الرياضيات المتقدمة

1. 1.

   للمصفوفة A = [[1, 2], [3, 4]] احسب det(A) وA^-1.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تكون المصفوفة من الرتبة الثانية قابلة للعكس عندما ad - bc لا يساوي صفراً؛ هنا يساوي -2.
   2. بدّل عنصري القطر، واعكس إشارتي العنصرين الآخرين، ثم اقسم جميع العناصر على -2.
   3. تحقق بضرب A في الإجابة: تصبح عناصر القطر 1 والعناصر الأخرى 0.

   نقاط التصحيح

   • det(A) = 4 - 6 = -2.
   • A^-1 = (1/-2)[[4, -2], [-3, 1]].
   • A^-1 = [[-2, 1], [1.5, -0.5]].

   ملاحظة الفاحص: اقسم المصفوفة المرافقة كلها على المحدد، لا عناصر قطرها فقط.

2. 2.

   أثبت بالاستقراء الرياضي أن 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n^2 لكل عدد صحيح موجب n.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. ابدأ بأصغر عدد مسموح. تصح العبارة عند 1 لأن المجموع يتكون من حد واحد.
   2. وفق فرضية الاستقراء، مجموع أول k حدود هو k^2. العدد الفردي التالي 2(k + 1) - 1 = 2k + 1.
   3. إضافة هذا الحد تعطي بالضبط صيغة k + 1، فتكتمل العلاقة المنطقية اللازمة للاستقراء.

   نقاط التصحيح

   • عند n = 1 يساوي الطرفان 1.
   • افترض صحة النتيجة عند n = k.
   • عند k + 1 أضف 2k + 1 لتحصل على k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2.
   • تثبت الحالة الأساسية وخطوة الاستقراء النتيجة لكل الأعداد الصحيحة الموجبة.

   ملاحظة الفاحص: فحص حالات عددية لا يثبت النتيجة لكل n. اذكر فرضية الاستقراء بوضوح.

3. 3.

   لتكن A = [[2, 1], [1, 2]] وP = [[1, 1], [1, -1]]. بيّن A = P diag(3, 1) P^-1 واستنتج صيغة A^n لكل n صحيح موجب.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. ضرب A في (1, 1) يعطي 3(1, 1)، وفي (1, -1) يعطي (1, -1). حافظ على ترتيب الأعمدة في المصفوفة القطرية.
   2. في حاصل الضرب المتكرر لـPDP^-1 تكون كل P^-1P داخلية هي مصفوفة الوحدة، ويبقى PD^nP^-1.
   3. احسب حاصل ضرب المصفوفات من الرتبة الثانية. إعادة n = 1 تعطي A وتوفر تحققاً سريعاً.

   نقاط التصحيح

   • P^-1 = P/2.
   • أعمدة P متجهات ذاتية بقيمتين 3 و1، لذا AP = P diag(3, 1).
   • A^n = P diag(3^n, 1) P^-1.
   • A^n = (1/2)[[3^n + 1, 3^n - 1], [3^n - 1, 3^n + 1]].

   ملاحظة الفاحص: قد تتطلب مهمة بأربع نقاط استدلالاً متقدماً. الصعوبة ليست عدد الدرجات.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.