الرياضيات
المتتابعات والمتسلسلات ونظرية ذات الحدين
- 1.
الحد الخامس لمتتابعة حسابية يساوي 17 والحد الثاني عشر يساوي 38. أوجد الحد الأول والأساس ومجموع أول 20 حداً.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- طرح معادلتي الحدين يحذف a ويعطي d مباشرة.
- استخدم S_n = (n/2)(2a + (n - 1)d) بعد معرفة a وd.
نقاط التصحيح
- تكوين 7d = 38 - 17 إذن d = 3.
- من a + 4d = 17 نحصل على a = 5.
- S20 = (20/2)(2 * 5 + 19 * 3) = 670.
ملاحظة الفاحص: الحد النوني هو a + (n - 1)d. في قانون المجموع استخدم n - 1 = 19 وليس 20.
- 2.
تبدأ متتابعة هندسية بـ 3 و6 و12 ... أوجد أول حد يتجاوز 1000 وقيمته.
[3 درجة]شرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- اكتب الحد العام وكوّن المتباينة واختبر قوى العدد 2 قرب 333 (2^8 = 256 و2^9 = 512).
- افحص الحد المجاور للتأكد أن الإجابة هي الأول.
نقاط التصحيح
- الحد النوني هو 3 * 2^(n - 1).
- حل 3 * 2^(n - 1) > 1000 إذن 2^(n - 1) > 333.3.
- n = 10 هو الأول وقيمة الحد 1536 (الحد التاسع 768 صغير).
ملاحظة الفاحص: افحص الحد السابق أيضاً. استخدم اللوغاريتمات إذا لم تكن الأعداد مريحة.
- 3.
متسلسلة هندسية حدها الأول 12 ومجموعها اللانهائي 48. أوجد الأساس والحد الثاني ومجموع أول ثلاثة حدود.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- أعد ترتيب قانون المجموع اللانهائي لإيجاد r؛ تتقارب المتسلسلة لأن |r| < 1.
- اكتب الحدود الثلاثة الأولى (12 و9 و6.75) واجمعها.
نقاط التصحيح
- استخدام S_inf = a/(1 - r): 12/(1 - r) = 48.
- الحصول على r = 3/4.
- الحد الثاني 12 * 3/4 = 9.
- S3 = 12 + 9 + 6.75 = 27.75.
ملاحظة الفاحص: المجموع اللانهائي موجود فقط عندما |r| < 1. اذكر هذا الشرط دائماً.
- 4.
فك (1 + 2x)^(-2) بقوى x التصاعدية حتى الحد الذي فيه x^3، واذكر مجال قيم x الذي يصح فيه الفك.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- الفك العام (1 + u)^n = 1 + nu + n(n - 1)u^2/2! + n(n - 1)(n - 2)u^3/3! + ... عندما |u| < 1.
- عوّض u بـ 2x مع الأقواس لتطبيق قوى العدد 2.
نقاط التصحيح
- استخدام (1 + u)^(-2) = 1 - 2u + 3u^2 - 4u^3 مع u = 2x.
- التعويض الصحيح u = 2x: -2(2x) = -4x و3(2x)^2 = 12x^2.
- الحصول على 1 - 4x + 12x^2 - 32x^3.
- صحيح عندما |2x| < 1 إذن |x| < 1/2.
ملاحظة الفاحص: ضع الحد 2x كاملاً بين قوسين قبل رفعه للقوة حتى لا تنسى 2^2 و2^3. اذكر |x| < 1/2 وليس |x| < 1.
- 5.
أثبت أن مجموع أول n حداً من المتسلسلة التي حدها r هو (3r - 1) يساوي n(3n + 1)/2. ثم أوجد أصغر n يجعل المجموع أكبر من 500.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبةشرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- استخدم النتيجة القياسية لمجموع أول n عدداً صحيحاً وتذكّر أن مجموع الثابت يساوي n.
- للمتباينة احسب الصيغة المغلقة عند قيم متتالية قرب حل n(3n + 1) = 1000.
نقاط التصحيح
- تجزئة المجموع: 3 أضعاف مجموع r ناقص مجموع 1.
- استخدام مجموع r = n(n + 1)/2 للحصول على 3n(n + 1)/2 - n.
- التبسيط إلى (3n^2 + n)/2 = n(3n + 1)/2.
- اختبار n = 18 فيعطي 495 وهو أقل من 500.
- اختبار n = 19 فيعطي 551 إذن أصغر n هو 19.
ملاحظة الفاحص: اكتب خطوات الجبر في أسئلة 'أثبت أن'. لأصغر عدد صحيح اختبر n وn - 1.
- 6.
(أ) فك (4 + x)^(1/2) بالصيغة 2(1 + x/4)^(1/2) حتى الحد الذي فيه x^2. (ب) استخدم x = 0.2 لتقدير الجذر التربيعي لـ 4.2 بخمس منازل عشرية. (ج) اذكر قيم x التي يصح عندها الفك.
[5 درجة]شرح الإجابة
الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.
- لاستخدام ذات الحدين يجب أن يكون الحد الأول داخل القوس 1 لذا أخرج 4 أولاً مع تذكّر أن الجذر التربيعي لـ 4 هو 2.
- قارن بقيمة الآلة الحاسبة 2.04939 لترى دقة حدّين: الخطأ أقل من 0.00002.
نقاط التصحيح
- إخراج 4 عاملاً: (4 + x)^(1/2) = 2(1 + x/4)^(1/2).
- فك (1 + u)^(1/2) = 1 + u/2 - u^2/8 مع u = x/4.
- الحصول على 2 + x/4 - x^2/64.
- عند x = 0.2: 2 + 0.05 - 0.000625 = 2.049375.
- صحيح عندما |x/4| < 1 إذن |x| < 4.
ملاحظة الفاحص: شرط 'الصلاحية' يأتي من القوس |x/4| < 1 وليس |x| < 1.
نقاط التصحيح استرشادية وليست سلم تصحيح رسمي. تُقبل الطرق الصحيحة المكافئة والتفسيرات المدعومة التي تجيب عن المطلوب؛ امنح كل درجة مرة واحدة دون اشتراط مطابقة كلمات الإجابة النموذجية.