الرياضيات

1. 1.

   يتبع X توزيع ذات الحدين مع n = 10 وp = 0.3. احسب P(X >= 3).

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. '3 على الأقل' هي متممة '2 على الأكثر' وتحتاج حدوداً أقل بكثير.
   2. استخدم دالة ذات الحدين التجميعية في الآلة الحاسبة.

   نقاط التصحيح

   • كتابة P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2).
   • إيجاد P(X <= 2) = 0.3828 من الجداول أو الآلة الحاسبة.
   • P(X >= 3) = 0.6172.

   ملاحظة الفاحص: P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2) وليس 1 - P(X <= 3). افحص اتجاه المتباينة.

2. 2.

   تُنمذج أطوال الرجال البالغين بتوزيع طبيعي متوسطه 170 سم وانحرافه المعياري 8 سم. احسب احتمال أن يكون رجل مختار عشوائياً أطول من 182 سم.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. حوّل إلى التوزيع الطبيعي المعياري بـ z = (x - المتوسط)/الانحراف المعياري.
   2. السؤال عن الذيل الأعلى لذا اطرح قيمة الجدول من 1.

   نقاط التصحيح

   • التقييس: z = (182 - 170)/8 = 1.5.
   • استخدام P(Z > 1.5) = 1 - P(Z < 1.5).
   • الاحتمال 0.0668.

   ملاحظة الفاحص: ارسم المنحنى لتحدد هل تحتاج المساحة يسار z أم يمينها.

3. 3.

   للحدثين A وB: P(A) = 0.6 وP(B) = 0.5 وP(A وB معاً) = 0.35. أوجد P(A | B) وحدّد هل A وB مستقلان وأوجد P(A أو B).

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. الاحتمال الشرطي يقسم الاحتمال المشترك على احتمال الشرط.
   2. قانون الجمع يطرح التقاطع مرة واحدة لتجنب العد المزدوج.

   نقاط التصحيح

   • P(A | B) = P(A و B)/P(B) = 0.35/0.5 = 0.7.
   • الاستقلال يتطلب P(A)P(B) = P(A و B).
   • 0.6 * 0.5 = 0.3 وهي لا تساوي 0.35 إذن غير مستقلين.
   • P(A أو B) = 0.6 + 0.5 - 0.35 = 0.75.

   ملاحظة الفاحص: لاختبار الاستقلال قارن P(A)P(B) مع P(A و B). لا تفترض الاستقلال.

4. 4.

   رُميت قطعة نقد 20 مرة وظهر الوجه 15 مرة. اختبر عند مستوى دلالة 5% هل القطعة منحازة نحو الصورة. اذكر الفرضيتين والاستنتاج.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. السؤال يقول 'منحازة نحو الصورة' لذا الفرضية البديلة بذيل واحد في الاتجاه الأعلى.
   2. قارن احتمال نتيجة بتطرف 15 فأكثر مع مستوى 5%.

   نقاط التصحيح

   • H0: p = 0.5 وH1: p > 0.5 (ذيل واحد).
   • تحت H0: X ~ B(20, 0.5) وقيمة p هي P(X >= 15).
   • P(X >= 15) = 0.0207.
   • 0.0207 < 0.05 إذن نرفض H0: يوجد دليل على أن القطعة منحازة نحو الصورة.

   ملاحظة الفاحص: استخدم P(X >= 15) وليس P(X = 15). اختم بالسياق وليس فقط 'نرفض H0'.

5. 5.

   تملأ آلة زجاجات بمتوسط حجم 250 مل وانحراف معياري معلوم 6 مل. عيّنة من 36 زجاجة متوسطها 247.8 مل. اختبر عند مستوى 5% هل انخفض متوسط الحجم.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. الانحراف المعياري لمتوسط العيّنة هو sigma/sqrt(n) وليس sigma.
   2. اختبار ذيل واحد عند 5% يستخدم القيمة الحرجة -1.645؛ قارن الناتج المقيّس بها.

   نقاط التصحيح

   • H0: mu = 250 وH1: mu < 250 (ذيل واحد).
   • متوسط العيّنة يتوزع N(250, 6^2/36) والخطأ المعياري 1.
   • إحصاءة الاختبار z = (247.8 - 250)/1 = -2.2.
   • المقارنة بالقيمة الحرجة -1.645 (أو قيمة p = 0.0139 < 0.05).
   • رفض H0: يوجد دليل على أن متوسط الحجم انخفض.

   ملاحظة الفاحص: استخدم الخطأ المعياري sigma/sqrt(n) لمتوسط العيّنة. اكتب الاستنتاج في سياق الآلة.

6. 6.

   لثمانية أزواج من البيانات (x, y) حيث x بين 2 و9: مجموع x = 40 ومجموع y = 96 وSxx = 60 وSxy = 84 وSyy = 120. أوجد خط انحدار y على x، وتنبأ بقيمة y عندما x = 7، وأوجد معامل ارتباط بيرسون، وفسّر الميل.

   [6 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. احسب الميل من الإحصاءات الملخصة ثم المقطع من المتوسطين (الخط يمر بالنقطة (x-bar, y-bar)).
   2. التنبؤ ضمن نطاق البيانات استيفاء وهو موثوق؛ وخارج النطاق استقراء وهو محفوف بالمخاطر.

   نقاط التصحيح

   • الميل b = Sxy/Sxx = 84/60 = 1.4.
   • المتوسطان: x-bar = 5 وy-bar = 12 إذن a = 12 - 1.4 * 5 = 5.
   • خط الانحدار y = 5 + 1.4x.
   • عند x = 7: y = 14.8 (موثوق لأن 7 ضمن نطاق البيانات 2 إلى 9).
   • r = 84/sqrt(60 * 120) = 0.990 ارتباط موجب قوي جداً.
   • التفسير: كل وحدة إضافية في x ترتبط بزيادة قدرها 1.4 وحدة في y.

   ملاحظة الفاحص: فسّر الميل في السياق واذكر الاستيفاء. والارتباط وحده لا يثبت السببية.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.