الرياضيات AA: المستوى العالي

1. 1.

   X ~ B(10, 0.3). أوجد P(X = 3).

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة احتمال ذي الحدين P(X = k) = ⁿCₖ pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض n = 10، k = 3، p = 0.3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب ¹⁰C₃ = 120. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب (0.3)³(0.7)⁷ ≈ 0.002224. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(X = 3) ≈ 0.267. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُقرأ هذا عادة مباشرة من دوال احتمال ذي الحدين في الآلة الحاسبة في الامتحان، لكن يجب كتابة الصيغة الأساسية للحصول على درجات الطريقة.

   نقاط التصحيح

   • كتابة صيغة احتمال ذي الحدين P(X = k) = ⁿCₖ pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
   • تعويض n = 10، k = 3، p = 0.3.
   • حساب ¹⁰C₃ = 120.
   • حساب (0.3)³(0.7)⁷ ≈ 0.002224.
   • الحصول على P(X = 3) ≈ 0.267.

   ملاحظة الفاحص: يُقرأ هذا عادة مباشرة من دوال احتمال ذي الحدين في الآلة الحاسبة في الامتحان، لكن يجب كتابة الصيغة الأساسية للحصول على درجات الطريقة.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X ~ B(10, 0.3). أوجد P(X = 3).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة احتمال ذي الحدين P(X = k) = ⁿCₖ pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة احتمال ذي الحدين P(X = k) = ⁿCₖ pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض n = 10، k = 3، p = 0.3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب ¹⁰C₃ = 120. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب (0.3)³(0.7)⁷ ≈ 0.002224. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X = 3) ≈ 0.267. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة احتمال ذي الحدين P(X = k) = ⁿCₖ pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض n = 10، k = 3، p = 0.3.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب ¹⁰C₃ = 120.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب (0.3)³(0.7)⁷ ≈ 0.002224.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X = 3) ≈ 0.267.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   X ~ B(20, 0.25). أوجد E(X) وVar(X).

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الصيغتين E(X) = np وVar(X) = np(1 − p). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض n = 20، p = 0.25 في E(X). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على E(X) = 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب Var(X) = 20(0.25)(0.75) = 3.75. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تنطبق هاتان الصيغتان فقط على متغير عشوائي ذي حدين — تحقق من أن التوزيع ذو حدين فعلاً قبل استخدامهما.

   نقاط التصحيح

   • كتابة الصيغتين E(X) = np وVar(X) = np(1 − p).
   • تعويض n = 20، p = 0.25 في E(X).
   • الحصول على E(X) = 5.
   • حساب Var(X) = 20(0.25)(0.75) = 3.75.

   ملاحظة الفاحص: تنطبق هاتان الصيغتان فقط على متغير عشوائي ذي حدين — تحقق من أن التوزيع ذو حدين فعلاً قبل استخدامهما.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X ~ B(20, 0.25). أوجد E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الصيغتين E(X) = np وVar(X) = np(1 − p).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الصيغتين E(X) = np وVar(X) = np(1 − p). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض n = 20، p = 0.25 في E(X). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X) = 5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب Var(X) = 20(0.25)(0.75) = 3.75. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الصيغتين E(X) = np وVar(X) = np(1 − p).
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض n = 20، p = 0.25 في E(X).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X) = 5.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب Var(X) = 20(0.25)(0.75) = 3.75.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   لمتغير عشوائي متقطع X توزيع احتمالي P(X = 1) = 0.2، P(X = 2) = 0.5، P(X = 3) = 0.3. أوجد E(X) وVar(X).

   [6 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة E(X) = Σx·P(X = x). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 2.1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الصيغة العامة للتباين Var(X) = E(X²) − [E(X)]². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب E(X²) = 1²(0.2) + 2²(0.5) + 3²(0.3) = 4.9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على Var(X) = 4.9 − 2.1². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة Var(X) = 0.49. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تصلح هذه الصيغة العامة E(X²) − [E(X)]² لأي متغير عشوائي متقطع، لا لتوزيعات مسمّاة كذي الحدين فقط — وهي الصيغة التي يُلجأ إليها كلما لم تنطبق صيغة مختصرة.

   نقاط التصحيح

   • كتابة E(X) = Σx·P(X = x).
   • حساب E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 2.1.
   • كتابة الصيغة العامة للتباين Var(X) = E(X²) − [E(X)]².
   • حساب E(X²) = 1²(0.2) + 2²(0.5) + 3²(0.3) = 4.9.
   • التعويض للحصول على Var(X) = 4.9 − 2.1².
   • كتابة Var(X) = 0.49.

   ملاحظة الفاحص: تصلح هذه الصيغة العامة E(X²) − [E(X)]² لأي متغير عشوائي متقطع، لا لتوزيعات مسمّاة كذي الحدين فقط — وهي الصيغة التي يُلجأ إليها كلما لم تنطبق صيغة مختصرة.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متقطع X توزيع احتمالي P(X = 1) = 0.2، P(X = 2) = 0.5، P(X = 3) = 0.3. أوجد E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة E(X) = Σx·P(X = x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [6 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة E(X) = Σx·P(X = x). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 2.1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الصيغة العامة للتباين Var(X) = E(X²) − [E(X)]². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب E(X²) = 1²(0.2) + 2²(0.5) + 3²(0.3) = 4.9. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على Var(X) = 4.9 − 2.1². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: كتابة Var(X) = 0.49. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة E(X) = Σx·P(X = x).
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 2.1.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الصيغة العامة للتباين Var(X) = E(X²) − [E(X)]².
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب E(X²) = 1²(0.2) + 2²(0.5) + 3²(0.3) = 4.9.
   • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على Var(X) = 4.9 − 2.1².
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة Var(X) = 0.49.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = kx لِـ 0 ≤ x ≤ 4، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد قيمة k، ثم أوجد P(X > 2).

   [6 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة أن دالة الكثافة الصحيحة يجب أن تحقق ∫₀⁴ f(x) dx = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التكامل: ∫₀⁴ kx dx = k[x²/2]₀⁴ = 8k. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع 8k = 1 والحل للحصول على k = 1/8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع P(X > 2) = ∫₂⁴ (1/8)x dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التكامل للحصول على (1/16)[x²]₂⁴ = (1/16)(16 − 4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة P(X > 2) = 3/4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يأتي إيجاد ثابت التسوية k أولاً دائماً بالنسبة لتوزيع متصل — يعتمد كل حساب احتمال لاحق عليه.

   نقاط التصحيح

   • كتابة أن دالة الكثافة الصحيحة يجب أن تحقق ∫₀⁴ f(x) dx = 1.
   • التكامل: ∫₀⁴ kx dx = k[x²/2]₀⁴ = 8k.
   • وضع 8k = 1 والحل للحصول على k = 1/8.
   • وضع P(X > 2) = ∫₂⁴ (1/8)x dx.
   • التكامل للحصول على (1/16)[x²]₂⁴ = (1/16)(16 − 4).
   • كتابة P(X > 2) = 3/4.

   ملاحظة الفاحص: يأتي إيجاد ثابت التسوية k أولاً دائماً بالنسبة لتوزيع متصل — يعتمد كل حساب احتمال لاحق عليه.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = kx لِـ 0 ≤ x ≤ 4، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد قيمة k، ثم أوجد P(X > 2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن دالة الكثافة الصحيحة يجب أن تحقق ∫₀⁴ f(x) dx = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [6 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن دالة الكثافة الصحيحة يجب أن تحقق ∫₀⁴ f(x) dx = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التكامل: ∫₀⁴ kx dx = k[x²/2]₀⁴ = 8k. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: وضع 8k = 1 والحل للحصول على k = 1/8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: وضع P(X > 2) = ∫₂⁴ (1/8)x dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على (1/16)[x²]₂⁴ = (1/16)(16 − 4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: كتابة P(X > 2) = 3/4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن دالة الكثافة الصحيحة يجب أن تحقق ∫₀⁴ f(x) dx = 1.
   • يحدد المتطلب الناقص: التكامل: ∫₀⁴ kx dx = k[x²/2]₀⁴ = 8k.
   • يحدد المتطلب الناقص: وضع 8k = 1 والحل للحصول على k = 1/8.
   • يحدد المتطلب الناقص: وضع P(X > 2) = ∫₂⁴ (1/8)x dx.
   • يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على (1/16)[x²]₂⁴ = (1/16)(16 − 4).
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة P(X > 2) = 3/4.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = 3x² لِـ 0 ≤ x ≤ 1، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد E(X).

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة توقع متغير عشوائي متصل: E(X) = ∫x f(x) dx على المجال. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع التكامل E(X) = ∫₀¹ x(3x²) dx = ∫₀¹ 3x³ dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التكامل للحصول على 3[x⁴/4]₀¹. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة E(X) = 3/4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يستبدل E(X) للمتغير المتصل المجموعَ Σx·P(X=x) المستخدم للمتغيرات المتقطعة بالتكامل ∫x f(x) dx — الفكرة الأساسية (متوسط موزون) واحدة.

   نقاط التصحيح

   • كتابة صيغة توقع متغير عشوائي متصل: E(X) = ∫x f(x) dx على المجال.
   • وضع التكامل E(X) = ∫₀¹ x(3x²) dx = ∫₀¹ 3x³ dx.
   • التكامل للحصول على 3[x⁴/4]₀¹.
   • كتابة E(X) = 3/4.

   ملاحظة الفاحص: يستبدل E(X) للمتغير المتصل المجموعَ Σx·P(X=x) المستخدم للمتغيرات المتقطعة بالتكامل ∫x f(x) dx — الفكرة الأساسية (متوسط موزون) واحدة.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = 3x² لِـ 0 ≤ x ≤ 1، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد E(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة توقع متغير عشوائي متصل: E(X) = ∫x f(x) dx على المجال.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة توقع متغير عشوائي متصل: E(X) = ∫x f(x) dx على المجال. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع التكامل E(X) = ∫₀¹ x(3x²) dx = ∫₀¹ 3x³ dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على 3[x⁴/4]₀¹. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة E(X) = 3/4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة توقع متغير عشوائي متصل: E(X) = ∫x f(x) dx على المجال.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع التكامل E(X) = ∫₀¹ x(3x²) dx = ∫₀¹ 3x³ dx.
    • يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على 3[x⁴/4]₀¹.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة E(X) = 3/4.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    يصيب مرض نادر 1% من مجموعة سكانية. يبلغ اختبار الكشف عن المرض دقة 95% للأشخاص المصابين (إيجابي صحيح)، ويعطي نتيجة إيجابية خاطئة لدى 5% من غير المصابين. ظهرت نتيجة إيجابية لدى شخص. أوجد احتمال أن يكون مصاباً بالمرض فعلاً.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة نظرية بايز: P(D | +) = P(+ | D)P(D) / P(+). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد P(D) = 0.01، P(+ | D) = 0.95، P(+ | D′) = 0.05. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون الاحتمال الكلي: P(+) = P(+ | D)P(D) + P(+ | D′)P(D′) = 0.95(0.01) + 0.05(0.99). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب P(+) = 0.0095 + 0.0495 = 0.059. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض في نظرية بايز: P(D | +) = 0.0095/0.059. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة P(D | +) ≈ 0.161 (نحو 16.1%). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يمكن أن يعطي اختبار عالي الدقة قيمة منخفضة لـP(D | +) عندما يكون المرض نادراً — هذه النتيجة غير البديهية هي بالضبط سبب أهمية نظرية بايز، وتتطلب دائماً استخدام قانون الاحتمال الكلي لإيجاد P(+) أولاً.

    نقاط التصحيح

    • كتابة نظرية بايز: P(D | +) = P(+ | D)P(D) / P(+).
    • تحديد P(D) = 0.01، P(+ | D) = 0.95، P(+ | D′) = 0.05.
    • استخدام قانون الاحتمال الكلي: P(+) = P(+ | D)P(D) + P(+ | D′)P(D′) = 0.95(0.01) + 0.05(0.99).
    • حساب P(+) = 0.0095 + 0.0495 = 0.059.
    • التعويض في نظرية بايز: P(D | +) = 0.0095/0.059.
    • كتابة P(D | +) ≈ 0.161 (نحو 16.1%).

    ملاحظة الفاحص: يمكن أن يعطي اختبار عالي الدقة قيمة منخفضة لـP(D | +) عندما يكون المرض نادراً — هذه النتيجة غير البديهية هي بالضبط سبب أهمية نظرية بايز، وتتطلب دائماً استخدام قانون الاحتمال الكلي لإيجاد P(+) أولاً.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يصيب مرض نادر 1% من مجموعة سكانية. يبلغ اختبار الكشف عن المرض دقة 95% للأشخاص المصابين (إيجابي صحيح)، ويعطي نتيجة إيجابية خاطئة لدى 5% من غير المصابين. ظهرت نتيجة إيجابية لدى شخص. أوجد احتمال أن يكون مصاباً بالمرض فعلاً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة نظرية بايز: P(D | +) = P(+ | D)P(D) / P(+).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة نظرية بايز: P(D | +) = P(+ | D)P(D) / P(+). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد P(D) = 0.01، P(+ | D) = 0.95، P(+ | D′) = 0.05. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام قانون الاحتمال الكلي: P(+) = P(+ | D)P(D) + P(+ | D′)P(D′) = 0.95(0.01) + 0.05(0.99). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب P(+) = 0.0095 + 0.0495 = 0.059. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: التعويض في نظرية بايز: P(D | +) = 0.0095/0.059. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: كتابة P(D | +) ≈ 0.161 (نحو 16.1%). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة نظرية بايز: P(D | +) = P(+ | D)P(D) / P(+).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد P(D) = 0.01، P(+ | D) = 0.95، P(+ | D′) = 0.05.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام قانون الاحتمال الكلي: P(+) = P(+ | D)P(D) + P(+ | D′)P(D′) = 0.95(0.01) + 0.05(0.99).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب P(+) = 0.0095 + 0.0495 = 0.059.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض في نظرية بايز: P(D | +) = 0.0095/0.059.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة P(D | +) ≈ 0.161 (نحو 16.1%).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    يزوّد المصنع A بنسبة 60% من قطعة معينة، بينما يزوّد المصنع B بنسبة 40% المتبقية. 2% من قطع المصنع A معيبة، و5% من قطع المصنع B معيبة. اختيرت قطعة عشوائياً وتبيّن أنها معيبة. أوجد احتمال أنها من المصنع B.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة نظرية بايز: P(B | D) = P(D | B)P(B) / P(D). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد P(A) = 0.6، P(B) = 0.4، P(D | A) = 0.02، P(D | B) = 0.05. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون الاحتمال الكلي: P(D) = P(D | A)P(A) + P(D | B)P(B) = 0.02(0.6) + 0.05(0.4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب P(D) = 0.012 + 0.02 = 0.032. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض في نظرية بايز: P(B | D) = 0.02/0.032. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة P(B | D) = 0.625. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: مع أكثر من موردين أو سببين، يجمع مقام P(D) دائماً حداً واحداً لكل سبب مشروط بحدوث D — إغفال حد واحد يجعل كل ما يليه من إجابات خاطئاً.

    نقاط التصحيح

    • كتابة نظرية بايز: P(B | D) = P(D | B)P(B) / P(D).
    • تحديد P(A) = 0.6، P(B) = 0.4، P(D | A) = 0.02، P(D | B) = 0.05.
    • استخدام قانون الاحتمال الكلي: P(D) = P(D | A)P(A) + P(D | B)P(B) = 0.02(0.6) + 0.05(0.4).
    • حساب P(D) = 0.012 + 0.02 = 0.032.
    • التعويض في نظرية بايز: P(B | D) = 0.02/0.032.
    • كتابة P(B | D) = 0.625.

    ملاحظة الفاحص: مع أكثر من موردين أو سببين، يجمع مقام P(D) دائماً حداً واحداً لكل سبب مشروط بحدوث D — إغفال حد واحد يجعل كل ما يليه من إجابات خاطئاً.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يزوّد المصنع A بنسبة 60% من قطعة معينة، بينما يزوّد المصنع B بنسبة 40% المتبقية. 2% من قطع المصنع A معيبة، و5% من قطع المصنع B معيبة. اختيرت قطعة عشوائياً وتبيّن أنها معيبة. أوجد احتمال أنها من المصنع B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة نظرية بايز: P(B | D) = P(D | B)P(B) / P(D).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة نظرية بايز: P(B | D) = P(D | B)P(B) / P(D). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد P(A) = 0.6، P(B) = 0.4، P(D | A) = 0.02، P(D | B) = 0.05. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام قانون الاحتمال الكلي: P(D) = P(D | A)P(A) + P(D | B)P(B) = 0.02(0.6) + 0.05(0.4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب P(D) = 0.012 + 0.02 = 0.032. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: التعويض في نظرية بايز: P(B | D) = 0.02/0.032. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: كتابة P(B | D) = 0.625. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة نظرية بايز: P(B | D) = P(D | B)P(B) / P(D).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد P(A) = 0.6، P(B) = 0.4، P(D | A) = 0.02، P(D | B) = 0.05.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام قانون الاحتمال الكلي: P(D) = P(D | A)P(A) + P(D | B)P(B) = 0.02(0.6) + 0.05(0.4).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب P(D) = 0.012 + 0.02 = 0.032.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض في نظرية بايز: P(B | D) = 0.02/0.032.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة P(B | D) = 0.625.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = x/8 لِـ 0 ≤ x ≤ 4، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد وسيط X.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة أن الوسيط m يحقق ∫₀ᵐ f(x) dx = 0.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع التكامل ∫₀ᵐ (x/8) dx = 0.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التكامل للحصول على [x²/16]₀ᵐ = 0.5، ومنه m²/16 = 0.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على m² = 8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الوسيط m = 2√2 (≈ 2.83)، مع استبعاد الجذر السالب لأن X معرّفة فقط على [0, 4]. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: وسيط متغير عشوائي متصل هو القيمة التي تقسم المساحة تحت دالة الكثافة إلى نصفين متساويين تماماً — وهو ليس عموماً القيمة نفسها للوسط الحسابي ما لم يكن التوزيع متماثلاً.

    نقاط التصحيح

    • كتابة أن الوسيط m يحقق ∫₀ᵐ f(x) dx = 0.5.
    • وضع التكامل ∫₀ᵐ (x/8) dx = 0.5.
    • التكامل للحصول على [x²/16]₀ᵐ = 0.5، ومنه m²/16 = 0.5.
    • الحل للحصول على m² = 8.
    • كتابة الوسيط m = 2√2 (≈ 2.83)، مع استبعاد الجذر السالب لأن X معرّفة فقط على [0, 4].

    ملاحظة الفاحص: وسيط متغير عشوائي متصل هو القيمة التي تقسم المساحة تحت دالة الكثافة إلى نصفين متساويين تماماً — وهو ليس عموماً القيمة نفسها للوسط الحسابي ما لم يكن التوزيع متماثلاً.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = x/8 لِـ 0 ≤ x ≤ 4، وf(x) = 0 خلاف ذلك. أوجد وسيط X.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن الوسيط m يحقق ∫₀ᵐ f(x) dx = 0.5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن الوسيط m يحقق ∫₀ᵐ f(x) dx = 0.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع التكامل ∫₀ᵐ (x/8) dx = 0.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على [x²/16]₀ᵐ = 0.5، ومنه m²/16 = 0.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على m² = 8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الوسيط m = 2√2 (≈ 2.83)، مع استبعاد الجذر السالب لأن X معرّفة فقط على [0, 4]. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن الوسيط m يحقق ∫₀ᵐ f(x) dx = 0.5.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع التكامل ∫₀ᵐ (x/8) dx = 0.5.
    • يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على [x²/16]₀ᵐ = 0.5، ومنه m²/16 = 0.5.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على m² = 8.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الوسيط m = 2√2 (≈ 2.83)، مع استبعاد الجذر السالب لأن X معرّفة فقط على [0, 4].

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    أطوال الذكور البالغين موزعة توزيعاً طبيعياً بوسط 175 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد احتمال أن يكون طول ذكر مختار عشوائياً أكبر من 185 cm.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة X ~ N(175, 7²). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توحيد القياس: z = (185 − 175)/7 ≈ 1.43. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد P(Z > 1.43). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(X > 185) ≈ 0.0764 (نحو 7.6%). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تُقرأ احتمالات التوزيع الطبيعي في امتحان IB مباشرة من دوال التوزيع المدمجة في الآلة الحاسبة باستخدام الوسط والانحراف المعياري — توحيد القياس إلى درجة z مفيد مفاهيمياً لكنه ليس مطلوباً بدقة للإجابة العددية النهائية.

    نقاط التصحيح

    • كتابة X ~ N(175, 7²).
    • توحيد القياس: z = (185 − 175)/7 ≈ 1.43.
    • استخدام التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد P(Z > 1.43).
    • الحصول على P(X > 185) ≈ 0.0764 (نحو 7.6%).

    ملاحظة الفاحص: تُقرأ احتمالات التوزيع الطبيعي في امتحان IB مباشرة من دوال التوزيع المدمجة في الآلة الحاسبة باستخدام الوسط والانحراف المعياري — توحيد القياس إلى درجة z مفيد مفاهيمياً لكنه ليس مطلوباً بدقة للإجابة العددية النهائية.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أطوال الذكور البالغين موزعة توزيعاً طبيعياً بوسط 175 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد احتمال أن يكون طول ذكر مختار عشوائياً أكبر من 185 cm.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة X ~ N(175, 7²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة X ~ N(175, 7²). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: توحيد القياس: z = (185 − 175)/7 ≈ 1.43. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد P(Z > 1.43). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X > 185) ≈ 0.0764 (نحو 7.6%). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة X ~ N(175, 7²).
    • يحدد المتطلب الناقص: توحيد القياس: z = (185 − 175)/7 ≈ 1.43.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد P(Z > 1.43).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X > 185) ≈ 0.0764 (نحو 7.6%).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    عدد رسائل البريد الإلكتروني التي يستقبلها شخص في الساعة يتبع توزيع بواسون بوسط 4. أوجد احتمال استقبال 6 رسائل بالضبط في ساعة معينة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة X ~ Po(4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة احتمال بواسون P(X = k) = e⁻ᵏλᵏ/k! (مع λ = 4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض λ = 4، k = 6: e⁻⁴(4⁶)/6!. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(X = 6) ≈ 0.1042. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُنمذج توزيع بواسون عدد الأحداث المستقلة الحادثة في فترة ثابتة بمعدل متوسط ثابت — يُعد التعرف على هذا السيناريو (أحداث نادرة عبر الزمن أو المكان) مفتاح تحديد متى يُستخدم.

    نقاط التصحيح

    • كتابة X ~ Po(4).
    • كتابة صيغة احتمال بواسون P(X = k) = e⁻ᵏλᵏ/k! (مع λ = 4).
    • تعويض λ = 4، k = 6: e⁻⁴(4⁶)/6!.
    • الحصول على P(X = 6) ≈ 0.1042.

    ملاحظة الفاحص: يُنمذج توزيع بواسون عدد الأحداث المستقلة الحادثة في فترة ثابتة بمعدل متوسط ثابت — يُعد التعرف على هذا السيناريو (أحداث نادرة عبر الزمن أو المكان) مفتاح تحديد متى يُستخدم.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «عدد رسائل البريد الإلكتروني التي يستقبلها شخص في الساعة يتبع توزيع بواسون بوسط 4. أوجد احتمال استقبال 6 رسائل بالضبط في ساعة معينة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة X ~ Po(4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة X ~ Po(4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: كتابة صيغة احتمال بواسون P(X = k) = e⁻ᵏλᵏ/k! (مع λ = 4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض λ = 4، k = 6: e⁻⁴(4⁶)/6!. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X = 6) ≈ 0.1042. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة X ~ Po(4).
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة صيغة احتمال بواسون P(X = k) = e⁻ᵏλᵏ/k! (مع λ = 4).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض λ = 4، k = 6: e⁻⁴(4⁶)/6!.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X = 6) ≈ 0.1042.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = 3x² لِـ 0 ≤ x ≤ 1، وf(x) = 0 خلاف ذلك. علماً أن E(X) = 3/4، أوجد Var(X).

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة Var(X) = E(X²) − [E(X)]². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع E(X²) = ∫₀¹ x²(3x²) dx = ∫₀¹ 3x⁴ dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التكامل للحصول على E(X²) = 3[x⁵/5]₀¹ = 3/5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض Var(X) = 3/5 − (3/4)². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على Var(X) = 3/80 (= 0.0375). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: Var(X) = E(X²) − [E(X)]² هي الصيغة العامة نفسها المستخدمة للمتغيرات العشوائية المتقطعة، مع استبدال المجموع بتكامل — أوجد دائماً E(X²) باستخدام دالة الكثافة قبل طرح مربع الوسط.

    نقاط التصحيح

    • كتابة Var(X) = E(X²) − [E(X)]².
    • وضع E(X²) = ∫₀¹ x²(3x²) dx = ∫₀¹ 3x⁴ dx.
    • التكامل للحصول على E(X²) = 3[x⁵/5]₀¹ = 3/5.
    • التعويض Var(X) = 3/5 − (3/4)².
    • الحصول على Var(X) = 3/80 (= 0.0375).

    ملاحظة الفاحص: Var(X) = E(X²) − [E(X)]² هي الصيغة العامة نفسها المستخدمة للمتغيرات العشوائية المتقطعة، مع استبدال المجموع بتكامل — أوجد دائماً E(X²) باستخدام دالة الكثافة قبل طرح مربع الوسط.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متصل X دالة كثافة احتمال f(x) = 3x² لِـ 0 ≤ x ≤ 1، وf(x) = 0 خلاف ذلك. علماً أن E(X) = 3/4، أوجد Var(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة Var(X) = E(X²) − [E(X)]².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة Var(X) = E(X²) − [E(X)]². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع E(X²) = ∫₀¹ x²(3x²) dx = ∫₀¹ 3x⁴ dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على E(X²) = 3[x⁵/5]₀¹ = 3/5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التعويض Var(X) = 3/5 − (3/4)². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على Var(X) = 3/80 (= 0.0375). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة Var(X) = E(X²) − [E(X)]².
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع E(X²) = ∫₀¹ x²(3x²) dx = ∫₀¹ 3x⁴ dx.
    • يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على E(X²) = 3[x⁵/5]₀¹ = 3/5.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض Var(X) = 3/5 − (3/4)².
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على Var(X) = 3/80 (= 0.0375).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    لحدثين A وB، P(A) = 0.4، P(B) = 0.5، وP(A ∩ B) = 0.2. أوجد P(A | B).

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض 0.2/0.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(A | B) = 0.4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُقصر الاحتمال الشرطي الانتباه على النواتج التي حدث فيها B بالفعل فقط، ثم يسأل عن نسبة ما يحقق منها A أيضاً — هذا بالضبط ما تحققه القسمة على P(B).

    نقاط التصحيح

    • كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B).
    • تعويض 0.2/0.5.
    • الحصول على P(A | B) = 0.4.

    ملاحظة الفاحص: يُقصر الاحتمال الشرطي الانتباه على النواتج التي حدث فيها B بالفعل فقط، ثم يسأل عن نسبة ما يحقق منها A أيضاً — هذا بالضبط ما تحققه القسمة على P(B).

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لحدثين A وB، P(A) = 0.4، P(B) = 0.5، وP(A ∩ B) = 0.2. أوجد P(A | B).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض 0.2/0.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(A | B) = 0.4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض 0.2/0.5.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(A | B) = 0.4.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    X وY متغيران عشوائيان مستقلان بـ E(X) = 5، E(Y) = 3، Var(X) = 4، Var(Y) = 9. أوجد E(X + Y) وVar(X + Y).

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن E(X + Y) = E(X) + E(Y)، وينطبق بغض النظر عن الاستقلالية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على E(X + Y) = 5 + 3 = 8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أنه بما أن X وY مستقلان، Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُجمع توقع مجموع دائماً مباشرة، سواء كانت المتغيرات مستقلة أم لا — لكن تباين المجموع لا يُجمع مباشرة إلا عند استقلال المتغيرات، إذ يجب تضمين حد تباين مشترك خلاف ذلك.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن E(X + Y) = E(X) + E(Y)، وينطبق بغض النظر عن الاستقلالية.
    • الحصول على E(X + Y) = 5 + 3 = 8.
    • توضيح أنه بما أن X وY مستقلان، Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13.

    ملاحظة الفاحص: يُجمع توقع مجموع دائماً مباشرة، سواء كانت المتغيرات مستقلة أم لا — لكن تباين المجموع لا يُجمع مباشرة إلا عند استقلال المتغيرات، إذ يجب تضمين حد تباين مشترك خلاف ذلك.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X وY متغيران عشوائيان مستقلان بـ E(X) = 5، E(Y) = 3، Var(X) = 4، Var(Y) = 9. أوجد E(X + Y) وVar(X + Y).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن E(X + Y) = E(X) + E(Y)، وينطبق بغض النظر عن الاستقلالية.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن E(X + Y) = E(X) + E(Y)، وينطبق بغض النظر عن الاستقلالية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X + Y) = 5 + 3 = 8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه بما أن X وY مستقلان، Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن E(X + Y) = E(X) + E(Y)، وينطبق بغض النظر عن الاستقلالية.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X + Y) = 5 + 3 = 8.
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه بما أن X وY مستقلان، Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    X متغير عشوائي بـ E(X) = 10 وVar(X) = 4. أوجد E(3X − 2) وVar(3X − 2).

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة E(aX + b) = aE(X) + b. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على E(3X − 2) = 3(10) − 2 = 28. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة Var(aX + b) = a²Var(X)، والحصول على Var(3X − 2) = 9(4) = 36. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تُزيح إضافة ثابت b التوقع لكنها لا تؤثر أبداً في التباين (لأنها لا تغيّر التشتت) — يؤثر العامل الضربي a وحده في التباين، ويفعل ذلك بعامل a²، وليس a.

    نقاط التصحيح

    • كتابة E(aX + b) = aE(X) + b.
    • الحصول على E(3X − 2) = 3(10) − 2 = 28.
    • كتابة Var(aX + b) = a²Var(X)، والحصول على Var(3X − 2) = 9(4) = 36.

    ملاحظة الفاحص: تُزيح إضافة ثابت b التوقع لكنها لا تؤثر أبداً في التباين (لأنها لا تغيّر التشتت) — يؤثر العامل الضربي a وحده في التباين، ويفعل ذلك بعامل a²، وليس a.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X متغير عشوائي بـ E(X) = 10 وVar(X) = 4. أوجد E(3X − 2) وVar(3X − 2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة E(aX + b) = aE(X) + b.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة E(aX + b) = aE(X) + b. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(3X − 2) = 3(10) − 2 = 28. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة Var(aX + b) = a²Var(X)، والحصول على Var(3X − 2) = 9(4) = 36. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة E(aX + b) = aE(X) + b.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(3X − 2) = 3(10) − 2 = 28.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة Var(aX + b) = a²Var(X)، والحصول على Var(3X − 2) = 9(4) = 36.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    تُوزَّع يد من 5 أوراق من مجموعة أوراق قياسية عددها 52. أوجد احتمال أن تحتوي اليد على 3 أوراق آص بالضبط.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة العدد الكلي لأيدي الأوراق الممكنة المكونة من 5 أوراق: ⁵²C₅. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة عدد طرق اختيار 3 آص من الآص الأربعة المتاحة: ⁴C₃. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة عدد طرق اختيار الورقتين المتبقيتين من الأوراق الـ48 غير الآص: ⁴⁸C₂. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الاحتمال بصورة (⁴C₃ × ⁴⁸C₂)/⁵²C₅ = (4 × 1128)/2598960. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على احتمال يقارب 0.00174 (نحو 0.174%). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يعمل هذا التركيب 'اختر بشكل منفصل، ثم اضرب' كلما تطلب اختيار عدداً ثابتاً من عناصر مجموعتين متمايزتين أو أكثر (هنا: الآص وغير الآص) — اقسم دائماً على العدد الكلي لطرق اختيار اليد كاملة.

    نقاط التصحيح

    • كتابة العدد الكلي لأيدي الأوراق الممكنة المكونة من 5 أوراق: ⁵²C₅.
    • كتابة عدد طرق اختيار 3 آص من الآص الأربعة المتاحة: ⁴C₃.
    • كتابة عدد طرق اختيار الورقتين المتبقيتين من الأوراق الـ48 غير الآص: ⁴⁸C₂.
    • حساب الاحتمال بصورة (⁴C₃ × ⁴⁸C₂)/⁵²C₅ = (4 × 1128)/2598960.
    • الحصول على احتمال يقارب 0.00174 (نحو 0.174%).

    ملاحظة الفاحص: يعمل هذا التركيب 'اختر بشكل منفصل، ثم اضرب' كلما تطلب اختيار عدداً ثابتاً من عناصر مجموعتين متمايزتين أو أكثر (هنا: الآص وغير الآص) — اقسم دائماً على العدد الكلي لطرق اختيار اليد كاملة.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُوزَّع يد من 5 أوراق من مجموعة أوراق قياسية عددها 52. أوجد احتمال أن تحتوي اليد على 3 أوراق آص بالضبط.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة العدد الكلي لأيدي الأوراق الممكنة المكونة من 5 أوراق: ⁵²C₅.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة العدد الكلي لأيدي الأوراق الممكنة المكونة من 5 أوراق: ⁵²C₅. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: كتابة عدد طرق اختيار 3 آص من الآص الأربعة المتاحة: ⁴C₃. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة عدد طرق اختيار الورقتين المتبقيتين من الأوراق الـ48 غير الآص: ⁴⁸C₂. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب الاحتمال بصورة (⁴C₃ × ⁴⁸C₂)/⁵²C₅ = (4 × 1128)/2598960. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على احتمال يقارب 0.00174 (نحو 0.174%). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة العدد الكلي لأيدي الأوراق الممكنة المكونة من 5 أوراق: ⁵²C₅.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة عدد طرق اختيار 3 آص من الآص الأربعة المتاحة: ⁴C₃.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة عدد طرق اختيار الورقتين المتبقيتين من الأوراق الـ48 غير الآص: ⁴⁸C₂.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الاحتمال بصورة (⁴C₃ × ⁴⁸C₂)/⁵²C₅ = (4 × 1128)/2598960.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على احتمال يقارب 0.00174 (نحو 0.174%).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.