الرياضيات المتقدمة

1. 1.

   أوجد الزاوية بين العمودين على المستويين x + 2y + 2z = 4 و2x + y - 2z = 1.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اقرأ مركبات العمود من المعاملات لا من الثوابت في الطرف الأيمن.
   2. العمودان غير صفريين؛ لذا يثبت الضرب القياسي الصفري التعامد.

   نقاط التصحيح

   • العمودان (1,2,2) و(2,1,-2).
   • حاصل ضربهما القياسي 0.
   • الزاوية 90 درجة.

   ملاحظة الفاحص: تؤثر ثوابت المستوى في الموقع لا الاتجاه.

2. 2.

   أوجد تقاطع r = (1,0,2) + t(2,1,-1) مع x + y + z = 7.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يتحكم معامل واحد في الإحداثيات الثلاثة على المستقيم.
   2. معامل t غير صفري لذا يلتقي المستقيم بالمستوى في نقطة واحدة بالضبط.

   نقاط التصحيح

   • عوّض x = 1 + 2t وy = t وz = 2 - t.
   • تعطي 3 + 2t = 7 القيمة t = 2.
   • التقاطع: (5,2,0).

   ملاحظة الفاحص: اذكر النقطة لا قيمة المعامل فقط.

3. 3.

   أوجد معادلة ديكارتية للمستوى المار بالنقاط A = (1,0,0) وB = (0,1,0) وC = (0,0,2).

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. الضرب الاتجاهي عمودي على متجهين غير متوازيين داخل المستوى.
   2. عوّض A لإيجاد الثابت؛ تحقق B وC المعادلة الناتجة أيضاً.

   نقاط التصحيح

   • AB = (-1,1,0) وAC = (-1,0,2).
   • AB cross AC = (2,2,1).
   • المستوى 2x + 2y + z = 2.

   ملاحظة الفاحص: يعطي عكس ترتيب الضرب الاتجاهي مستوى مكافئاً بعد تغيير كل الإشارات.

4. 4.

   أوجد مسقط العمود من P = (3,2,1) على المستوى x + 2y + 2z = 0 والمسافة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تحرك من P في اتجاه العمود حتى تتحقق معادلة المستوى.
   2. الإزاحة (-1,-2,-2) طولها ثلاثة؛ يحقق المسقط 2 + 0 - 2 = 0.

   نقاط التصحيح

   • العمود n = (1,2,2) مع P dot n = 9 وn dot n = 9.
   • المسقط P - [(P dot n)/(n dot n)]n = (2,0,-1).
   • المسافة 3 وحدات.

   ملاحظة الفاحص: استخدم n dot n في معامل الإسقاط لا |n|.

5. 5.

   المستقيمان L1: r = (0,0,0) + s(1,0,0) وL2: r = (0,1,1) + t(0,1,0). بيّن أنهما متخالفان وأوجد أقصر مسافة وأقرب نقطتين.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يجب أن تنعدم مركبتا x وy للواصل الأقصر لأن المستقيمين يسمحان بتعديل هذين الاتجاهين.
   2. الفصل الرأسي الباقي ثابت عند واحد فيعطي حداً أدنى يتحقق عند النقطتين المذكورتين.

   نقاط التصحيح

   • الاتجاهان غير متوازيين والإحداثيان z وهما 0 و1 يمنعان التقاطع.
   • يكون المتجه الواصل (-s,1 + t,1) عمودياً على الاتجاهين فقط عندما s = 0 وt = -1.
   • أقرب نقطتين (0,0,0) و(0,0,1)؛ المسافة 1 وحدة.

   ملاحظة الفاحص: قد يكون المستقيمان غير المتوازيين في الفضاء متخالفين؛ افتراض التقاطع في بعدين غير صالح.

6. 6.

   أوجد معادلة متجهة لتقاطع x + y + z = 3 وx - y + z = 1، ثم أوجد نقطة المستقيم الأقرب إلى الأصل.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اختر x وz متساويين لنقطة مناسبة ثم غيرهما باتجاهين متعاكسين للمحافظة على مجموعهما.
   2. حاصل الضرب القياسي لمتجه النقطة المختارة مع اتجاه المستقيم صفر مما يؤكد تعامد الواصل من الأصل بصورة مستقلة.

   نقاط التصحيح

   • يعطي الطرح y = 1 ثم x + z = 2.
   • r = (1,1,1) + t(1,0,-1).
   • مربع المسافة 3 + 2t^2 وأصغره عند t = 0؛ أقرب نقطة (1,1,1).

   ملاحظة الفاحص: صغّر مربع المسافة؛ له الموضع الأدنى نفسه وجبر أبسط.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.