الرياضيات المتقدمة

1. 1.

   باستخدام التعريفات الأسية أوجد sinh(ln 3) وcosh(ln 3) وtanh(ln 3) بدقة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. هنا e^x = 3 وe^(-x) = 1/3 لذا يتضمن التعريفان أعداداً نسبية.
   2. اقسم sinh على cosh لإيجاد tanh فيختزل المقام المشترك.

   نقاط التصحيح

   • sinh(ln 3) = (3 - 1/3)/2 = 4/3.
   • cosh(ln 3) = (3 + 1/3)/2 = 5/3.
   • tanh(ln 3) = 4/5.

   ملاحظة الفاحص: تستخدم cosh مجموع الأسّيين وsinh فرقهما.

2. 2.

   أثبت cosh^2 x - sinh^2 x = 1 مباشرة من التعريفات الأسية.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يختلف مربعا الحدين في الحدود المتقاطعة فقط.
   2. بخلاف الهوية الدائرية تحتوي الهوية الزائدية على طرح.

   نقاط التصحيح

   • عوّض (e^x + e^(-x))^2/4 - (e^x - e^(-x))^2/4.
   • تختزل حدود e^(2x) وe^(-2x) فيبقى 4e^x e^(-x)/4.
   • لأن e^x e^(-x) = 1 تثبت الهوية.

   ملاحظة الفاحص: وزّع إشارة الطرح على مربع التعبير الثاني كله.

3. 3.

   حل cosh x = 5/4 في الأعداد الحقيقية وأعط قيماً تامة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اضرب في u بعد ملاحظة أنها لا تساوي الصفر.
   2. كلا الجذرين الأسّيين الموجبين مقبول؛ تعكس قيمتا x زوجية cosh.

   نقاط التصحيح

   • ضع u = e^x > 0؛ عندها u + 1/u = 5/2.
   • تعطي 2u^2 - 5u + 2 = 0 القيم u = 2 أو 1/2.
   • x = ln 2 أو -ln 2.

   ملاحظة الفاحص: يعطي معكوس cosh الفرع غير السالب لكن المعادلة لها جذران.

4. 4.

   احسب بدقة تكامل sinh(2x) من 0 إلى ln 2.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. مشتقة الداخل اثنان لذا يظهر في التكامل عامل نصف.
   2. عند الحد الأدنى cosh(0) = 1 وليس صفراً؛ اطرحها قبل القسمة على اثنين.

   نقاط التصحيح

   • دالة أصلية هي cosh(2x)/2.
   • cosh(2 ln 2) = (4 + 1/4)/2 = 17/8.
   • التكامل (17/8 - 1)/2 = 9/16.

   ملاحظة الفاحص: لا تستخدم sinh عند الحدين بعد اختيار دالة أصلية من cosh.

5. 5.

   استنتج الصيغة arsinh x = ln(x + sqrt(x^2 + 1)) بدءاً من y = arsinh x ثم أوجد مشتقة الدالة لكل x حقيقية.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تزيد sqrt(x^2 + 1) عن |x| لذا يكون مدخل اللوغاريتم موجباً لكل x حقيقية.
   2. استخدم cosh y > 0 مع cosh^2 y = 1 + sinh^2 y لاختيار الجذر الموجب في المشتقة.

   نقاط التصحيح

   • تعطي x = (e^y - e^(-y))/2 المعادلة u^2 - 2xu - 1 = 0 حيث u = e^y.
   • فقط u = x + sqrt(x^2 + 1) موجبة؛ إذن y = ln(x + sqrt(x^2 + 1)).
   • يعطي الاشتقاق الضمني لـ x = sinh y النتيجة dy/dx = 1/cosh y = 1/sqrt(1 + x^2).

   ملاحظة الفاحص: ارفض الحل السالب للمعادلة التربيعية لأن e^y موجبة تماماً.

6. 6.

   احسب تكامل sqrt(1 + x^2) من 0 إلى sqrt(3) باستخدام x = sinh u وأعط جواباً تاماً.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. عند U تكون sinh U = sqrt(3) وcosh U = 2 لذا sinh(2U) = 4sqrt(3).
   2. ينعدم حدا الدالة الأصلية عند u = 0؛ لا يلزم الرجوع إلى x إذا تغيرت الحدود.

   نقاط التصحيح

   • dx = cosh u du وsqrt(1 + x^2) = cosh u؛ الحد الأعلى U = ln(2 + sqrt(3)).
   • كامل cosh^2 u = (cosh(2u) + 1)/2 لتحصل على sinh(2u)/4 + u/2.
   • الجواب sqrt(3) + ln(2 + sqrt(3))/2.

   ملاحظة الفاحص: يضيف عامل التحويل dx عاملاً ثانياً من cosh.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.