الرياضيات المتقدمة

1. 1.

   أوجد تكامل ln x عندما x > 0 بالتكامل بالتجزئة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. عامل ln x كحاصل ضرب في 1 الذي يسهل تكامله.
   2. اشتق x ln x - x للتحقق: ln x + 1 - 1 = ln x.

   نقاط التصحيح

   • اختر u = ln x وdv = dx فيكون du = dx/x وv = x.
   • يصبح التكامل x ln x - تكامل 1 dx.
   • الجواب: x ln x - x + C.

   ملاحظة الفاحص: لا تطبق قاعدة القوى على ln x؛ عاملها كحاصل ضرب ln x في 1 للتكامل بالتجزئة.

2. 2.

   احسب بدقة تكامل x/(1 + x^2) من 0 إلى 1.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. البسط نصف مشتقة المقام مما يشير إلى لوغاريتم.
   2. احسب ln u/2 بين 1 و2؛ مساهمة ln 1 صفر.

   نقاط التصحيح

   • ضع u = 1 + x^2؛ du = 2x dx.
   • الحدان الجديدان 1 و2؛ كامل (1/2)/u.
   • الجواب ln(2)/2.

   ملاحظة الفاحص: احتفظ بالعامل 1/2 عند استبدال x dx.

3. 3.

   حدد قيم p الحقيقية التي يتقارب عندها تكامل x^(-p) من 1 إلى اللانهاية وأعط قيمته عند التقارب.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اللانهاية عملية حدية لا عدد يعوّض في الدالة الأصلية.
   2. رغم أن x^(-p) يميل إلى الصفر عندما p > 0 فلا يلزم أن تكون مساحته المتراكمة منتهية.

   نقاط التصحيح

   • عندما p != 1 كامل إلى x^(1 - p)/(1 - p) واستخدم حداً أعلى R.
   • يميل حد R إلى الصفر فقط إذا p > 1 فتكون القيمة 1/(p - 1).
   • عند p = 1 يكون التكامل ln R ويتباعد؛ يتباعد أيضاً عندما p < 1.

   ملاحظة الفاحص: عالج p = 1 منفصلة لأن مقام الدالة الأصلية بالقوى يصبح صفراً.

4. 4.

   احسب بدقة تكامل x^2 e^x من 0 إلى 1.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اشتق كثير الحدود وكامل الأسّي في كل مرة لتخفيض الدرجة.
   2. القيمتان الطرفيتان e و2؛ يجب طرح قيمة الحد الأدنى غير الصفرية.

   نقاط التصحيح

   • تعطي التجزئة الأولى x^2 e^x - 2 تكامل x e^x dx.
   • تعطي الثانية الدالة الأصلية e^x(x^2 - 2x + 2).
   • التكامل المحدد e - 2.

   ملاحظة الفاحص: الحد الأدنى صفر لا يجعل الدالة الأصلية الأسية صفراً.

5. 5.

   لتكن I_n تكامل sin^n x من 0 إلى pi/2. عندما n >= 2 اشتق I_n = (n - 1)I_(n - 2)/n وأوجد I_4 بدقة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تسهم مشتقة القوة بالحد (n - 1)sin^(n - 2)x cos x؛ يترك ضربها في -cos x مربع cos بعد طرح التجزئة.
   2. اختزل مرتين: I_4 = (3/4)I_2 وI_2 = (1/2)I_0.

   نقاط التصحيح

   • كامل sin^(n - 1)x مضروبة في sin x بالتجزئة؛ ينعدم الحد الطرفي -sin^(n - 1)x cos x.
   • I_n = (n - 1)(I_(n - 2) - I_n) باستخدام cos^2 x = 1 - sin^2 x.
   • أعد الترتيب للحصول على العلاقة؛ I_0 = pi/2 لذا I_4 = 3pi/16.

   ملاحظة الفاحص: انقل حد I_n إلى الطرف الأيسر قبل القسمة على n.

6. 6.

   يدعي متعلم أن تكامل 1/x^2 من -1 إلى 1 يساوي -2 باستخدام -1/x عند الطرفين. اشرح الخطأ وحدد التقارب.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اقسم عند الصفر واشترط أن يكون كلا التكاملين أحاديي الجانب منتهياً بصورة مستقلة.
   2. الدالة موجبة على المجالين؛ المساحة السالبة تنبه إلى إخفاق شروط المبرهنة.

   نقاط التصحيح

   • توجد نقطة تفرد داخلية عند x = 0 لذا لا تصح قاعدة الطرفين المعتادة.
   • عندما epsilon > 0 يكون التكامل من epsilon إلى 1 مساوياً 1/epsilon - 1 ويميل إلى موجب اللانهاية.
   • يتباعد الجانب الأيسر أيضاً إلى موجب اللانهاية؛ لا يتقارب التكامل المعتل.

   ملاحظة الفاحص: لا تكامل عبر قطب دون تعريف الحدود أحادية الجانب.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.