الرياضيات

1. 1.

   أوجد المساحة بين y = 3x^2 + 2 ومحور x من x = 0 إلى x = 2.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. المنحنى موجب في المجال كله، لذا يمثّل تكامله المحدد المساحة المطلوبة.
   2. زد كل أس بمقدار واحد واقسم على الأس الجديد: integral(3x^2 + 2) = x^3 + 2x + C.
   3. اطرح قيمة الحد الأدنى من قيمة الحد الأعلى: (8 + 4) - 0 = 12.

   نقاط التصحيح

   • دالة أصلية هي x^3 + 2x.
   • احسب [x^3 + 2x] من 0 إلى 2.
   • المساحة 12 وحدة مربعة.

   ملاحظة الفاحص: تُقاس المساحة بوحدات مربعة. يختفي ثابت التكامل في التكامل المحدد.

2. 2.

   سرعة جسيم v(t) = t^2 - 4t + 3 m s^-1 خلال 0 <= t <= 3 ثانية. أوجد إزاحته والمسافة الكلية التي قطعها.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تراعي الإزاحة الاتجاه، أما المسافة فتحسب مقدار الحركة. ابدأ بإيجاد أصفار السرعة.
   2. السرعة موجبة في (0, 1) وسالبة في (1, 3). F(0) = 0 وF(1) = 4/3 وF(3) = 0.
   3. تتلاشى المساهمتان بإشارتيهما، لكن مقداريهما يُجمعان: |4/3| + |-4/3| = 8/3 m.

   نقاط التصحيح

   • v(t) = (t - 1)(t - 3)، فتتغير الإشارة عند t = 1 داخل المجال.
   • دالة أصلية هي F(t) = t^3/3 - 2t^2 + 3t.
   • الإزاحة = F(3) - F(0) = 0 m.
   • المسافة = 4/3 + 4/3 = 8/3 m.

   ملاحظة الفاحص: الإزاحة الصفرية لا تعني مسافة صفرية. قسّم التكامل عند كل تغير في إشارة السرعة.

3. 3.

   يحقق نموذج dP/dt = 0.2P(1 - P/100) مع P(0) = 20. افصل المتغيرات لإيجاد P(t) واحسب الزمن عندما P = 50. الزمن بالسنوات.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اكتب الكسر المفصول 1/P + 1/(100 - P). يتكامل الحد الثاني إلى -ln(100 - P).
   2. عند t = 0 تكون النسبة P/(100 - P) مساوية 20/80 = 1/4. خذ الأس وأعد الترتيب لعزل P.
   3. عند P = 50 تساوي النسبة 1، لذلك e^(0.2t) = 4. يقترب النموذج من 100 بدلاً من النمو غير المحدود.

   نقاط التصحيح

   • افصل إلى 100/[P(100 - P)] dP = 0.2 dt.
   • يعطي التكامل ln(P/(100 - P)) = 0.2t + C عندما 0 < P < 100.
   • استخدم P(0) = 20 للحصول على P/(100 - P) = e^(0.2t)/4.
   • P(t) = 100/(1 + 4e^(-0.2t)).
   • P = 50 يعطي t = ln(4)/0.2، أي نحو 6.93 سنة.

   ملاحظة الفاحص: احتفظ بالإشارة السالبة عند تكامل 1/(100 - P). هذا تدريب متقدم؛ تحقق من إدراج النماذج اللوجستية في منهجك.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.