الرياضيات المتقدمة

1. 1.

   استخدم الكسور الجزئية لإيجاد مجموع 1/[r(r + 1)] من r = 1 إلى 10.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اكتب الفرقين الأولين والأخيرين لرؤية نمط الاختزال.
   2. مقام الحد السالب الأخير 11 رغم أن الفهرس الأخير 10.

   نقاط التصحيح

   • 1/[r(r + 1)] = 1/r - 1/(r + 1).
   • تختزل الحدود الداخلية فيبقى 1 - 1/11.
   • المجموع 10/11.

   ملاحظة الفاحص: احتفظ بالحد السالب الأخير عند الاختزال المتتابع.

2. 2.

   لمتسلسلة هندسية الحدود 12، -6، 3، ... . أوجد مجموعها إلى اللانهاية والخطأ التام بعد أربعة حدود.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تناوب الإشارة لا يمنع التقارب لأن مقدار النسبة أقل من واحد.
   2. اجمع الحدود الأربعة 12 - 6 + 3 - 3/2 ثم اطرح المجموع من 8.

   نقاط التصحيح

   • النسبة -1/2 ومقياسها أقل من 1.
   • المجموع إلى اللانهاية 8.
   • S4 = 15/2 والخطأ بإشارته S_infinity - S4 يساوي 1/2.

   ملاحظة الفاحص: استخدم النسبة بإشارتها في 1 - r لا قيمتها المطلقة.

3. 3.

   أثبت بالاستقراء أن مجموع r^2 من r = 1 إلى n يساوي n(n + 1)(2n + 1)/6 عندما n >= 1.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. ضع المربع المضاف على المقام 6 واستخرج k + 1 عاملاً مشتركاً.
   2. يتحلل كثير الحدود الباقي 2k^2 + 7k + 6 إلى (k + 2)(2k + 3).

   نقاط التصحيح

   • عند n = 1 يساوي الطرفان 1.
   • افترض الصيغة عند k وأضف (k + 1)^2.
   • حلل إلى (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6 وهي الصيغة عند k + 1.
   • تثبت حالة البداية وخطوة الانتقال النتيجة لكل الأعداد الصحيحة الموجبة.

   ملاحظة الفاحص: اذكر فرض الاستقراء بدلاً من استخدام الصيغة المطلوب إثباتها عند k + 1.

4. 4.

   أثبت بالاستقراء أن 7^n - 1 يقبل القسمة على 6 لكل عدد صحيح n >= 1.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. أعد كتابة القوة التالية لإظهار التعبير الموجود في الفرض بدقة.
   2. العدد 6 المضاف ضروري لأن 7(7^k - 1) أقل بستة من التعبير المطلوب.

   نقاط التصحيح

   • تعطي n = 1 العدد 6 وهو يقبل القسمة على 6.
   • افترض 7^k - 1 = 6m لعدد صحيح m.
   • 7^(k + 1) - 1 = 7(7^k - 1) + 6 = 6(7m + 1).
   • لأن 7m + 1 عدد صحيح تثبت خطوة الانتقال والبداية الادعاء.

   ملاحظة الفاحص: فحص أعداد كثيرة يقدم شواهد لا برهاناً لكل n.

5. 5.

   u1 = 1 وu(n + 1) = 2u(n) + 3. اقترح صيغة لـ u(n) وأثبتها بالاستقراء ثم أوجد مجموع u(r) من r = 1 إلى n.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. أزح بمقدار ثلاثة: تحقق v(n) = u(n) + 3 العلاقة v(n + 1) = 2v(n) مع v1 = 4.
   2. اجمع حدود v الهندسية واطرح ثلاثة عن كل حد من الحدود n.

   نقاط التصحيح

   • تقترح الحدود 1، 5، 13 الصيغة u(n) = 2^(n + 1) - 3.
   • تعطي البداية 1 ويعطي التعويض 2[2^(k + 1) - 3] + 3 = 2^(k + 2) - 3 فيكتمل الاستقراء.
   • المجموع 4(2^n - 1) - 3n.

   ملاحظة الفاحص: يسهم طرح الثابت في المجموع بالحد -3n لا -3 فقط.

6. 6.

   أثبت بالاستقراء أن 2^n > n^2 لكل عدد صحيح n >= 5. اشرح لماذا لا تصلح البداية n = 4 لإثبات المتباينة الصارمة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. لإثبات حد للفرق التربيعي اكتب k^2 - 2k - 1 = (k - 1)^2 - 2 >= 14 عندما k >= 5.
   2. استخدم الحد بعد مضاعفة الفرض؛ تحتاج خطوة الاستقراء الصحيحة إلى بداية صحيحة أيضاً.

   نقاط التصحيح

   • البداية: 32 > 25 عند n = 5.
   • يعطي فرض 2^k > k^2 النتيجة 2^(k + 1) > 2k^2.
   • 2k^2 - (k + 1)^2 = k^2 - 2k - 1 > 0 عندما k >= 5 فيكتمل الاستقراء.
   • عند n = 4 يساوي الطرفان 16 فتفشل البداية الصارمة.

   ملاحظة الفاحص: حافظ على > في جميع الخطوات؛ المساواة في البداية لا تثبت ادعاءً صارماً.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.