الرياضيات المتقدمة

1. 1.

   حل y'' - 3y' + 2y = 0 مع y(0) = 3 وy'(0) = 4.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تختزل المعادلة الخطية ذات المعاملات الثابتة إلى m^2 - 3m + 2 = 0.
   2. اشتق الحل العام قبل تطبيق الشرط الثاني؛ يعطي الطرح B = 1.

   نقاط التصحيح

   • الجذران المميزان 1 و2.
   • y = A e^x + B e^(2x) مع A + B = 3 وA + 2B = 4.
   • y = 2e^x + e^(2x).

   ملاحظة الفاحص: استخدم y' لا y للشرط الابتدائي المشابه للسرعة.

2. 2.

   أوجد الحل العام لـ y'' - 4y' + 4y = 0 واشرح الحاجة إلى ثابتين.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. كتابة A e^(2x) + B e^(2x) تعطي ثابتاً فعالاً واحداً فقط.
   2. يتطلب الجذر المكرر عامل x إضافياً لإنشاء حل مستقل ثانٍ.

   نقاط التصحيح

   • المعادلة المميزة (m - 2)^2 = 0.
   • y = (A + Bx)e^(2x).
   • يسمح الحلان المستقلان e^(2x) وxe^(2x) بتحقيق شرطين ابتدائيين مستقلين.

   ملاحظة الفاحص: تحتاج الجذور المكررة إلى x e^(mx) لا تكرار الأسّي نفسه.

3. 3.

   حل y'' + 2y' + 5y = 0 مع y(0) = 1 وy'(0) = 0 وحدد السلوك بعيد المدى.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يعطي الجزء الحقيقي السالب غلافاً متناقصاً والجزء التخيلي تذبذباً.
   2. طبق قاعدة الضرب على الغلاف الأسّي عند حساب y'(0).

   نقاط التصحيح

   • الجذران -1 +/- 2i فيكون y = e^(-x)(A cos 2x + B sin 2x).
   • A = 1 و-A + 2B = 0 لذا B = 1/2.
   • y = e^(-x)(cos 2x + sin 2x/2) وتميل إلى الصفر عندما x تميل إلى اللانهاية.

   ملاحظة الفاحص: تجاهل مشتقة e^(-x) يعطي خطأً B = 0.

4. 4.

   أوجد الحل العام لـ y'' - y = 6e^(2x).

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. أس القسر اثنان ليس جذراً مميزاً لذا تنجح تجربة الأسّي المعتادة.
   2. تضرب المشتقة الثانية التجربة في أربعة؛ طرح التجربة يترك ثلاثة أمثالها.

   نقاط التصحيح

   • الحل المكمل: A e^x + B e^(-x).
   • جرّب C e^(2x)؛ يعطي التعويض 3C = 6.
   • y = A e^x + B e^(-x) + 2e^(2x).

   ملاحظة الفاحص: أدرج الحل المكمل إضافة إلى التكامل الخاص.

5. 5.

   حل y'' + 4y = 8cos(2x) مع y(0) = 0 وy'(0) = 0 واشرح فشل التجربة C cos(2x).

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تطابق تردد القسر مع التردد الطبيعي ينتج رنيناً لذا اضرب التجربة في x.
   2. مشتقة 2x sin(2x) هي 2sin(2x) + 4x cos(2x) وتساوي صفراً عند الأصل كما يُطلب.

   نقاط التصحيح

   • C cos(2x) حل مكمل أصلاً ويعطي صفراً في الطرف الأيسر.
   • جرّب Cx sin(2x)؛ y'' + 4y = 4C cos(2x) لذا C = 2.
   • يلغي الشرطان الابتدائيان ثابتي الحل المكمل؛ y = 2x sin(2x).

   ملاحظة الفاحص: للتكامل الخاص الرنيني غلاف متزايد حتى مع إزاحة ابتدائية صفرية.

6. 6.

   أوجد جميع حلول y'' + y = 0 على [0,pi] التي تحقق y(0) = 0 وy(pi) = 0 واشرح هل تحدد الشروط حلاً وحيداً.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. هذه شروط حدودية عند نقطتين مختلفتين وليست قيمة ومشتقة ابتدائيتين عند نقطة واحدة.
   2. تصبح المعادلة الثانية 0 = 0 بعد تطبيق الأولى فلا تقدم معلومات عن B.

   نقاط التصحيح

   • الحل العام: A cos x + B sin x.
   • يفرض y(0) = 0 أن A = 0؛ يتحقق y(pi) = 0 لكل B.
   • جميع الحلول y = B sin x لأي B حقيقية؛ لا توجد وحدانية.

   ملاحظة الفاحص: وجود شرطين مكتوبين لا يعني أنهما قيدان مستقلان.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.