الرياضيات AA: المستوى العالي

1. 1.

   بالنظر إلى z₁ = 3 + 2i وz₂ = 1 − 4i، احسب z₁ + z₂ وz₁z₂، مع كتابة كل إجابة بالصورة a + bi.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع الجزأين الحقيقي والتخيلي كلاً على حدة للحصول على z₁ + z₂ = 4 − 2i. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توسيع الجداء (3 + 2i)(1 − 4i) بالتوزيع. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام i² = −1 للتبسيط. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على z₁z₂ = 11 − 10i. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع i كمجهول جبري طوال عملية التوسيع، ثم عوّض i² = −1 فقط في خطوة التبسيط الأخيرة.

   نقاط التصحيح

   • جمع الجزأين الحقيقي والتخيلي كلاً على حدة للحصول على z₁ + z₂ = 4 − 2i.
   • توسيع الجداء (3 + 2i)(1 − 4i) بالتوزيع.
   • استخدام i² = −1 للتبسيط.
   • الحصول على z₁z₂ = 11 − 10i.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع i كمجهول جبري طوال عملية التوسيع، ثم عوّض i² = −1 فقط في خطوة التبسيط الأخيرة.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى z₁ = 3 + 2i وz₂ = 1 − 4i، احسب z₁ + z₂ وz₁z₂، مع كتابة كل إجابة بالصورة a + bi.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع الجزأين الحقيقي والتخيلي كلاً على حدة للحصول على z₁ + z₂ = 4 − 2i.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: جمع الجزأين الحقيقي والتخيلي كلاً على حدة للحصول على z₁ + z₂ = 4 − 2i. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: توسيع الجداء (3 + 2i)(1 − 4i) بالتوزيع. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام i² = −1 للتبسيط. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على z₁z₂ = 11 − 10i. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: جمع الجزأين الحقيقي والتخيلي كلاً على حدة للحصول على z₁ + z₂ = 4 − 2i.
   • يحدد المتطلب الناقص: توسيع الجداء (3 + 2i)(1 − 4i) بالتوزيع.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام i² = −1 للتبسيط.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على z₁z₂ = 11 − 10i.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   اكتب العدد z = −2 + 2√3 i بالصيغة القطبية r(cos θ + i sin θ)، مع كتابة r وθ بدقة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب r = |z| = √((−2)² + (2√3)²). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على r = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن z يقع في الربع الثاني. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الزاوية المرجعية arctan(2√3/2) = 60°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على θ = 120° (2π/3 راديان) وكتابة z = 4(cos 120° + i sin 120°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ارسم أو استدل دائماً على الربع الصحيح قبل تحديد السعة النهائية؛ يعطي arctan وحده الزاوية المرجعية فقط.

   نقاط التصحيح

   • حساب r = |z| = √((−2)² + (2√3)²).
   • الحصول على r = 4.
   • تحديد أن z يقع في الربع الثاني.
   • حساب الزاوية المرجعية arctan(2√3/2) = 60°.
   • الحصول على θ = 120° (2π/3 راديان) وكتابة z = 4(cos 120° + i sin 120°).

   ملاحظة الفاحص: ارسم أو استدل دائماً على الربع الصحيح قبل تحديد السعة النهائية؛ يعطي arctan وحده الزاوية المرجعية فقط.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اكتب العدد z = −2 + 2√3 i بالصيغة القطبية r(cos θ + i sin θ)، مع كتابة r وθ بدقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب r = |z| = √((−2)² + (2√3)²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب r = |z| = √((−2)² + (2√3)²). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على r = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن z يقع في الربع الثاني. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب الزاوية المرجعية arctan(2√3/2) = 60°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ = 120° (2π/3 راديان) وكتابة z = 4(cos 120° + i sin 120°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب r = |z| = √((−2)² + (2√3)²).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على r = 4.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن z يقع في الربع الثاني.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب الزاوية المرجعية arctan(2√3/2) = 60°.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ = 120° (2π/3 راديان) وكتابة z = 4(cos 120° + i sin 120°).

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   حل المعادلة التربيعية z² − 4z + 13 = 0، مع كتابة كلا الجذرين بالصورة a + bi.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام القانون العام z = [4 ± √(16 − 52)]/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط المميز إلى √(−36) = 6i. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على z = (4 ± 6i)/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الجذرين z = 2 + 3i وz = 2 − 3i. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يعطي المميز السالب زوجاً من الجذور المترافقة المركبة؛ اكتب √(سالب) بصورة i√(موجب) قبل التبسيط.

   نقاط التصحيح

   • استخدام القانون العام z = [4 ± √(16 − 52)]/2.
   • تبسيط المميز إلى √(−36) = 6i.
   • الحصول على z = (4 ± 6i)/2.
   • كتابة الجذرين z = 2 + 3i وz = 2 − 3i.

   ملاحظة الفاحص: يعطي المميز السالب زوجاً من الجذور المترافقة المركبة؛ اكتب √(سالب) بصورة i√(موجب) قبل التبسيط.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة التربيعية z² − 4z + 13 = 0، مع كتابة كلا الجذرين بالصورة a + bi.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام القانون العام z = [4 ± √(16 − 52)]/2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام القانون العام z = [4 ± √(16 − 52)]/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط المميز إلى √(−36) = 6i. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على z = (4 ± 6i)/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الجذرين z = 2 + 3i وz = 2 − 3i. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام القانون العام z = [4 ± √(16 − 52)]/2.
   • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط المميز إلى √(−36) = 6i.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على z = (4 ± 6i)/2.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الجذرين z = 2 + 3i وz = 2 − 3i.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   بالنظر إلى z = 2(cos 30° + i sin 30°)، استخدم نظرية دي موافر لإيجاد z⁶ بالصورة a + bi.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة نظرية دي موافر zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض r = 2، θ = 30°، n = 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب r⁶ = 64 وnθ = 180°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة z⁶ = 64(cos 180° + i sin 180°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط للحصول على z⁶ = −64. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحوّل نظرية دي موافر الضرب المتكرر إلى ضرب واحد للسعة وأس واحد للمقياس — حوّل دائماً إلى الصيغة القطبية أولاً.

   نقاط التصحيح

   • كتابة نظرية دي موافر zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ).
   • تعويض r = 2، θ = 30°، n = 6.
   • حساب r⁶ = 64 وnθ = 180°.
   • كتابة z⁶ = 64(cos 180° + i sin 180°).
   • التبسيط للحصول على z⁶ = −64.

   ملاحظة الفاحص: تحوّل نظرية دي موافر الضرب المتكرر إلى ضرب واحد للسعة وأس واحد للمقياس — حوّل دائماً إلى الصيغة القطبية أولاً.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى z = 2(cos 30° + i sin 30°)، استخدم نظرية دي موافر لإيجاد z⁶ بالصورة a + bi.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة نظرية دي موافر zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة نظرية دي موافر zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض r = 2، θ = 30°، n = 6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب r⁶ = 64 وnθ = 180°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة z⁶ = 64(cos 180° + i sin 180°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على z⁶ = −64. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة نظرية دي موافر zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ).
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض r = 2، θ = 30°، n = 6.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب r⁶ = 64 وnθ = 180°.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة z⁶ = 64(cos 180° + i sin 180°).
   • يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على z⁶ = −64.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   أوجد الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد z = 8i، مع كتابة كل جذر بالصورة r(cos θ + i sin θ) حيث 0 ≤ θ < 360°.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة z بالصيغة القطبية: 8i = 8(cos 90° + i sin 90°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام صيغة الجذر النوني r^(1/n)(cos((θ + 360°k)/n) + i sin((θ + 360°k)/n)) عند k = 0, 1, 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المقياس المشترك 8^(1/3) = 2 لكل الجذور الثلاثة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على الزوايا 30°، 150°، 270° عند k = 0, 1, 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الجذور الثلاثة 2(cos 30° + i sin 30°)، 2(cos 150° + i sin 150°)، 2(cos 270° + i sin 270°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتوزع الجذور النونية لعدد مركب بتساوٍ حول دائرة نصف قطرها r^(1/n)، بفارق 360°/n بالضبط — استخدم ذلك للتأكد من عدم إغفال أي جذر.

   نقاط التصحيح

   • كتابة z بالصيغة القطبية: 8i = 8(cos 90° + i sin 90°).
   • استخدام صيغة الجذر النوني r^(1/n)(cos((θ + 360°k)/n) + i sin((θ + 360°k)/n)) عند k = 0, 1, 2.
   • حساب المقياس المشترك 8^(1/3) = 2 لكل الجذور الثلاثة.
   • الحصول على الزوايا 30°، 150°، 270° عند k = 0, 1, 2.
   • كتابة الجذور الثلاثة 2(cos 30° + i sin 30°)، 2(cos 150° + i sin 150°)، 2(cos 270° + i sin 270°).

   ملاحظة الفاحص: تتوزع الجذور النونية لعدد مركب بتساوٍ حول دائرة نصف قطرها r^(1/n)، بفارق 360°/n بالضبط — استخدم ذلك للتأكد من عدم إغفال أي جذر.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد z = 8i، مع كتابة كل جذر بالصورة r(cos θ + i sin θ) حيث 0 ≤ θ < 360°.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة z بالصيغة القطبية: 8i = 8(cos 90° + i sin 90°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة z بالصيغة القطبية: 8i = 8(cos 90° + i sin 90°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام صيغة الجذر النوني r^(1/n)(cos((θ + 360°k)/n) + i sin((θ + 360°k)/n)) عند k = 0, 1, 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب المقياس المشترك 8^(1/3) = 2 لكل الجذور الثلاثة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على الزوايا 30°، 150°، 270° عند k = 0, 1, 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الجذور الثلاثة 2(cos 30° + i sin 30°)، 2(cos 150° + i sin 150°)، 2(cos 270° + i sin 270°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة z بالصيغة القطبية: 8i = 8(cos 90° + i sin 90°).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام صيغة الجذر النوني r^(1/n)(cos((θ + 360°k)/n) + i sin((θ + 360°k)/n)) عند k = 0, 1, 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب المقياس المشترك 8^(1/3) = 2 لكل الجذور الثلاثة.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على الزوايا 30°، 150°، 270° عند k = 0, 1, 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الجذور الثلاثة 2(cos 30° + i sin 30°)، 2(cos 150° + i sin 150°)، 2(cos 270° + i sin 270°).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    أثبت بالاستقراء الرياضي أن 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 لكل عدد صحيح موجب n.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحالة الأساسية n = 1: الطرف الأيسر = 1، الطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فالعبارة صحيحة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة فرضية الاستقراء: افترض صحة العبارة عند n = k، أي 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إضافة (k + 1) لكلا الطرفين: 1 + 2 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع الطرف الأيمن على مقام مشترك للحصول على (k + 1)(k + 2)/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستنتاج أن العبارة صحيحة عند n = k + 1، وبالاستقراء لكل عدد صحيح موجب n. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يحتاج كل برهان بالاستقراء إلى المراحل الثلاث المسمّاة صراحة — الحالة الأساسية وفرضية الاستقراء وخطوة الاستقراء — لا الجبر وحده.

    نقاط التصحيح

    • كتابة الحالة الأساسية n = 1: الطرف الأيسر = 1، الطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فالعبارة صحيحة.
    • كتابة فرضية الاستقراء: افترض صحة العبارة عند n = k، أي 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2.
    • إضافة (k + 1) لكلا الطرفين: 1 + 2 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1).
    • جمع الطرف الأيمن على مقام مشترك للحصول على (k + 1)(k + 2)/2.
    • الاستنتاج أن العبارة صحيحة عند n = k + 1، وبالاستقراء لكل عدد صحيح موجب n.

    ملاحظة الفاحص: يحتاج كل برهان بالاستقراء إلى المراحل الثلاث المسمّاة صراحة — الحالة الأساسية وفرضية الاستقراء وخطوة الاستقراء — لا الجبر وحده.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت بالاستقراء الرياضي أن 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 لكل عدد صحيح موجب n.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحالة الأساسية n = 1: الطرف الأيسر = 1، الطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فالعبارة صحيحة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحالة الأساسية n = 1: الطرف الأيسر = 1، الطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فالعبارة صحيحة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: كتابة فرضية الاستقراء: افترض صحة العبارة عند n = k، أي 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: إضافة (k + 1) لكلا الطرفين: 1 + 2 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: جمع الطرف الأيمن على مقام مشترك للحصول على (k + 1)(k + 2)/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أن العبارة صحيحة عند n = k + 1، وبالاستقراء لكل عدد صحيح موجب n. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحالة الأساسية n = 1: الطرف الأيسر = 1، الطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فالعبارة صحيحة.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة فرضية الاستقراء: افترض صحة العبارة عند n = k، أي 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2.
    • يحدد المتطلب الناقص: إضافة (k + 1) لكلا الطرفين: 1 + 2 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1).
    • يحدد المتطلب الناقص: جمع الطرف الأيمن على مقام مشترك للحصول على (k + 1)(k + 2)/2.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أن العبارة صحيحة عند n = k + 1، وبالاستقراء لكل عدد صحيح موجب n.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    للمتعددة الحدود p(x) = x³ − 5x² + 9x − 5 جذر واحد هو 2 + i. أوجد الجذرين الآخرين.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة أنه لأن معاملات p(x) حقيقية، تظهر الجذور المركبة في أزواج مترافقة، لذا 2 − i جذر أيضاً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تكوين العامل التربيعي من هذين الجذرين: (x − (2 + i))(x − (2 − i)) = x² − 4x + 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: قسمة p(x) على x² − 4x + 5 للحصول على خارج القسمة الخطي x − 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة العامل الخطي بالصفر لإيجاد الجذر الثالث. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الجذور الثلاثة: 2 + i، و2 − i، وx = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لمتعددة حدود ذات معاملات حقيقية، تكوين العامل التربيعي لزوج الجذور المترافقة أولاً وقسمته أسرع بكثير من البحث المباشر عن الجذور.

    نقاط التصحيح

    • كتابة أنه لأن معاملات p(x) حقيقية، تظهر الجذور المركبة في أزواج مترافقة، لذا 2 − i جذر أيضاً.
    • تكوين العامل التربيعي من هذين الجذرين: (x − (2 + i))(x − (2 − i)) = x² − 4x + 5.
    • قسمة p(x) على x² − 4x + 5 للحصول على خارج القسمة الخطي x − 1.
    • مساواة العامل الخطي بالصفر لإيجاد الجذر الثالث.
    • كتابة الجذور الثلاثة: 2 + i، و2 − i، وx = 1.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لمتعددة حدود ذات معاملات حقيقية، تكوين العامل التربيعي لزوج الجذور المترافقة أولاً وقسمته أسرع بكثير من البحث المباشر عن الجذور.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمتعددة الحدود p(x) = x³ − 5x² + 9x − 5 جذر واحد هو 2 + i. أوجد الجذرين الآخرين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أنه لأن معاملات p(x) حقيقية، تظهر الجذور المركبة في أزواج مترافقة، لذا 2 − i جذر أيضاً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أنه لأن معاملات p(x) حقيقية، تظهر الجذور المركبة في أزواج مترافقة، لذا 2 − i جذر أيضاً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تكوين العامل التربيعي من هذين الجذرين: (x − (2 + i))(x − (2 − i)) = x² − 4x + 5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: قسمة p(x) على x² − 4x + 5 للحصول على خارج القسمة الخطي x − 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: مساواة العامل الخطي بالصفر لإيجاد الجذر الثالث. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الجذور الثلاثة: 2 + i، و2 − i، وx = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أنه لأن معاملات p(x) حقيقية، تظهر الجذور المركبة في أزواج مترافقة، لذا 2 − i جذر أيضاً.
    • يحدد المتطلب الناقص: تكوين العامل التربيعي من هذين الجذرين: (x − (2 + i))(x − (2 − i)) = x² − 4x + 5.
    • يحدد المتطلب الناقص: قسمة p(x) على x² − 4x + 5 للحصول على خارج القسمة الخطي x − 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: مساواة العامل الخطي بالصفر لإيجاد الجذر الثالث.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الجذور الثلاثة: 2 + i، و2 − i، وx = 1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    حل نظام المعادلات الخطية 2x + y − z = 3، وx − y + 2z = 4، و3x + 2y − z = 7 باستخدام الاختزال الصفي، أو اذكر إن لم يكن له حل وحيد.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المصفوفة الموسعة للنظام. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام عمليات صفية لحذف x من الصفين الثاني والثالث. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: متابعة الاختزال الصفي لحذف y من الصف الثالث الناتج. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض العكسي لإيجاد z ثم y ثم x بالترتيب. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحل الوحيد كثلاثية مرتبة (x, y, z)، أو تحديد صف من الصورة 0 = k (k ≠ 0) كدليل على عدم وجود حل. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: الصف الذي يُختزل إلى 0 = k عند k ≠ 0 يعني أن النظام غير متوافق؛ والصف الذي يُختزل إلى 0 = 0 يعني حلولاً لا نهائية — تحقق دائماً من ذلك قبل افتراض إجابة وحيدة.

    نقاط التصحيح

    • كتابة المصفوفة الموسعة للنظام.
    • استخدام عمليات صفية لحذف x من الصفين الثاني والثالث.
    • متابعة الاختزال الصفي لحذف y من الصف الثالث الناتج.
    • التعويض العكسي لإيجاد z ثم y ثم x بالترتيب.
    • كتابة الحل الوحيد كثلاثية مرتبة (x, y, z)، أو تحديد صف من الصورة 0 = k (k ≠ 0) كدليل على عدم وجود حل.

    ملاحظة الفاحص: الصف الذي يُختزل إلى 0 = k عند k ≠ 0 يعني أن النظام غير متوافق؛ والصف الذي يُختزل إلى 0 = 0 يعني حلولاً لا نهائية — تحقق دائماً من ذلك قبل افتراض إجابة وحيدة.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل نظام المعادلات الخطية 2x + y − z = 3، وx − y + 2z = 4، و3x + 2y − z = 7 باستخدام الاختزال الصفي، أو اذكر إن لم يكن له حل وحيد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة المصفوفة الموسعة للنظام.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة المصفوفة الموسعة للنظام. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام عمليات صفية لحذف x من الصفين الثاني والثالث. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: متابعة الاختزال الصفي لحذف y من الصف الثالث الناتج. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التعويض العكسي لإيجاد z ثم y ثم x بالترتيب. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحل الوحيد كثلاثية مرتبة (x, y, z)، أو تحديد صف من الصورة 0 = k (k ≠ 0) كدليل على عدم وجود حل. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة المصفوفة الموسعة للنظام.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام عمليات صفية لحذف x من الصفين الثاني والثالث.
    • يحدد المتطلب الناقص: متابعة الاختزال الصفي لحذف y من الصف الثالث الناتج.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض العكسي لإيجاد z ثم y ثم x بالترتيب.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحل الوحيد كثلاثية مرتبة (x, y, z)، أو تحديد صف من الصورة 0 = k (k ≠ 0) كدليل على عدم وجود حل.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    أوجد عدد التراتيب المميزة لحروف الكلمة STATS.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن STATS تتكوّن من 5 حروف، مع تكرار S مرتين وT مرتين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة التراتيب مع التكرار: 5!/(2!2!). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب 5! = 120 و2!2! = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة عدد التراتيب المميزة بأنه 30. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اقسم المضروب الكلي على مضروب عدد تكرار كل حرف — نسيان القسمة هو الخطأ الأكثر شيوعاً في هذا النوع من الأسئلة.

    نقاط التصحيح

    • تحديد أن STATS تتكوّن من 5 حروف، مع تكرار S مرتين وT مرتين.
    • كتابة صيغة التراتيب مع التكرار: 5!/(2!2!).
    • حساب 5! = 120 و2!2! = 4.
    • كتابة عدد التراتيب المميزة بأنه 30.

    ملاحظة الفاحص: اقسم المضروب الكلي على مضروب عدد تكرار كل حرف — نسيان القسمة هو الخطأ الأكثر شيوعاً في هذا النوع من الأسئلة.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد عدد التراتيب المميزة لحروف الكلمة STATS.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن STATS تتكوّن من 5 حروف، مع تكرار S مرتين وT مرتين.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن STATS تتكوّن من 5 حروف، مع تكرار S مرتين وT مرتين. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: كتابة صيغة التراتيب مع التكرار: 5!/(2!2!). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب 5! = 120 و2!2! = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة عدد التراتيب المميزة بأنه 30. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن STATS تتكوّن من 5 حروف، مع تكرار S مرتين وT مرتين.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة صيغة التراتيب مع التكرار: 5!/(2!2!).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب 5! = 120 و2!2! = 4.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة عدد التراتيب المميزة بأنه 30.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    تُختار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة تضم 6 رجال و5 نساء. أوجد عدد طرق تشكيل لجنة تضم رجلين وامرأتين بالضبط.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إدراك أن الترتيب غير مهم، لذا تُستخدم التوافيق لكل مجموعة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب عدد طرق اختيار رجلين من 6: ⁶C₂ = 15. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب عدد طرق اختيار امرأتين من 5: ⁵C₂ = 10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ضرب النتيجتين باستخدام مبدأ العد: 15 × 10 = 150. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: عند إجراء اختيار بشكل مستقل من مجموعتين منفصلتين، اضرب توافيق كل مجموعة — لا تجمعهما.

    نقاط التصحيح

    • إدراك أن الترتيب غير مهم، لذا تُستخدم التوافيق لكل مجموعة.
    • حساب عدد طرق اختيار رجلين من 6: ⁶C₂ = 15.
    • حساب عدد طرق اختيار امرأتين من 5: ⁵C₂ = 10.
    • ضرب النتيجتين باستخدام مبدأ العد: 15 × 10 = 150.

    ملاحظة الفاحص: عند إجراء اختيار بشكل مستقل من مجموعتين منفصلتين، اضرب توافيق كل مجموعة — لا تجمعهما.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُختار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة تضم 6 رجال و5 نساء. أوجد عدد طرق تشكيل لجنة تضم رجلين وامرأتين بالضبط.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الترتيب غير مهم، لذا تُستخدم التوافيق لكل مجموعة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن الترتيب غير مهم، لذا تُستخدم التوافيق لكل مجموعة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب عدد طرق اختيار رجلين من 6: ⁶C₂ = 15. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب عدد طرق اختيار امرأتين من 5: ⁵C₂ = 10. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: ضرب النتيجتين باستخدام مبدأ العد: 15 × 10 = 150. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن الترتيب غير مهم، لذا تُستخدم التوافيق لكل مجموعة.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب عدد طرق اختيار رجلين من 6: ⁶C₂ = 15.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب عدد طرق اختيار امرأتين من 5: ⁵C₂ = 10.
    • يحدد المتطلب الناقص: ضرب النتيجتين باستخدام مبدأ العد: 15 × 10 = 150.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    أوجد معامل x³ في التوسيع ذي الحدين لـ (2x − 3)⁵.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحد العام للتوسيع ذي الحدين: ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن الحد في x³ يتطلب r = 2، لأن a = 2x يساهم بالأس 5 − r = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض ⁵C₂(2x)³(−3)² = 10 × 8x³ × 9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على معامل = 720. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: حدد قيمة r التي تعطي الأس المطلوب أولاً، ثم عوّض — تجربة كل حد بالترتيب تُضيّع الوقت عندما يكون أس محدد واحد فقط مطلوباً.

    نقاط التصحيح

    • كتابة الحد العام للتوسيع ذي الحدين: ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ.
    • تحديد أن الحد في x³ يتطلب r = 2، لأن a = 2x يساهم بالأس 5 − r = 3.
    • تعويض ⁵C₂(2x)³(−3)² = 10 × 8x³ × 9.
    • الحصول على معامل = 720.

    ملاحظة الفاحص: حدد قيمة r التي تعطي الأس المطلوب أولاً، ثم عوّض — تجربة كل حد بالترتيب تُضيّع الوقت عندما يكون أس محدد واحد فقط مطلوباً.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معامل x³ في التوسيع ذي الحدين لـ (2x − 3)⁵.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحد العام للتوسيع ذي الحدين: ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحد العام للتوسيع ذي الحدين: ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن الحد في x³ يتطلب r = 2، لأن a = 2x يساهم بالأس 5 − r = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض ⁵C₂(2x)³(−3)² = 10 × 8x³ × 9. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على معامل = 720. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحد العام للتوسيع ذي الحدين: ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن الحد في x³ يتطلب r = 2، لأن a = 2x يساهم بالأس 5 − r = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض ⁵C₂(2x)³(−3)² = 10 × 8x³ × 9.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على معامل = 720.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    لمتسلسلة هندسية لا نهائية حد أول 8 ونسبة مشتركة 0.5. احسب المجموع إلى ما لا نهاية، مع ذكر الشرط اللازم لوجود هذا المجموع.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن الشرط |r| < 1 لازم لوجود المجموع إلى ما لا نهاية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام S∞ = a/(1 − r). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض 8/(1 − 0.5) للحصول على S∞ = 16. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: إذا كانت |r| ≥ 1، لا تتقلص الحدود المتتالية نحو الصفر، لذا لا تستقر المجاميع الجزئية على قيمة محددة — لا يوجد المجموع إلى ما لا نهاية في هذه الحالة ببساطة.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن الشرط |r| < 1 لازم لوجود المجموع إلى ما لا نهاية.
    • استخدام S∞ = a/(1 − r).
    • تعويض 8/(1 − 0.5) للحصول على S∞ = 16.

    ملاحظة الفاحص: إذا كانت |r| ≥ 1، لا تتقلص الحدود المتتالية نحو الصفر، لذا لا تستقر المجاميع الجزئية على قيمة محددة — لا يوجد المجموع إلى ما لا نهاية في هذه الحالة ببساطة.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتسلسلة هندسية لا نهائية حد أول 8 ونسبة مشتركة 0.5. احسب المجموع إلى ما لا نهاية، مع ذكر الشرط اللازم لوجود هذا المجموع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن الشرط |r| < 1 لازم لوجود المجموع إلى ما لا نهاية.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن الشرط |r| < 1 لازم لوجود المجموع إلى ما لا نهاية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام S∞ = a/(1 − r). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض 8/(1 − 0.5) للحصول على S∞ = 16. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن الشرط |r| < 1 لازم لوجود المجموع إلى ما لا نهاية.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام S∞ = a/(1 − r).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض 8/(1 − 0.5) للحصول على S∞ = 16.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    للمعادلة التربيعية 2x² − 7x + 3 = 0 جذران α وβ. دون حل المعادلة مباشرة لإيجاد الجذرين، احسب قيمة α + β وαβ.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أنه لـ ax² + bx + c = 0، مجموع الجذرين α + β = −b/a. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض للحصول على α + β = −(−7)/2 = 3.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن حاصل ضرب الجذرين αβ = c/a = 3/2 = 1.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتيح هذه العلاقات بين معاملات معادلة تربيعية ومجموع/حاصل ضرب جذريها (صيغ فييتا) الإجابة عن أسئلة عديدة دون حل القانون العام مطلقاً.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أنه لـ ax² + bx + c = 0، مجموع الجذرين α + β = −b/a.
    • تعويض للحصول على α + β = −(−7)/2 = 3.5.
    • توضيح أن حاصل ضرب الجذرين αβ = c/a = 3/2 = 1.5.

    ملاحظة الفاحص: تتيح هذه العلاقات بين معاملات معادلة تربيعية ومجموع/حاصل ضرب جذريها (صيغ فييتا) الإجابة عن أسئلة عديدة دون حل القانون العام مطلقاً.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمعادلة التربيعية 2x² − 7x + 3 = 0 جذران α وβ. دون حل المعادلة مباشرة لإيجاد الجذرين، احسب قيمة α + β وαβ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أنه لـ ax² + bx + c = 0، مجموع الجذرين α + β = −b/a.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أنه لـ ax² + bx + c = 0، مجموع الجذرين α + β = −b/a. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض للحصول على α + β = −(−7)/2 = 3.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن حاصل ضرب الجذرين αβ = c/a = 3/2 = 1.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أنه لـ ax² + bx + c = 0، مجموع الجذرين α + β = −b/a.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض للحصول على α + β = −(−7)/2 = 3.5.
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن حاصل ضرب الجذرين αβ = c/a = 3/2 = 1.5.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    أثبت بالبرهان بالتناقض أن √2 عدد غير نسبي.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: افتراض، للتناقض، أن √2 عدد نسبي، بحيث √2 = p/q حيث p وq عددان صحيحان بلا عوامل مشتركة (بأبسط صورة) وq ≠ 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تربيع الطرفين: 2 = p²/q²، لذا p² = 2q²، ما يعني أن p² زوجي، فيجب أن يكون p نفسه زوجياً (اكتب p = 2k). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض p = 2k: (2k)² = 2q² → 4k² = 2q² → q² = 2k²، ما يعني أن q² زوجي، فيجب أن يكون q نفسه زوجياً أيضاً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أنه إذا كان كل من p وq زوجياً، فإنهما يشتركان في عامل 2، ما يناقض افتراض أن p/q بأبسط صورة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستنتاج أن الافتراض الأصلي خاطئ، لذا √2 عدد غير نسبي. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يتبع البرهان بالتناقض دائماً النمط نفسه: افترض عكس ما تريد إثباته، استنتج استحالة منطقية، ثم استنتج أن العبارة الأصلية يجب أن تكون صحيحة.

    نقاط التصحيح

    • افتراض، للتناقض، أن √2 عدد نسبي، بحيث √2 = p/q حيث p وq عددان صحيحان بلا عوامل مشتركة (بأبسط صورة) وq ≠ 0.
    • تربيع الطرفين: 2 = p²/q²، لذا p² = 2q²، ما يعني أن p² زوجي، فيجب أن يكون p نفسه زوجياً (اكتب p = 2k).
    • تعويض p = 2k: (2k)² = 2q² → 4k² = 2q² → q² = 2k²، ما يعني أن q² زوجي، فيجب أن يكون q نفسه زوجياً أيضاً.
    • توضيح أنه إذا كان كل من p وq زوجياً، فإنهما يشتركان في عامل 2، ما يناقض افتراض أن p/q بأبسط صورة.
    • الاستنتاج أن الافتراض الأصلي خاطئ، لذا √2 عدد غير نسبي.

    ملاحظة الفاحص: يتبع البرهان بالتناقض دائماً النمط نفسه: افترض عكس ما تريد إثباته، استنتج استحالة منطقية، ثم استنتج أن العبارة الأصلية يجب أن تكون صحيحة.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت بالبرهان بالتناقض أن √2 عدد غير نسبي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «افتراض، للتناقض، أن √2 عدد نسبي، بحيث √2 = p/q حيث p وq عددان صحيحان بلا عوامل مشتركة (بأبسط صورة) وq ≠ 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: افتراض، للتناقض، أن √2 عدد نسبي، بحيث √2 = p/q حيث p وq عددان صحيحان بلا عوامل مشتركة (بأبسط صورة) وq ≠ 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تربيع الطرفين: 2 = p²/q²، لذا p² = 2q²، ما يعني أن p² زوجي، فيجب أن يكون p نفسه زوجياً (اكتب p = 2k). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض p = 2k: (2k)² = 2q² → 4k² = 2q² → q² = 2k²، ما يعني أن q² زوجي، فيجب أن يكون q نفسه زوجياً أيضاً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه إذا كان كل من p وq زوجياً، فإنهما يشتركان في عامل 2، ما يناقض افتراض أن p/q بأبسط صورة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أن الافتراض الأصلي خاطئ، لذا √2 عدد غير نسبي. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: افتراض، للتناقض، أن √2 عدد نسبي، بحيث √2 = p/q حيث p وq عددان صحيحان بلا عوامل مشتركة (بأبسط صورة) وq ≠ 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: تربيع الطرفين: 2 = p²/q²، لذا p² = 2q²، ما يعني أن p² زوجي، فيجب أن يكون p نفسه زوجياً (اكتب p = 2k).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض p = 2k: (2k)² = 2q² → 4k² = 2q² → q² = 2k²، ما يعني أن q² زوجي، فيجب أن يكون q نفسه زوجياً أيضاً.
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه إذا كان كل من p وq زوجياً، فإنهما يشتركان في عامل 2، ما يناقض افتراض أن p/q بأبسط صورة.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أن الافتراض الأصلي خاطئ، لذا √2 عدد غير نسبي.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    أوجد عدد الطرق التي يمكن بها إجلاس 5 أشخاص حول طاولة دائرية، حيث تُعد دورانات الترتيب نفسه متطابقة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أنه بالنسبة للترتيبات الدائرية، يمكن تثبيت موضع شخص واحد لإزالة التكرارات الدورانية، تاركاً (n − 1)! ترتيباً مميزاً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض n = 5، ما يعطي (5 − 1)! = 4!. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 24 ترتيب إجلاس مميز. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تمتلك الترتيبات الدائرية دائماً نتائج مميزة أقل من الترتيبات الخطية للأجسام نفسها، لأن تدوير الدائرة كاملة ينتج ترتيباً يبدو متطابقاً، وليس جديداً.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أنه بالنسبة للترتيبات الدائرية، يمكن تثبيت موضع شخص واحد لإزالة التكرارات الدورانية، تاركاً (n − 1)! ترتيباً مميزاً.
    • تعويض n = 5، ما يعطي (5 − 1)! = 4!.
    • الحصول على 24 ترتيب إجلاس مميز.

    ملاحظة الفاحص: تمتلك الترتيبات الدائرية دائماً نتائج مميزة أقل من الترتيبات الخطية للأجسام نفسها، لأن تدوير الدائرة كاملة ينتج ترتيباً يبدو متطابقاً، وليس جديداً.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد عدد الطرق التي يمكن بها إجلاس 5 أشخاص حول طاولة دائرية، حيث تُعد دورانات الترتيب نفسه متطابقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أنه بالنسبة للترتيبات الدائرية، يمكن تثبيت موضع شخص واحد لإزالة التكرارات الدورانية، تاركاً (n − 1)! ترتيباً مميزاً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أنه بالنسبة للترتيبات الدائرية، يمكن تثبيت موضع شخص واحد لإزالة التكرارات الدورانية، تاركاً (n − 1)! ترتيباً مميزاً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض n = 5، ما يعطي (5 − 1)! = 4!. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على 24 ترتيب إجلاس مميز. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أنه بالنسبة للترتيبات الدائرية، يمكن تثبيت موضع شخص واحد لإزالة التكرارات الدورانية، تاركاً (n − 1)! ترتيباً مميزاً.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض n = 5، ما يعطي (5 − 1)! = 4!.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على 24 ترتيب إجلاس مميز.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.