الرياضيات المتقدمة
تحويلات المصفوفات والمتجهات الذاتية
- 1.
تُعكس متجهات الأعمدة أولاً في y = x بالمصفوفة S = [[0,1],[1,0]] ثم تتمدد موازية لمحور x بالمصفوفة D = [[2,0],[0,1]]. أوجد المصفوفة المركبة وصورة (3,-1).
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- يبدل الانعكاس الإحداثيين إلى (-1,3) ثم يضاعف التمدد الإحداثي الأول فقط.
- يؤكد ضرب DS في العمود الأصلي الصورة نفسها.
نقاط التصحيح
- الضرب DS وليس SD.
- DS = [[0,2],[1,0]].
- الصورة (-2,3).
ملاحظة الفاحص: لمتجهات الأعمدة يعمل التحويل الواقع أقصى اليمين أولاً.
- 2.
يُحوّل مثلث مساحته 7 بالمصفوفة [[2,1],[1,-1]]. أوجد مساحة صورته وحدد هل ينعكس الاتجاه.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- تتغير المساحات بالقيمة المطلقة للمحدد؛ لا ينتج عامل سالب مساحة سالبة.
- تسجل الإشارة الاتجاه بصورة منفصلة عن مقياس المساحة: |-3| مضروباً في 7.
نقاط التصحيح
- المحدد -3.
- مساحة الصورة 21 وحدة مربعة.
- ينعكس الاتجاه لأن المحدد سالب.
ملاحظة الفاحص: استخدم |det A| للمساحة وإشارة det A للاتجاه.
- 3.
أوجد القيم الذاتية واتجاهات المتجهات الذاتية للمصفوفة A = [[3,1],[1,3]].
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- تُضرب مركبتا أي متجه على y = x في أربعة.
- على y = -x تُضرب المركبتان في اثنين؛ يتحقق الاتجاهان بالضرب المباشر.
نقاط التصحيح
- المعادلة المميزة: (3 - lambda)^2 - 1 = 0.
- القيمتان الذاتيتان 4 و2.
- الاتجاهان (1,1) للقيمة 4 و(1,-1) للقيمة 2.
ملاحظة الفاحص: اربط كل اتجاه بقيمته الذاتية ولا تكتف بقائمة متجهات دون ربط.
- 4.
للمصفوفة A = [[k,2],[3,6]] أوجد k التي تجعلها مفردة (غير قابلة للعكس). عندها صف صورة المستوى كله والمتجهات التي تتحول إلى الصفر.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- عند k = 1 يكون الصف الثاني ثلاثة أمثال الأول فتنهار المدخلات الثنائية الأبعاد إلى مستقيم.
- لإيجاد النواة ساوِ المخرج الأول بالصفر فينعدم الثاني تلقائياً.
نقاط التصحيح
- تعطي 6k - 6 = 0 القيمة k = 1.
- المخرجات (x + 2y, 3x + 6y)، لذا الصورة المستقيم Y = 3X.
- النواة x + 2y = 0 أي مضاعفات (-2,1).
ملاحظة الفاحص: مستقيم الصورة ومستقيم النواة كائنان مختلفان.
- 5.
للمصفوفة A = [[3,1],[1,3]] اشتق A^n للأعداد الصحيحة الموجبة n باستخدام متجهاتها الذاتية.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- يشكل عمودا المتجهين الذاتيين أساساً؛ يضرب تكرار التحويل معامليهما في 4^n و2^n على الترتيب.
- تختزل العوامل المتجاورة P^-1 P في الضرب المتكرر؛ اضرب المصفوفات الثلاث الباقية للحصول على الصيغة.
نقاط التصحيح
- استخدم P = [[1,1],[1,-1]] وP^-1 = P/2.
- A = P diag(4,2) P^-1 ومنه A^n = P diag(4^n,2^n) P^-1.
- A^n = (1/2)[[4^n + 2^n,4^n - 2^n],[4^n - 2^n,4^n + 2^n]].
ملاحظة الفاحص: قوة المصفوفة ليست رفع كل عنصر إلى القوة؛ حوّلها إلى قطرية أولاً.
- 6.
لتكن B = [[2,1],[0,2]]. بيّن أنها غير قابلة للتحويل إلى قطرية واشتق B^n عندما n >= 1.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- تكرار القيمة الذاتية وحده لا يمنع التحويل القطري؛ المشكلة هنا غياب متجه ذاتي مستقل ثانٍ.
- تنعدم الحدود المحتوية N^2 أو قوة أعلى فيبقى 2^n I + n*2^(n-1)N.
نقاط التصحيح
- القيمة الذاتية الوحيدة 2 وفضاؤها الذاتي y = 0 ذو بعد واحد.
- اكتب B = 2I + N حيث N^2 = 0.
- يعطي نشر ذات الحدين للعوامل المتبادلة B^n = [[2^n,n*2^(n-1)],[0,2^n]].
ملاحظة الفاحص: برّر طريقة ذات الحدين بأن I وN تتبادلان في الضرب.
نقاط التصحيح استرشادية وليست سلم تصحيح رسمي. تُقبل الطرق الصحيحة المكافئة والتفسيرات المدعومة التي تجيب عن المطلوب؛ امنح كل درجة مرة واحدة دون اشتراط مطابقة كلمات الإجابة النموذجية.