الرياضيات

1. 1.

   متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة مستقلة من مجتمع طبيعي هو 52. الانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 6. اختبر H0: mu = 50 مقابل H1: mu > 50 عند مستوى 5% باستخدام اختبار z.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. توزيع متوسط العينة طبيعي وانحرافه sigma/sqrt(n) وليس sigma.
   2. تحدد الفرضية البديلة اختبار الطرف العلوي. يدعم انخفاض احتمال هذا الطرف تحت H0 الرفض ولا يثبت صحة H1 يقيناً.

   نقاط التصحيح

   • الخطأ المعياري = 6/sqrt(36) = 1.
   • z = (52 - 50)/1 = 2.
   • القيمة الاحتمالية أحادية الطرف = 1 - Phi(2) وتقارب 0.0228، وهي أقل من 0.05.
   • ارفض H0؛ يوجد دليل عند مستوى 5% أن متوسط المجتمع يتجاوز 50.

   ملاحظة الفاحص: قارن القيمة الاحتمالية أحادية الطرف بـ0.05؛ لا تضاعفها لهذه الفرضية البديلة.

2. 2.

   يتحرك جسيم على مستقيم بسرعة متجهة v(t) = 3t^2 m s^-1 على 0 <= t <= 2، حيث t بالثواني. أوجد إزاحته على الفترة وتسارعه عند t = 2.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يُكامل مقدار السرعة المتجهة ليعطي تغير الموضع ويُشتق ليعطي التسارع؛ لذا تحتاج الكميتان عمليتين متعاكستين.
   2. السرعة المتجهة غير سالبة على الفترة كلها، لذا تساوي المسافة أيضاً الإزاحة 8 m.

   نقاط التصحيح

   • الإزاحة = تكامل 3t^2 من 0 إلى 2 = [t^3] من 0 إلى 2.
   • الإزاحة = 8 m.
   • a(t) = dv/dt = 6t، لذا a(2) = 12 m s^-2.

   ملاحظة الفاحص: تعويض v(2) يعطي سرعة وليس الإزاحة خلال ثانيتين.

3. 3.

   في عشر محاولات مستقلة لوحظت تسعة نجاحات. اختبر H0: p = 0.5 مقابل H1: p > 0.5 عند دلالة 5% باستخدام احتمال الطرف العلوي الدقيق لثنائي الحدين.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. النتائج الأشد تطرفاً للفرضية البديلة هي التي لها عدد نجاحات لا يقل عن المرصود، لذا ضم عشرة نجاحات أيضاً.
   2. هذا اختبار لاحتمال مجتمع مجهول؛ والنسبة المرصودة 0.9 ليست الاحتمال المفترض في توزيع الفرضية الصفرية.

   نقاط التصحيح

   • تحت H0 يتبع X التوزيع Binomial(10,0.5).
   • يشمل P(X >= 9) القيمتين X = 9 وX = 10.
   • القيمة الاحتمالية = (C(10,9) + C(10,10))/2^10 = 11/1024 = 0.010742... .
   • لأنها أقل من 0.05 ارفض H0؛ تقدم البيانات دليلاً أن p > 0.5.

   ملاحظة الفاحص: لا تحسب P(X = 9) وحده ولا تعوّض 0.9 مكان احتمال الفرضية الصفرية.

4. 4.

   تُنمذج كمية تعبئة X بتوزيع طبيعي متوسطه 16 وانحرافه المعياري 2. أوجد P(X < 14) ثم c التي تحقق P(X < c) = 0.05. أعطِ النتيجتين بثلاثة أرقام معنوية.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تحسب المهمة الأولى احتمالاً تراكمياً عند حد معلوم، وتعكس الثانية العملية باستخدام الحساب الطبيعي العكسي.
   2. يقع حد الطرف الأدنى تحت المتوسط. قبل التقريب قيمته نحو 12.7103، مما يتحقق به الاتجاه والمقياس.

   نقاط التصحيح

   • عند 14، z = (14 - 16)/2 = -1.
   • P(X < 14) = Phi(-1) = 0.159 بثلاثة أرقام معنوية.
   • القيمة المعيارية عند الطرف الأدنى 5% تقارب -1.64485.
   • c = 16 + 2(-1.64485) = 12.7 بثلاثة أرقام معنوية.

   ملاحظة الفاحص: قيمة الطرف الأدنى 5% سالبة؛ استخدام +1.64485 يعطي حد 95% العلوي.

5. 5.

   نموذج السكان P(t) = 1000/(1 + 9e^(-0.4t)) حيث t >= 0 بالسنوات. أوجد P(0) ومعدل النمو الابتدائي ووقت بلوغ 500. باستخدام P' = 0.4P(1 - P/1000) أوجد أكبر معدل نمو على t >= 0.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تعبير معدل النمو دالة تربيعية في حجم السكان مفتوحة للأسفل، لذا يحدد إكمال المربع قيمتها العظمى.
   2. يبدأ المسار عند 100 ويزيد نحو 1000، لذا يبلغ فعلياً 500 في المجال الزمني المسموح. السعة الاستيعابية حد للنموذج وليست تعداداً واقعياً مضموناً.

   نقاط التصحيح

   • P(0) = 1000/10 = 100.
   • معدل النمو الابتدائي = 0.4(100)(1 - 100/1000) = 36 في السنة.
   • تعطي P = 500 العلاقة 9e^(-0.4t) = 1.
   • t = ln(9)/0.4 = 5.49 سنة بثلاثة أرقام معنوية.
   • P' = 100 - 0.0004(P - 500)^2، لذا القيمة العظمى 100 في السنة عند P = 500 التي يبلغها النموذج.

   ملاحظة الفاحص: حجم السكان الأقصى ومعدل النمو الأقصى كميتان مختلفتان.

6. 6.

   عندما x > 0 تكون كلفة نموذجية C(x) = x^2 + 100/x. أوجد بدقة x التي تصغّر الكلفة وأقل كلفة وبرّر أن الصغرى كلية.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يصح ضرب معادلة السكون في x^2 لأن x موجبة. استخدم x^3 = 50 لتبسيط الكلفة دون تقريب.
   2. تؤول الكلفة إلى ما لا نهاية حين تقترب x من الصفر من الأعلى وحين تؤول إلى ما لا نهاية. يؤكد ذلك أن الحدين لا يحسّنان الصغرى الوحيدة.

   نقاط التصحيح

   • C'(x) = 2x - 100/x^2.
   • تعطي C' = 0 المعادلة x^3 = 50، إذن x = 50^(1/3).
   • C''(x) = 2 + 200/x^3 > 0 لكل x > 0.
   • يجعل التحدب الصارم على المجال كله هذه النقطة الساكنة الوحيدة صغرى كلية.
   • لأن 100/x = 2x^2 عندها، فأقل كلفة = 3(50^(2/3)).

   ملاحظة الفاحص: اختبار الصغرى المحلية عند نقطة وحده لا يثبت أمثلية كلية.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.