2x² − 7x + 3 = 0 جذران α وβ. دون حل المعادلة مباشرة لإيجاد الجذرين، احسب قيمة α + β وαβ.
[3 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمعادلة التربيعية 2x² − 7x + 3 = 0 جذران α وβ. دون حل المعادلة مباشرة لإيجاد الجذرين، احسب قيمة α + β وαβ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أنه لـ ax² + bx + c = 0، مجموع الجذرين α + β = −b/a.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 27.
أثبت بالبرهان بالتناقض أن √2 عدد غير نسبي.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت بالبرهان بالتناقض أن √2 عدد غير نسبي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «افتراض، للتناقض، أن √2 عدد نسبي، بحيث √2 = p/q حيث p وq عددان صحيحان بلا عوامل مشتركة (بأبسط صورة) وq ≠ 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 29.
أوجد عدد الطرق التي يمكن بها إجلاس 5 أشخاص حول طاولة دائرية، حيث تُعد دورانات الترتيب نفسه متطابقة.
[3 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد عدد الطرق التي يمكن بها إجلاس 5 أشخاص حول طاولة دائرية، حيث تُعد دورانات الترتيب نفسه متطابقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أنه بالنسبة للترتيبات الدائرية، يمكن تثبيت موضع شخص واحد لإزالة التكرارات الدورانية، تاركاً (n − 1)! ترتيباً مميزاً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]