الرياضيات

1. 1.

   أوجد تكامل (6x^2 - 4/x + e^(2x)) بالنسبة إلى x.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. كامل حداً حداً مستخدماً النتائج القياسية لـ x^n و1/x وe^(kx).
   2. في e^(kx) اقسم على k؛ وفي 1/x استخدم اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة.

   نقاط التصحيح

   • تكامل 6x^2 هو 2x^3.
   • تكامل -4/x هو -4 ln|x|.
   • تكامل e^(2x) هو (1/2)e^(2x) مع إضافة الثابت: 2x^3 - 4 ln|x| + (1/2)e^(2x) + C.

   ملاحظة الفاحص: أضف + C في التكامل غير المحدد واقسم على k عند تكامل e^(kx).

2. 2.

   احسب التكامل المحدد للدالة sin(2x) من x = 0 إلى x = pi/2.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. مشتقة cos(2x) هي -2 sin(2x) لذا اقسم على 2 واحتفظ بالإشارة السالبة.
   2. اعمل بالراديان واطرح الحد الأدنى من الأعلى.

   نقاط التصحيح

   • دالة أصلية هي -(1/2)cos(2x).
   • التعويض بالحدين: -(1/2)cos(pi) + (1/2)cos(0).
   • القيمة 1/2 + 1/2 = 1.

   ملاحظة الفاحص: استخدم الراديان وانتبه إلى الإشارة السالبة عند تكامل الجيب.

3. 3.

   استخدم التعويض u = x^2 + 1 لحساب تكامل x sqrt(x^2 + 1) من x = 0 إلى x = sqrt(3).

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. العامل x dx يساوي نصف du تماماً، فيزول x كلياً بالتعويض.
   2. حوّل الحدود إلى u فلا حاجة للعودة إلى x.

   نقاط التصحيح

   • du = 2x dx إذن x dx = (1/2) du.
   • تغيير الحدود: x = 0 تعطي u = 1 وx = sqrt(3) تعطي u = 4.
   • تكامل (1/2)u^(1/2) هو (1/3)u^(3/2).
   • الحساب (1/3)(8 - 1) = 7/3.

   ملاحظة الفاحص: غيّر الحدود عند تغيير المتغير، أو عُد إلى x قبل التعويض بالحدود. لا تخلط بين الطريقتين.

4. 4.

   استخدم التكامل بالتجزئة لإيجاد القيمة التامة لتكامل x ln x من x = 1 إلى x = e.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اختر u = ln x لأن مشتقتها 1/x تبسّط التكامل المتبقي ولا يمكن تكامل ln x مباشرة.
   2. طبّق قانون التجزئة ثم احسب بالحدين 1 وe (ln 1 = 0 وln e = 1).

   نقاط التصحيح

   • اختيار u = ln x وdv = x dx إذن du = 1/x dx وv = x^2/2.
   • كتابة [x^2 ln x / 2] - تكامل x/2 dx.
   • حساب الجزء الأول e^2/2 والتكامل (e^2 - 1)/4.
   • الناتج e^2/2 - (e^2 - 1)/4 = (e^2 + 1)/4.

   ملاحظة الفاحص: عندما يحوي المتكامل ln x اجعل u = ln x. تحقق بمفاضلة الناتج.

5. 5.

   باستخدام الكسور الجزئية، أثبت أن تكامل (5x + 1)/((x - 1)(x + 2)) من x = 2 إلى x = 3 يساوي ln(125/16).

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. جزّئ الدالة النسبية إلى كسور بسيطة يتكامل كل منها إلى لوغاريتم.
   2. بعد التعويض بالحدود استخدم n ln a = ln(a^n) وln a - ln b = ln(a/b) للوصول إلى لوغاريتم واحد.

   نقاط التصحيح

   • كتابة المتكامل 2/(x - 1) + 3/(x + 2).
   • التكامل إلى 2 ln(x - 1) + 3 ln(x + 2).
   • التعويض بالحدين: (2 ln 2 + 3 ln 5) - (0 + 3 ln 4).
   • تبسيط 3 ln 4 = 6 ln 2 للحصول على 3 ln 5 - 4 ln 2.
   • الجمع بقوانين اللوغاريتم: ln(5^3/2^4) = ln(125/16).

   ملاحظة الفاحص: في أسئلة 'أثبت أن' اكتب كل خطوة. حوّل 4 إلى 2^2 لتتمكن من جمع اللوغاريتمات.

6. 6.

   المنطقة R محصورة بين المنحنيين y = x^2 وy = 2x. أوجد (أ) مساحة R، (ب) الحجم التام الناتج عند تدوير R بزاوية 360 درجة حول المحور x.

   [6 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. الخط y = 2x فوق القطع المكافئ بين نقطتي التقاطع لذا اطرح المنحنى من الخط لحساب المساحة.
   2. المجسم قرص بداخله ثقب: اطرح الحجم الداخلي من الخارجي مع تربيع كل y قبل التكامل.

   نقاط التصحيح

   • إيجاد نقطتي التقاطع: x^2 = 2x تعطي x = 0 وx = 2.
   • المساحة = تكامل (2x - x^2) dx من 0 إلى 2.
   • حساب المساحة 4 - 8/3 = 4/3.
   • الحجم = pi * تكامل ((2x)^2 - (x^2)^2) dx أي فرق مربعين.
   • تكامل 4x^2 - x^4 هو 4x^3/3 - x^5/5.
   • الحجم = pi(32/3 - 32/5) = 64 pi/15.

   ملاحظة الفاحص: عند تدوير منطقة بين منحنيين حول المحور x اطرح المربعات وليس مربع الفرق.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.