الرياضيات

1. 1.

   حل المتباينة |2x - 3| < 7.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. المتباينة |A| < k تعني أن A تقع بين -k و k.
   2. حل المتباينة المزدوجة دفعة واحدة مع تطبيق كل عملية على الأجزاء الثلاثة.

   نقاط التصحيح

   • كتابة -7 < 2x - 3 < 7.
   • إضافة 3 للأجزاء كلها: -4 < 2x < 10.
   • القسمة على 2: -2 < x < 5.

   ملاحظة الفاحص: المتباينة |A| < k تعطي فترة واحدة محدودة، أما |A| > k فتعطي منطقتين منفصلتين. لا تخلط بينهما.

2. 2.

   إذا كانت f(x) = 3x + 2 وg(x) = x^2 - 1، أوجد fg(x) وgf(x) وبيّن أن fg وgf ليستا الدالة نفسها.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. fg(x) تعني تطبيق g أولاً ثم f، وgf(x) تعني تطبيق f أولاً ثم g.
   2. عوّض بعناية ثم قارن عند قيمة واحدة لإثبات الاختلاف.

   نقاط التصحيح

   • fg(x) = 3(x^2 - 1) + 2 = 3x^2 - 1.
   • gf(x) = (3x + 2)^2 - 1 = 9x^2 + 12x + 3.
   • تختلفان مثلاً عند x = 1: fg(1) = 2 بينما gf(1) = 24.

   ملاحظة الفاحص: الترتيب مهم: fg(x) = f(g(x)). عكس الترتيب هو الخطأ الأشيع.

3. 3.

   عبّر عن (5x + 1) / ((x - 1)(x + 2)) بالكسور الجزئية.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اكتب الصيغة بثابت واحد فوق كل عامل خطي.
   2. اضرب بالمقام وعوّض بجذري المقام x = 1 وx = -2 لعزل كل ثابت.
   3. تحقق بإعادة الجمع: 2(x + 2) + 3(x - 1) = 5x + 1.

   نقاط التصحيح

   • كتابة A/(x - 1) + B/(x + 2).
   • الحصول على 5x + 1 = A(x + 2) + B(x - 1).
   • إيجاد A = 2 (بوضع x = 1) وB = 3 (بوضع x = -2).
   • كتابة النتيجة 2/(x - 1) + 3/(x + 2).

   ملاحظة الفاحص: تحقق دائماً بإعادة جمع الكسور. التعويض بالجذور أسرع كثيراً من مقارنة المعاملات.

4. 4.

   عُرّفت الدالة f بالقاعدة f(x) = (2x + 1)/(x - 3) حيث x != 3. أوجد f^-1(x) وحدّد مجالها.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. للحصول على المعكوس، اعزل x بدلالة y ثم بدّل الرمزين.
   2. القيمة 2 مستثناة لأن f(x) تقترب من 2 عندما تكبر x لكنها لا تبلغها أبداً.

   نقاط التصحيح

   • وضع y = (2x + 1)/(x - 3) وإعادة الترتيب إلى yx - 3y = 2x + 1.
   • جمع حدود x: x(y - 2) = 3y + 1.
   • كتابة f^-1(x) = (3x + 1)/(x - 2).
   • مجال f^-1 هو مدى f، إذن x != 2.

   ملاحظة الفاحص: مجال الدالة العكسية يساوي مدى الدالة الأصلية، وليس مجالها.

5. 5.

   للمنحنى y = f(x) نقطة عظمى عند (2, 5). اكتب إحداثيات نقطة الانعطاف المناظرة على كل من: (أ) y = 2f(x - 3)، (ب) y = f(2x) + 4، (ج) y = -f(x + 1). وحدّد طبيعة النقطة في (ج).

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. التحويلات داخل القوسين تؤثر في x وتعمل بالعكس: f(x - 3) تزيح 3 يميناً وf(2x) تقسم قيم x على 2.
   2. التحويلات خارج القوسين تؤثر في y وتعمل كما هي مكتوبة: 2f تضاعف y، +4 ترفع 4، والإشارة السالبة تعكس في المحور x.

   نقاط التصحيح

   • (أ) النقطة (5, 10): إزاحة 3 يميناً وتمدد بمعامل 2 في y.
   • (ب) الإحداثي x يساوي 1 (تقلص بمعامل 1/2 في x).
   • (ب) الإحداثي y يساوي 9 (إزاحة 4 للأعلى).
   • (ج) النقطة (1, -5): إزاحة 1 يساراً وانعكاس في المحور x.
   • (ج) هي نقطة صغرى لأن الانعكاس يقلب النقطة العظمى.

   ملاحظة الفاحص: نفّذ تغييرات x وتغييرات y كلاً على حدة. داخل القوسين، تأثير الإشارة في x عكس ما يوحي به شكلها.

6. 6.

   حل المعادلة 2^(2x+1) - 9(2^x) + 4 = 0 مع إعطاء قيم x تامة.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. لاحظ المعادلة التربيعية المخفية: 2^(2x+1) = 2 * (2^x)^2 فالمعادلة تربيعية في u = 2^x.
   2. حل بالنسبة إلى u ثم عُد إلى x. قيمتا u موجبتان فتعطيان حلين صحيحين لـ x.

   نقاط التصحيح

   • كتابة 2^(2x+1) = 2(2^x)^2.
   • بوضع u = 2^x نحصل على 2u^2 - 9u + 4 = 0.
   • التحليل (2u - 1)(u - 4) = 0 إذن u = 1/2 أو u = 4.
   • 2^x = 4 تعطي x = 2.
   • 2^x = 1/2 تعطي x = -1.

   ملاحظة الفاحص: بعد التعويض u = 2^x ارفض أي u <= 0 لأن 2^x موجبة دائماً. هنا يصلح الجذران.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.