الرياضيات AA: المستوى العالي
الإحصاء والاحتمالات — الموضوع 4
- 1.
X ~ B(10, 0.3). أوجد P(X = 3).
[5 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X ~ B(10, 0.3). أوجد P(X = 3).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة احتمال ذي الحدين P(X = k) = ⁿCₖ pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 3.
X ~ B(20, 0.25). أوجد E(X) وVar(X).
[4 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X ~ B(20, 0.25). أوجد E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الصيغتين E(X) = np وVar(X) = np(1 − p).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 5.
لمتغير عشوائي متقطع X توزيع احتمالي P(X = 1) = 0.2، P(X = 2) = 0.5، P(X = 3) = 0.3. أوجد E(X) وVar(X).
[6 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متقطع X توزيع احتمالي P(X = 1) = 0.2، P(X = 2) = 0.5، P(X = 3) = 0.3. أوجد E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة E(X) = Σx·P(X = x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 7.
لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = kx لِـ 0 ≤ x ≤ 4، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد قيمة k، ثم أوجد P(X > 2).
[6 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = kx لِـ 0 ≤ x ≤ 4، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد قيمة k، ثم أوجد P(X > 2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن دالة الكثافة الصحيحة يجب أن تحقق ∫₀⁴ f(x) dx = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 9.
لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = 3x² لِـ 0 ≤ x ≤ 1، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد E(X).
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = 3x² لِـ 0 ≤ x ≤ 1، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد E(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة توقع متغير عشوائي متصل: E(X) = ∫x f(x) dx على المجال.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 11.
يصيب مرض نادر 1% من مجموعة سكانية. يبلغ اختبار الكشف عن المرض دقة 95% للأشخاص المصابين (إيجابي صحيح)، ويعطي نتيجة إيجابية خاطئة لدى 5% من غير المصابين. ظهرت نتيجة إيجابية لدى شخص. أوجد احتمال أن يكون مصاباً بالمرض فعلاً.
[6 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يصيب مرض نادر 1% من مجموعة سكانية. يبلغ اختبار الكشف عن المرض دقة 95% للأشخاص المصابين (إيجابي صحيح)، ويعطي نتيجة إيجابية خاطئة لدى 5% من غير المصابين. ظهرت نتيجة إيجابية لدى شخص. أوجد احتمال أن يكون مصاباً بالمرض فعلاً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة نظرية بايز: P(D | +) = P(+ | D)P(D) / P(+).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 13.
يزوّد المصنع A بنسبة 60% من قطعة معينة، بينما يزوّد المصنع B بنسبة 40% المتبقية. 2% من قطع المصنع A معيبة، و5% من قطع المصنع B معيبة. اختيرت قطعة عشوائياً وتبيّن أنها معيبة. أوجد احتمال أنها من المصنع B.
[6 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يزوّد المصنع A بنسبة 60% من قطعة معينة، بينما يزوّد المصنع B بنسبة 40% المتبقية. 2% من قطع المصنع A معيبة، و5% من قطع المصنع B معيبة. اختيرت قطعة عشوائياً وتبيّن أنها معيبة. أوجد احتمال أنها من المصنع B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة نظرية بايز: P(B | D) = P(D | B)P(B) / P(D).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 15.
لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = x/8 لِـ 0 ≤ x ≤ 4، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد وسيط X.
[5 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = x/8 لِـ 0 ≤ x ≤ 4، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد وسيط X.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن الوسيط m يحقق ∫₀ᵐ f(x) dx = 0.5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 17.
أطوال الذكور البالغين موزعة توزيعاً طبيعياً بوسط 175 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد احتمال أن يكون طول ذكر مختار عشوائياً أكبر من 185 cm.
[4 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أطوال الذكور البالغين موزعة توزيعاً طبيعياً بوسط 175 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد احتمال أن يكون طول ذكر مختار عشوائياً أكبر من 185 cm.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة X ~ N(175, 7²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 19.
عدد رسائل البريد الإلكتروني التي يستقبلها شخص في الساعة يتبع توزيع بواسون بوسط 4. أوجد احتمال استقبال 6 رسائل بالضبط في ساعة معينة.
[4 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «عدد رسائل البريد الإلكتروني التي يستقبلها شخص في الساعة يتبع توزيع بواسون بوسط 4. أوجد احتمال استقبال 6 رسائل بالضبط في ساعة معينة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة X ~ Po(4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 21.
لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = 3x² لِـ 0 ≤ x ≤ 1، وf(x) = 0 خلاف ذلك. علماً أن E(X) = 3/4، أوجد Var(X).
[5 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = 3x² لِـ 0 ≤ x ≤ 1، وf(x) = 0 خلاف ذلك. علماً أن E(X) = 3/4، أوجد Var(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة Var(X) = E(X²) − [E(X)]².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 23.
لحدثين A وB، P(A) = 0.4، P(B) = 0.5، وP(A ∩ B) = 0.2. أوجد P(A | B).
[3 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لحدثين A وB، P(A) = 0.4، P(B) = 0.5، وP(A ∩ B) = 0.2. أوجد P(A | B).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 25.
X وY متغيران عشوائيان مستقلان بـ E(X) = 5، E(Y) = 3، Var(X) = 4، Var(Y) = 9. أوجد E(X + Y) وVar(X + Y).
[3 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X وY متغيران عشوائيان مستقلان بـ E(X) = 5، E(Y) = 3، Var(X) = 4، Var(Y) = 9. أوجد E(X + Y) وVar(X + Y).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن E(X + Y) = E(X) + E(Y)، وينطبق بغض النظر عن الاستقلالية.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 27.
X متغير عشوائي بـ E(X) = 10 وVar(X) = 4. أوجد E(3X − 2) وVar(3X − 2).
[3 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X متغير عشوائي بـ E(X) = 10 وVar(X) = 4. أوجد E(3X − 2) وVar(3X − 2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة E(aX + b) = aE(X) + b.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 29.
تُوزَّع يد من 5 أوراق من مجموعة أوراق قياسية عددها 52. أوجد احتمال أن تحتوي اليد على 3 أوراق آص بالضبط.
[5 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُوزَّع يد من 5 أوراق من مجموعة أوراق قياسية عددها 52. أوجد احتمال أن تحتوي اليد على 3 أوراق آص بالضبط.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة العدد الكلي لأيدي الأوراق الممكنة المكونة من 5 أوراق: ⁵²C₅.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]