الرياضيات المتقدمة

1. 1.

   حوّل النقطة القطبية r = 4 وtheta = pi/3 إلى إحداثيات ديكارتية وحدد بعدها عن الأصل.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. استخدم جيب وجيب تمام pi/3 بدقة بدلاً من القيم المقربة.
   2. sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(4 + 12) يؤكد نصف القطر.

   نقاط التصحيح

   • x = r cos theta = 2.
   • y = r sin theta = 2sqrt(3).
   • البعد 4 وحدات.

   ملاحظة الفاحص: الزاوية بالراديان لا بالدرجات.

2. 2.

   حوّل r = 6cos theta إلى الصيغة الديكارتية وحدد المركز ونصف القطر.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يتجنب الضرب في r القسمة على نصف قطر قد يساوي صفراً عند الأصل.
   2. تمر الدائرة الناتجة بالقطب وبالنقطة (6,0).

   نقاط التصحيح

   • اضرب في r: r^2 = 6r cos theta فينتج x^2 + y^2 = 6x.
   • أكمل المربع: (x - 3)^2 + y^2 = 9.
   • المركز (3,0) ونصف القطر 3.

   ملاحظة الفاحص: المعامل 6 هو القطر لا نصف القطر.

3. 3.

   أوجد المساحة التي يمسحها r = 2theta عندما 0 <= theta <= pi/2 وأعط جواباً تاماً.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يزداد نصف القطر باستمرار خلال قطاع ربع دورة دون تداخل.
   2. مكعب الحد الأعلى pi^3/8؛ اضرب في 2/3 للحصول على pi^3/12.

   نقاط التصحيح

   • استخدم المساحة = (1/2) تكامل r^2 dtheta.
   • كامل 2theta^2 إلى 2theta^3/3.
   • المساحة pi^3/12 وحدة مربعة.

   ملاحظة الفاحص: تكامل المساحة القطبية يستخدم مربع r لا r.

4. 4.

   للمنحنى r = 1 + cos theta أوجد dy/dx عند theta = pi/2.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اشتق حاصلَي الضرب قبل التعويض بالزاوية؛ تغير r يسهم في كل مشتقة.
   2. خذ نسبة مشتقتي المعامل لا dr/dtheta.

   نقاط التصحيح

   • x = r cos theta وy = r sin theta مع r' = -sin theta.
   • عند pi/2 تكون dx/dtheta = -1 وdy/dtheta = -1.
   • dy/dx = 1.

   ملاحظة الفاحص: المشتقة الشعاعية القطبية ليست ميل المماس الديكارتي.

5. 5.

   للمنحنى r = 3cos(2theta) حدد مجال theta للبتلة المتمركزة على محور x الموجب واحسب مساحتها بدقة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. عند theta = 0 يكون نصف القطر أكبر ما يمكن وموجباً مما يحدد البتلة المطلوبة.
   2. تنعدم حدود الجيب الطرفية ويترك عرض المجال pi/2 قيمة تكامل pi/4 قبل عامل المساحة.

   نقاط التصحيح

   • تمتد البتلة من theta = -pi/4 إلى pi/4 بين صفرين متجاورين لـ r.
   • المساحة = (9/2) تكامل cos^2(2theta) على هذا المجال.
   • استخدام cos^2(2theta) = (1 + cos(4theta))/2 يعطي 9pi/8 وحدة مربعة.

   ملاحظة الفاحص: التكامل على دورة كاملة يحسب أكثر من البتلة الواحدة المطلوبة.

6. 6.

   أوجد المساحة داخل r = 1 + cos theta وخارج دائرة الوحدة، وحدد زاويتي التقاطع المستخدمتين.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اطرح مربع نصف القطر الداخلي من مربع الخارجي على كل شعاع.
   2. يختزل التعبير إلى 2cos theta + cos^2 theta؛ تكاملاهما 4 وpi/2 قبل القسمة على اثنين.

   نقاط التصحيح

   • r = 1 عند theta = +/-pi/2؛ يقع المنحنى خارج الدائرة عندما -pi/2 <= theta <= pi/2.
   • المساحة = (1/2) تكامل [(1 + cos theta)^2 - 1] على هذا المجال.
   • المساحة 2 + pi/4 وحدة مربعة.

   ملاحظة الفاحص: اطرح المساحتين فقط عند الزوايا التي يكون فيها المنحنى خارجياً.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.