الرياضيات
التفاضل البارامتري والنماذج التفاضلية
- 1.
منحنى معادلتاه x = t^2 + 1 وy = 3t عندما t > 0. أوجد dy/dx ومعادلة المماس عند t = 2.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- اشتق كل إحداثي بالنسبة إلى المعامل ثم اقسم المعدلين.
- يستخدم المماس إحداثيي x وy المحسوبين من t؛ فقيمة المعامل 2 ليست إحداثي x.
نقاط التصحيح
- dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3/(2t).
- عند t = 2 النقطة (5,6) والميل 3/4.
- المماس y - 6 = (3/4)(x - 5).
ملاحظة الفاحص: لا تقسم x على y؛ اقسم مشتقتيهما بالنسبة إلى t.
- 2.
اشتق xe^(2x). ثم أوجد تكامله غير المحدد موضحاً التكامل بالتجزئة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- تعطي قاعدة السلسلة العامل 2 في الاشتقاق، وعكسها يعطي 1/2 في التكامل.
- طبّق uv ناقص تكامل v du. اشتقاق الناتج يعيد xe^(2x)، فيتحقق المعاملان.
نقاط التصحيح
- المشتقة = e^(2x)(1 + 2x).
- اختر u = x وdv = e^(2x) dx، فيكون du = dx وv = e^(2x)/2.
- التكامل = e^(2x)(x/2 - 1/4) + C.
ملاحظة الفاحص: يبقى تكامل ثانٍ في التجزئة؛ لا تتوقف عند uv.
- 3.
للمعادلتين x = t^2 وy = t^3 - 3t حيث t > 0، أوجد نقطة المماس الأفقي واستخدم d^2y/dx^2 لتصنيفها.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- أعد كتابة المشتقة الأولى بالصورة (3/2)(t - 1/t) قبل الاشتقاق بالنسبة إلى t.
- المشتقة بالنسبة إلى t ليست بعدُ مشتقة بالنسبة إلى x: اقسم مرة أخرى على 2t. يستبعد القيد t > 0 الجذر الآخر.
نقاط التصحيح
- dy/dx = 3(t^2 - 1)/(2t).
- المماس الأفقي عند t = 1، فيكون (x,y) = (1,-2).
- d^2y/dx^2 = [d/dt(dy/dx)]/(dx/dt) = (3/4)(1/t + 1/t^3).
- عند t = 1 المشتقة الثانية 3/2 > 0، لذا النقطة صغرى محلية.
ملاحظة الفاحص: القسمة الإضافية على dx/dt أساسية للمشتقة الثانية.
- 4.
احسب بدقة تكامل 2x/(1 + x^2) من 0 إلى 1 باستخدام التعويض.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- البسط مشتقة المقام، مما يقترح دالة لوغاريتمية أصلية للتكامل.
- يمنع تغيير الحدود مع المتغير خلط حدود x بتعبير u. ولأن u موجبة فلا يوجد التباس في الإشارة.
نقاط التصحيح
- استخدم u = 1 + x^2 وdu = 2x dx.
- الحدان بعد التحويل u = 1 وu = 2.
- التكامل = تكامل 1/u من 1 إلى 2 = [ln u] من 1 إلى 2.
- القيمة الدقيقة ln 2.
ملاحظة الفاحص: لا تستخدم الحدين القديمين 0 و1 بعد تغيير متغير التكامل.
- 5.
حل dy/dx = 2x(1 + y) مع y(0) = 2. حدّد مجال الحل الحقيقي وأوجد y(1) بدقة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- عند البداية 1 + y = 3 > 0. تبقى الأسية الناتجة موجبة لذا تصح القسمة على 1 + y على هذا الحل.
- يعطي الاشتقاق 6xe^(x^2) وهي تساوي 2x(1 + y). يحقق الحل الثابت y = -1 المعادلة لكنه لا يحقق الشرط الابتدائي.
نقاط التصحيح
- افصل: dy/(1 + y) = 2x dx.
- بالتكامل ln|1 + y| = x^2 + C.
- يحدد الشرط الابتدائي الفرع الموجب والثابت: 1 + y = 3e^(x^2).
- y = 3e^(x^2) - 1 معرفة لكل x حقيقي.
- y(1) = 3e - 1.
ملاحظة الفاحص: حدّد الثابت من الشرط الابتدائي قبل حساب y(1).
- 6.
استخدم قاعدة شبه المنحرف بشريحتين متساويتين لتقدير تكامل 1/x من 1 إلى 3. بيّن باستخدام التقعر أنه تقدير زائد وأعطِ الخطأ بدقة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- احسب الدالة عند 1 و2 و3. يُحسب الارتفاع الداخلي المشترك مرتين في القاعدة.
- يفسر التحدب اتجاه الخطأ هندسياً، وتعطي الدالة الأصلية للتكامل مقداره الدقيق (نحو 0.0681).
نقاط التصحيح
- عرض الشريحة h = (3 - 1)/2 = 1.
- التقدير = (1/2)[1 + 2(1/2) + 1/3] = 7/6.
- التكامل الدقيق [ln x] من 1 إلى 3 = ln 3.
- f''(x) = 2/x^3 > 0 على [1,3]؛ تقع الأوتار فوق المنحنى فيكون التقدير زائداً.
- الخطأ = التقدير ناقص القيمة الدقيقة = 7/6 - ln 3.
ملاحظة الفاحص: ليس تناقص الدالة وحده سبب التقدير الزائد؛ يتحكم التقعر في خطأ قاعدة شبه المنحرف.
نقاط التصحيح استرشادية وليست سلم تصحيح رسمي. تُقبل الطرق الصحيحة المكافئة والتفسيرات المدعومة التي تجيب عن المطلوب؛ امنح كل درجة مرة واحدة دون اشتراط مطابقة كلمات الإجابة النموذجية.