الرياضيات المتقدمة

1. 1.

   اكتب (3 + 4i)/(1 - 2i) بصيغة a + bi وأوجد مقياسه.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. المقام الحقيقي 1^2 + 2^2 = 5 والبسط بعد النشر -5 + 10i.
   2. بعد (-1, 2) عن الأصل sqrt(1 + 4).

   نقاط التصحيح

   • اضرب البسط والمقام في 1 + 2i.
   • خارج القسمة -1 + 2i.
   • مقياسه sqrt(5).

   ملاحظة الفاحص: مرافق المقام يحتوي +2i وليس -2i.

2. 2.

   لعدد z = x + iy، حدد وارسم المحل |z - (2 + i)| = 3 مع تسمية تقاطعيه مع المحور الحقيقي.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. طرح 2 + i يقيس البعد عن نقطة ثابتة لا عن الأصل.
   2. ضع y = 0 للمحور الحقيقي؛ تعطي (x - 2)^2 = 8 التقاطعين.

   نقاط التصحيح

   • دائرة مركزها (2, 1) ونصف قطرها 3.
   • المعادلة: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9.
   • التقاطعان (2 - sqrt(8), 0) و(2 + sqrt(8), 0)، ويُحددان على رسم الدائرة.

   ملاحظة الفاحص: المركز فوق المحور الحقيقي لذا التقاطعان ليسا 2 +/- 3.

3. 3.

   أوجد جميع الجذور التكعيبية للعدد -8i بصيغة المقياس والسعة مع السعات في (-pi, pi].

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. خذ k = 0, 1, 2 قبل اختزال السعات لتجنب فقدان جذور.
   2. الزاوية الأخيرة 7pi/6 تكافئ -5pi/6؛ تكعيب كل جذر يعطي -8i.

   نقاط التصحيح

   • استخدم المقياس 8 والسعة -pi/2 + 2k*pi.
   • مقياس الجذر 2 والسعات -pi/6 + 2k*pi/3.
   • الجذور: 2 cis(-pi/6)، 2 cis(pi/2)، 2 cis(-5pi/6)، حيث cis(theta) = cos(theta) + i sin(theta).

   ملاحظة الفاحص: اقسم السعة كاملة بما فيها 2k*pi على ثلاثة.

4. 4.

   لكثير الحدود ذي المعاملات الحقيقية x^3 + ax^2 + bx - 10 جذر 1 + 2i. أوجد a وb والجذور الباقية.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تفرض المعاملات الحقيقية ظهور الجذور غير الحقيقية في أزواج مترافقة.
   2. حاصل ضربهما 5. الحد الثابت سالب حاصل ضرب الجذور الثلاثة لذا 5r = 10.

   نقاط التصحيح

   • الجذر المرافق 1 - 2i وعاملهما x^2 - 2x + 5.
   • الجذر الثالث 2 لأن حاصل ضرب الجذور 10.
   • نشر (x - 2)(x^2 - 2x + 5) يعطي a = -4 وb = 9.

   ملاحظة الفاحص: حاصل ضرب جذور كثير حدود تكعيبي أحادي يساوي سالب الحد الثابت.

5. 5.

   أوجد النقاط التي تحقق |z - 1| = |z + i| و|z| = sqrt(2) معاً. أعط إجابات تامة واشرح الهندسة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. التربيع صحيح لأن المقياسين غير سالبين؛ يترك الاختزال خطاً مستقيماً.
   2. قاطع الخط مع الدائرة المتمركزة في الأصل. يبعد التقاطعان بالتساوي عن النقطتين الثابتتين.

   نقاط التصحيح

   • تساوي مربعي البعدين يعطي (x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y + 1)^2.
   • تختزل إلى y = -x وهو المنصف العمودي بين (1, 0) و(0, -1).
   • مع x^2 + y^2 = 2 نجد x = +/-1؛ إذن z = 1 - i أو -1 + i.

   ملاحظة الفاحص: يقيس z + i البعد عن -i وليس عن i.

6. 6.

   استخدم مبرهنة دي موافر لاشتقاق cos(3theta) = 4cos^3(theta) - 3cos(theta)، ثم حل 4u^3 - 3u = 0 في الأعداد الحقيقية.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. في النشر تكون حدود i وi^3 تخيلية، أما حد i^2 فسالب وحقيقي.
   2. بعد إثبات الهوية حلل كثير الحدود بدلاً من القسمة على u حتى لا تفقد الحل u = 0.

   نقاط التصحيح

   • خذ الجزء الحقيقي من (cos(theta) + i sin(theta))^3 لتحصل على cos^3(theta) - 3cos(theta)sin^2(theta).
   • عوّض sin^2(theta) = 1 - cos^2(theta) للحصول على الهوية.
   • تعطي u(4u^2 - 3) = 0 القيم u = 0، sqrt(3)/2، -sqrt(3)/2.

   ملاحظة الفاحص: يجب أن يبدأ اشتقاق الهوية من دي موافر لا بافتراض صيغة الزاوية الثلاثية.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.