الرياضيات المتقدمة

1. 1.

   حل z^2 - 4z + 13 = 0 في الأعداد المركبة وأوجد معيار كل جذر.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يعطي المميز السالب جذوراً مركبة. احسب معيار كل جذر بوصفه بعده عن الأصل في المستوى المركب.
   2. المميز هو 16 - 52 = -36.
   3. z = 2 + 3i أو z = 2 - 3i.
   4. معيار كل جذر هو sqrt(13).

   نقاط التصحيح

   • المميز هو 16 - 52 = -36.
   • z = 2 + 3i أو z = 2 - 3i.
   • معيار كل جذر هو sqrt(13).

   ملاحظة الفاحص: المعيار sqrt(real^2 + imaginary^2)، لا مجموع الجزأين.

2. 2.

   للمصفوفة A = [[2, 1], [1, 2]] أوجد القيمتين الذاتيتين ومتجهاً ذاتياً لكل منهما.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. أوجد القيم التي تجعل A - lambda I مفردة، ثم حل المعادلات المتجانسة لكل قيمة.
   2. det(A - lambda I) = (2 - lambda)^2 - 1.
   3. القيمتان الذاتيتان هما 3 و1.
   4. للقيمة 3 متجه ذاتي هو (1, 1).
   5. للقيمة 1 متجه ذاتي هو (1, -1).

   نقاط التصحيح

   • det(A - lambda I) = (2 - lambda)^2 - 1.
   • القيمتان الذاتيتان هما 3 و1.
   • للقيمة 3 متجه ذاتي هو (1, 1).
   • للقيمة 1 متجه ذاتي هو (1, -1).

   ملاحظة الفاحص: يجب أن يكون المتجه الذاتي غير صفري؛ يُقبل أي مضاعف غير صفري لمتجه صحيح.

3. 3.

   استخدم متسلسلة ماكلورين للدالة e^x لكتابة توسع e^(2x) حتى حد x^3.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. عوّض 2x في كل قوة من متسلسلة الأس، لا الحد الخطي فقط.
   2. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
   3. عوّض 2x: 1 + 2x + (2x)^2/2 + (2x)^3/6.
   4. التوسع هو 1 + 2x + 2x^2 + (4/3)x^3 + ...

   نقاط التصحيح

   • e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
   • عوّض 2x: 1 + 2x + (2x)^2/2 + (2x)^3/6.
   • التوسع هو 1 + 2x + 2x^2 + (4/3)x^3 + ...

   ملاحظة الفاحص: احتفظ بمقامات المضروب عند التعويض ثم بسّط.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.