الرياضيات

1. 1.

   دائرة مركزها (3, -2) ونصف قطرها 5. اكتب معادلتها وبيّن أن النقطة (6, 2) تقع عليها.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. معادلة الدائرة التي مركزها (a, b) ونصف قطرها r هي (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
   2. تقع النقطة على الدائرة إذا حققت المعادلة تماماً.

   نقاط التصحيح

   • المعادلة (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25.
   • التعويض (6, 2): (6 - 3)^2 + (2 + 2)^2 = 9 + 16.
   • بما أن 9 + 16 = 25 فالنقطة تقع على الدائرة.

   ملاحظة الفاحص: انتبه إلى الإشارات: المركز (3, -2) يعطي (y + 2) وليس (y - 2). والطرف الأيمن r^2 وليس r.

2. 2.

   المتجهان a = (2, -1, 3) وb = (1, 4, -2). أوجد الجداء القياسي a.b والزاوية بين a وb بدقة منزلة عشرية واحدة.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. اضرب المركبات المتناظرة واجمعها لإيجاد الجداء القياسي.
   2. استخدم cos(theta) = (a.b)/(|a||b|)؛ والقيمة السالبة تعني زاوية منفرجة.

   نقاط التصحيح

   • a.b = 2 * 1 + (-1) * 4 + 3 * (-2) = -8.
   • |a| = sqrt(14) و|b| = sqrt(21).
   • cos(theta) = -8/sqrt(294) إذن theta = 117.8 درجة.

   ملاحظة الفاحص: الجداء القياسي السالب يعني زاوية منفرجة. لا تُسقط الإشارة السالبة عند حساب معكوس جيب التمام.

3. 3.

   للنقطتين A وB متجها الموضع (1, 2, 3) و(4, 0, 5). أوجد معادلة متجهية للمستقيم AB وبيّن أن النقطة C(7, -2, 7) تقع عليه.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يحتاج المستقيم إلى نقطة واتجاه؛ والاتجاه هو فرق متجهي الموضع.
   2. لاختبار نقطة ساوِ كل مركبة وتحقق أن قيمة المعامل نفسها تحقق الثلاث.

   نقاط التصحيح

   • متجه الاتجاه AB = (3, -2, 2).
   • المعادلة: r = (1, 2, 3) + t(3, -2, 2).
   • مساواة المركبات مع C: 1 + 3t = 7 و2 - 2t = -2 و3 + 2t = 7.
   • المعادلات الثلاث تعطي t = 2 إذن C تقع على المستقيم.

   ملاحظة الفاحص: تحقق من المركبات الثلاث. إذا أعطت إحداها t مختلفة فالنقطة ليست على المستقيم.

4. 4.

   المستقيمان l1: r = (1, 0, 2) + lambda(1, 1, 1) وl2: r = (2, 3, 2) + mu(1, -1, 2) يتقاطعان. أوجد إحداثيات نقطة التقاطع.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. في ثلاثة أبعاد قد يكون المستقيمان متخالفين لذا حل معادلتين ثم اختبر الثالثة.
   2. عوّض lambda = 2 في l1 (أو mu = 1 في l2) لإيجاد النقطة.

   نقاط التصحيح

   • مساواة المركبات: 1 + lambda = 2 + mu وlambda = 3 - mu و2 + lambda = 2 + 2 mu.
   • حل المعادلتين الأوليين: mu = 1 وlambda = 2.
   • التحقق من المعادلة الثالثة: 2 + 2 = 2 + 2 محققة إذن يتقاطع المستقيمان.
   • نقطة التقاطع هي (3, 2, 4).

   ملاحظة الفاحص: المعادلة الثالثة هي اختبار التقاطع. إذا لم تتحقق فالمستقيمان متخالفان وليسا متقاطعين.

5. 5.

   للدائرة C المعادلة x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0. المستقيم y = x + k مماس لـ C. أوجد قيمتي k الممكنتين بصورة تامة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. المماس عمودي على نصف القطر لذا تساوي مسافته عن المركز نصف القطر.
   2. اكتب المستقيم بالصيغة x - y + k = 0 واستخدم قانون المسافة من نقطة إلى مستقيم.

   نقاط التصحيح

   • إكمال المربع: (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25.
   • المركز (3, -2) ونصف القطر 5.
   • المماس على بعد 5 من المركز: |3 - (-2) + k|/sqrt(2) = 5.
   • الحصول على |5 + k| = 5 sqrt(2).
   • k = -5 + 5 sqrt(2) أو k = -5 - 5 sqrt(2).

   ملاحظة الفاحص: يوجد مماسان ميلهما 1، واحد على كل جانب من الدائرة، فتوقع قيمتين لـ k.

6. 6.

   لمنحنى المعادلتان الوسيطيتان x = t^2 وy = 2t. أثبت أن معادلة المماس عند P(p^2, 2p) هي py = x + p^2. ثم أوجد النقطة التي يقطع فيها المماس المحور x ومعادلة المماس عندما p = 3.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. في المنحنيات الوسيطية الميل هو dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
   2. استخدم صيغة النقطة والميل عند قيمة الوسيط p ثم أزل الكسور.

   نقاط التصحيح

   • dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 2/(2t) = 1/t.
   • عند t = p المماس هو y - 2p = (1/p)(x - p^2).
   • بالضرب في p: py - 2p^2 = x - p^2 إذن py = x + p^2.
   • بوضع y = 0: x = -p^2 إذن يقطع المحور x عند (-p^2, 0).
   • عندما p = 3 يكون المماس 3y = x + 9 (ويقطع المحور x عند (-9, 0)).

   ملاحظة الفاحص: استبدل t بـ p بعد الاشتقاق. أبقِ معادلة المماس العامة قبل التعويض p = 3.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.