الرياضيات

1. 1.

   حل المعادلة 2 sin x = 1 حيث 0 <= x <= 2 pi مع كتابة الإجابات بدلالة pi.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. sin x = 1/2 موجبة في الربع الأول والثاني.
   2. جد زاوية الربع الأول ثم استخدم pi ناقص تلك الزاوية لحل الربع الثاني.

   نقاط التصحيح

   • إعادة الترتيب إلى sin x = 1/2.
   • الحل الأساسي x = pi/6.
   • الحل الثاني pi - pi/6 = 5 pi/6.

   ملاحظة الفاحص: الجيب يعطي حلين في المجال 0 إلى 2 pi: x وpi - x. افحص المجال بحثاً عن حلول إضافية.

2. 2.

   أثبت أن tan x + cot x = 2/sin 2x.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. عبّر عن كل شيء بدلالة الجيب وجيب التمام أولاً.
   2. استخدم sin^2 + cos^2 = 1 على البسط بعد الجمع ثم صيغة الزاوية المضاعفة.

   نقاط التصحيح

   • كتابة tan x + cot x = sin x/cos x + cos x/sin x.
   • الجمع: (sin^2 x + cos^2 x)/(sin x cos x) = 1/(sin x cos x).
   • استخدام sin 2x = 2 sin x cos x للحصول على 2/sin 2x.

   ملاحظة الفاحص: ابدأ من الطرف الأعقد وتقدّم نحو الآخر. لا تعامل المتطابقة كأنها معادلة.

3. 3.

   عبّر عن 3 sin x + 4 cos x بالصيغة R sin(x + alpha) حيث R > 0 و0 < alpha < pi/2. ثم اذكر القيمة العظمى وأصغر x موجب تحدث عنده.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. طابق معاملي sin x وcos x في الطرفين لتحصل على R cos(alpha) وR sin(alpha).
   2. ربّع واجمع لإيجاد R واقسم لإيجاد tan(alpha). الجيب يساوي 1 عند pi/2.

   نقاط التصحيح

   • فك R sin(x + alpha) = R cos(alpha) sin x + R sin(alpha) cos x ومطابقة R cos(alpha) = 3 وR sin(alpha) = 4.
   • R = sqrt(3^2 + 4^2) = 5.
   • alpha = arctan(4/3) = 0.927 راديان.
   • القيمة العظمى 5 عندما x + alpha = pi/2 إذن x = pi/2 - 0.927 = 0.644.

   ملاحظة الفاحص: تأكد أن alpha في الربع الصحيح: المعاملان موجبان إذن alpha حادة. استخدم الراديان عند الطلب.

4. 4.

   حل المعادلة 2cos^2 x + sin x - 1 = 0 حيث 0 <= x < 2 pi مع كتابة الإجابات تامة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. استخدم المتطابقة لتصبح المعادلة بدلالة sin x فقط ثم عاملها كمعادلة تربيعية في sin x.
   2. الجيب السالب يقع في الربع الثالث والرابع.

   نقاط التصحيح

   • استبدال cos^2 x بـ 1 - sin^2 x.
   • الحصول على 2 sin^2 x - sin x - 1 = 0 أي (2 sin x + 1)(sin x - 1) = 0.
   • sin x = 1 تعطي x = pi/2.
   • sin x = -1/2 تعطي x = 7 pi/6 وx = 11 pi/6.

   ملاحظة الفاحص: بعد التحليل لا تنسَ حلول الجيب السالب وتأكد أن كل الإجابات ضمن المجال المعطى.

5. 5.

   قطاع دائري نصف قطره r سم ومحيطه 24 سم. أثبت أن مساحته A = 12r - r^2 سم^2 ثم أوجد المساحة العظمى وزاوية القطاع عندها.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. المحيط يساوي نصفي قطر زائد طول القوس r(theta)؛ استخدمه لحذف theta.
   2. قانون المساحة (1/2) r^2 (theta) يتطلب أن تكون theta بالراديان.

   نقاط التصحيح

   • المحيط 2r + r(theta) = 24 إذن r(theta) = 24 - 2r.
   • المساحة = (1/2) r^2 (theta) = (1/2) r (24 - 2r) = 12r - r^2.
   • dA/dr = 12 - 2r = 0 تعطي r = 6.
   • المساحة العظمى = 72 - 36 = 36 سم^2 (المشتقة الثانية -2 < 0).
   • theta = (24 - 12)/6 = 2 راديان.

   ملاحظة الفاحص: أدرج طول القوس في المحيط. الزوايا في قوانين القطاع يجب أن تكون بالراديان.

6. 6.

   حل المعادلة tan 2x = 3 tan x حيث 0 درجة <= x <= 180 درجة.

   [6 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. عبّر عن كل شيء بدلالة t = tan x بصيغة الزاوية المضاعفة ثم انقل الحدود إلى طرف واحد.
   2. حلّل t كعامل مشترك بدل الاختصار وإلا تضيع حلول tan x = 0. تحقق بالتعويض.

   نقاط التصحيح

   • استخدام tan 2x = 2 tan x/(1 - tan^2 x).
   • تكوين 2t = 3t(1 - t^2) حيث t = tan x.
   • التحليل t(3t^2 - 1) = 0 دون القسمة على t.
   • t = 0 تعطي x = 0 وx = 180.
   • t = 1/sqrt(3) تعطي x = 30.
   • t = -1/sqrt(3) تعطي x = 150.

   ملاحظة الفاحص: لا تقسم الطرفين على tan x قبل فحص الحالة tan x = 0. وتأكد أن الحلول لا تجعل tan غير معرّفة.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.