الرياضيات

1. 1.

   اشتق y = x^2 e^(3x) بالنسبة إلى x.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. الدالة حاصل ضرب x^2 وe^(3x) لذا نستخدم d(uv)/dx = u'v + uv'.
   2. اشتقاق e^(3x) يحتاج قاعدة السلسلة فيظهر العامل 3.

   نقاط التصحيح

   • استخدام قاعدة الضرب مع u = x^2 وv = e^(3x).
   • كتابة u' = 2x وv' = 3e^(3x).
   • الحصول على dy/dx = e^(3x)(2x + 3x^2) = x e^(3x)(2 + 3x).

   ملاحظة الفاحص: مشتقة e^(kx) هي k e^(kx). نسيان العامل k هو الزلة المعتادة.

2. 2.

   أوجد ميل المنحنى y = (3x^2 + 1)^4 عند النقطة التي فيها x = 1.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اشتق القوة الخارجية أولاً ثم اضرب بمشتقة الدالة الداخلية 3x^2 + 1.
   2. عوّض x = 1 بعد الاشتقاق فقط.

   نقاط التصحيح

   • استخدام قاعدة السلسلة: dy/dx = 4(3x^2 + 1)^3 * 6x.
   • التبسيط إلى 24x(3x^2 + 1)^3.
   • عند x = 1 يكون الميل 24 * 4^3 = 1536.

   ملاحظة الفاحص: عوّض قيمة x بعد الاشتقاق وليس قبله.

3. 3.

   أوجد الإحداثيات x التامة للنقاط الساكنة للمنحنى y = (2x + 1)/(x^2 + 1).

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تحدث النقاط الساكنة حيث dy/dx = 0، وفي الكسر يعني ذلك أن البسط صفر (والمقام لا ينعدم هنا).
   2. معادلة البسط لا تتحلل، لذا استخدم قانون المعادلة التربيعية لإبقاء الجذور تامة.

   نقاط التصحيح

   • استخدام قاعدة القسمة: dy/dx = [2(x^2 + 1) - (2x + 1)(2x)]/(x^2 + 1)^2.
   • تبسيط البسط إلى -2x^2 - 2x + 2.
   • مساواة البسط بالصفر: x^2 + x - 1 = 0.
   • الحل: x = (-1 + sqrt(5))/2 أو x = (-1 - sqrt(5))/2.

   ملاحظة الفاحص: يكفي أن يساوي البسط صفراً. لا تفك المقام المربع.

4. 4.

   للمنحنى C المعادلة x^2 + xy + y^2 = 7 ويمر بالنقطة P(1, 2). أوجد معادلة المماس لـ C عند P بالصيغة ax + by = c.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اشتق كل حد بالنسبة إلى x؛ حدود y تأخذ العامل dy/dx والحد xy يحتاج قاعدة الضرب.
   2. اجمع حدود dy/dx واجعلها موضوع القانون وعوّض (1, 2) ثم اكتب المماس بصيغة النقطة والميل ورتّبه.

   نقاط التصحيح

   • التحقق من أن P على C: 1 + 2 + 4 = 7.
   • الاشتقاق الضمني: 2x + y + x(dy/dx) + 2y(dy/dx) = 0.
   • الحصول على dy/dx = -(2x + y)/(x + 2y).
   • الميل عند P يساوي -4/5.
   • المماس: y - 2 = -(4/5)(x - 1) إذن 4x + 5y = 14.

   ملاحظة الفاحص: تذكّر قاعدة الضرب للحد xy. تحقق سريع: يجب أن تحقق النقطة (1, 2) معادلة المماس.

5. 5.

   أسطوانة مغلقة حجمها 500 سم^3. أوجد نصف القطر الذي يجعل مساحة سطحها الكلية أصغر ما يمكن، وأوجد المساحة الصغرى بدقة 3 أرقام معنوية، مع تبرير أنها صغرى.

   [6 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. احذف h بقيد الحجم لتصبح المساحة دالة في r فقط.
   2. ساوِ dS/dr بالصفر لإيجاد النقطة الساكنة واستخدم المشتقة الثانية لتأكيد أنها صغرى.
   3. عند الحل الأمثل h = 500/(pi r^2) تساوي نحو 8.60 سم وهي ضعف r: فحص مفيد.

   نقاط التصحيح

   • استخدام V = pi r^2 h = 500 لكتابة h = 500/(pi r^2).
   • تكوين S = 2 pi r^2 + 2 pi r h = 2 pi r^2 + 1000/r.
   • الاشتقاق: dS/dr = 4 pi r - 1000/r^2.
   • المساواة بالصفر: r^3 = 250/pi إذن r = 4.30 سم.
   • إثبات أن d^2S/dr^2 = 4 pi + 2000/r^3 > 0 فهي صغرى.
   • المساحة الصغرى 349 سم^2.

   ملاحظة الفاحص: برّر الصغرى دائماً بالمشتقة الثانية أو بتغير الإشارة. اذكر r والقيمة الصغرى إذا طُلبا.

6. 6.

   يُضخ الهواء في بالون كروي بمعدل 100 سم^3 في الثانية. أوجد (أ) معدل تزايد نصف القطر عندما r = 5 سم، (ب) معدل تزايد مساحة السطح في تلك اللحظة. [V = 4/3 pi r^3، S = 4 pi r^2]

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اربط المعدل المعلوم dV/dt بالمعدل المطلوب dr/dt بقاعدة السلسلة: dV/dt = (dV/dr)(dr/dt).
   2. أعد استخدام dr/dt في قاعدة السلسلة الثانية dS/dt = (dS/dr)(dr/dt).

   نقاط التصحيح

   • اشتقاق V: dV/dr = 4 pi r^2.
   • استخدام قاعدة السلسلة: dV/dt = 4 pi r^2 (dr/dt).
   • (أ) dr/dt = 100/(4 pi * 25) = 1/pi أي نحو 0.318 سم/ث.
   • اشتقاق S: dS/dt = 8 pi r (dr/dt).
   • (ب) dS/dt = 8 pi * 5 * (1/pi) = 40 سم^2/ث.

   ملاحظة الفاحص: في مسائل المعدلات المرتبطة اشتق بالنسبة إلى t وليس r. عوّض قيم اللحظة في النهاية فقط.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.