المدرسة / IB / الرياضيات AA: المستوى العادي / التفاضل والتكامل تدريب الأسئلة
التفاضل والتكامل حول هذا التدريب الاشتقاق والنقاط الساكنة والتكامل المحدد.
الرياضيات AA: المستوى العادي التفاضل والتكامل
العرض الكل لم يُقيَّم مُقيَّم مراجعة الأخطاء سؤال واحد
سلم المراجعة كل المراحل سهل متوسط صعب
الورقة كل الأوراق نمط الورقة 1 نمط الورقة 2 تدريب عام (غير مرتبط بورقة محددة)
حول تصنيف الأوراق تصنيف الأوراق هنا غير رسمي وأعددناه بأنفسنا، ونطبّقه فقط حيث يطابق شكل السؤال فعلاً اتفاقية ورقة حقيقية (مثل تقسيم رياضيات IB AA بين بدون آلة حاسبة وبآلة حاسبة). لا يمثل توزيع الأوراق أو ترقيمها الرسمي في الامتحان الفعلي، والأسئلة غير المؤكدة تُصنَّف كـ«تدريب عام».
1 لتكن g(x) = x³ − 6x² + 9x. أوجد إحداثيات جميع النقاط الساكنة وصنّف كل نقطة كقيمة عظمى محلية أو صغرى محلية. نمط الورقة 1 صعب 6 درجات بدون آلة + 2 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لتكن g(x) = x³ − 6x² + 9x. أوجد إحداثيات جميع النقاط الساكنة وصنّف كل نقطة كقيمة عظمى محلية أو صغرى محلية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على g′(x) = 3x² − 12x + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح صعب 6 درجات بدون آلة + 3 احسب التكامل المحدد للدالة (3x² + 2) من 0 إلى 2. فسّر إجابتك باعتبارها المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور x خلال هذه الفترة. نمط الورقة 1 سهل 3 درجات بدون آلة + 4 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب التكامل المحدد للدالة (3x² + 2) من 0 إلى 2. فسّر إجابتك باعتبارها المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور x خلال هذه الفترة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الدالة الأصلية x³ + 2x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح سهل 3 درجات بدون آلة + 5 أوجد معادلة المماس للمنحنى y = x² − 3x + 5 عند النقطة التي فيها x = 2. نمط الورقة 1 متوسط 5 درجات بدون آلة + 6 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معادلة المماس للمنحنى y = x² − 3x + 5 عند النقطة التي فيها x = 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 2x − 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 5 درجات بدون آلة + 7 اشتق الدالة y = (3x + 1)⁴ باستخدام قاعدة السلسلة، ثم أوجد ميل المنحنى عند x = 0. نمط الورقة 1 متوسط 4 درجات بدون آلة + 8 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشتق الدالة y = (3x + 1)⁴ باستخدام قاعدة السلسلة، ثم أوجد ميل المنحنى عند x = 0.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة السلسلة: dy/dx = 4(3x + 1)³ × 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 4 درجات بدون آلة + 9 أوجد معادلة العمودي على المنحنى y = x³ عند النقطة (1, 1). نمط الورقة 1 متوسط 5 درجات بدون آلة + 10 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معادلة العمودي على المنحنى y = x³ عند النقطة (1, 1).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 3x².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 5 درجات بدون آلة + 11 يتحرك جسيم على خط مستقيم بإزاحة s(t) = t³ − 6t² + 9t متراً، حيث t ≥ 0 ثانية. أوجد دالة السرعة وحدد متى يكون الجسيم ساكناً. نمط الورقة 1 سهل 3 درجات بدون آلة + 12 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتحرك جسيم على خط مستقيم بإزاحة s(t) = t³ − 6t² + 9t متراً، حيث t ≥ 0 ثانية. أوجد دالة السرعة وحدد متى يكون الجسيم ساكناً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الإزاحة للحصول على v(t) = 3t² − 12t + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح سهل 3 درجات بدون آلة + 13 أوجد ∫(4x³ − 6x + 2) dx. نمط الورقة 1 سهل 3 درجات بدون آلة + 14 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد ∫(4x³ − 6x + 2) dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكامل كل حد باستخدام قاعدة الأس.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح سهل 3 درجات بدون آلة + 15 للمنحنى y = 12/x، حيث x ≠ 0، أوجد معادلة المماس عند x = 3. نمط الورقة 2 متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 16 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى y = 12/x، حيث x ≠ 0، أوجد معادلة المماس عند x = 3.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = −12/x².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 17 حدد الفترة أو الفترات التي تكون فيها الدالة h(x) = x³ − 3x متزايدة. نمط الورقة 1 متوسط 5 درجات بدون آلة + 18 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حدد الفترة أو الفترات التي تكون فيها الدالة h(x) = x³ − 3x متزايدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على h′(x) = 3x² − 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 5 درجات بدون آلة + 19 يتدفق الماء إلى خزان بمعدل R(t) = 6t − t² لتراً في الدقيقة، حيث 0 ≤ t ≤ 6. أوجد الحجم الكلي للماء المتدفق إلى الخزان خلال هذه المدة. نمط الورقة 2 متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 20 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتدفق الماء إلى خزان بمعدل R(t) = 6t − t² لتراً في الدقيقة، حيث 0 ≤ t ≤ 6. أوجد الحجم الكلي للماء المتدفق إلى الخزان خلال هذه المدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الحجم الكلي هو التكامل المحدد لدالة المعدل من 0 إلى 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 21 لدى مزارع 40 m من السياج لتسييج حقل مستطيل، مستخدماً جداراً موجوداً كضلع واحد (بحيث يلزم السياج للأضلاع الثلاثة الأخرى فقط). أوجد الأبعاد التي تُعظّم المساحة المحصورة، واحسب هذه المساحة القصوى. نمط الورقة 2 متوسط 5 درجات آلة حاسبة + 22 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لدى مزارع 40 m من السياج لتسييج حقل مستطيل، مستخدماً جداراً موجوداً كضلع واحد (بحيث يلزم السياج للأضلاع الثلاثة الأخرى فقط). أوجد الأبعاد التي تُعظّم المساحة المحصورة، واحسب هذه المساحة القصوى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع القيد x + 2y = 40، حيث x الضلع الموازي للجدار وy الضلعان العموديان، والتعبير عن x = 40 − 2y.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 5 درجات آلة حاسبة + 23 إزاحة جسيم مُعطاة بـ s(t) = t³ − 9t² + 24t، حيث t ≥ 0 (متر، ثانية). أوجد دالة تسارع الجسيم، وحدد قيمة t التي يكون عندها تسارع الجسيم صفراً. نمط الورقة 2 متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 24 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «إزاحة جسيم مُعطاة بـ s(t) = t³ − 9t² + 24t، حيث t ≥ 0 (متر، ثانية). أوجد دالة تسارع الجسيم، وحدد قيمة t التي يكون عندها تسارع الجسيم صفراً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الإزاحة مرتين: v(t) = 3t² − 18t + 24، ثم a(t) = 6t − 18.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 25 أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y = x² وy = 2x. نمط الورقة 2 متوسط 5 درجات آلة حاسبة + 26 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y = x² وy = 2x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد نقطتي التقاطع بحل x² = 2x: x = 0 وx = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 5 درجات آلة حاسبة + 27 للمنحنى y = x³ − 3x² + 2، أوجد إحداثيات نقطة الانعطاف، باستخدام المشتقة الثانية. نمط الورقة 2 متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 28 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى y = x³ − 3x² + 2، أوجد إحداثيات نقطة الانعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد y′ = 3x² − 6x وy″ = 6x − 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 29 تزداد مساحة بقعة نفطية دائرية بمعدل 8 m² s⁻¹. أوجد معدل ازدياد نصف القطر في اللحظة التي يكون فيها نصف القطر 5 m. (A = πr²) نمط الورقة 2 متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 30 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تزداد مساحة بقعة نفطية دائرية بمعدل 8 m² s⁻¹. أوجد معدل ازدياد نصف القطر في اللحظة التي يكون فيها نصف القطر 5 m. (A = πr²)» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق A = πr² بالنسبة لـt، باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 4 درجات آلة حاسبة + 31 للدالة f(x) = x^2 e^(-x) حيث x حقيقي، أوجد النقطتين الساكنتين وصنّف كلاً منهما باستخدام إشارة المشتقة. للدالة f(x) = x2 e(-x) حيث x حقيقي، أوجد النقطتين الساكنتين وصنّف كلاً منهما باستخدام إشارة المشتقة. نمط الورقة 1 متوسط 5 درجات بدون آلة + 32 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة f(x) = x^2 e^(-x) حيث x حقيقي، أوجد النقطتين الساكنتين وصنّف كلاً منهما باستخدام إشارة المشتقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «f'(x) = e^(-x)(2x - x^2) = e^(-x)x(2 - x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة f(x) = x2 e(-x) حيث x حقيقي، أوجد النقطتين الساكنتين وصنّف كلاً منهما باستخدام إشارة المشتقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «f'(x) = e(-x) (2x - x2 ) = e^(-x)x(2 - x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 5 درجات بدون آلة + 33 أوجد تقاطعي y = 2x وy = x^2 ثم احسب المساحة المحصورة الدقيقة. أوجد تقاطعي y = 2x وy = x2 ثم احسب المساحة المحصورة الدقيقة. نمط الورقة 1 متوسط 4 درجات بدون آلة + 34 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد تقاطعي y = 2x وy = x^2 ثم احسب المساحة المحصورة الدقيقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعطي x^2 = 2x القيمتين x = 0 وx = 2 عند (0,0) و(2,4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد تقاطعي y = 2x وy = x2 ثم احسب المساحة المحصورة الدقيقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعطي x2 = 2x القيمتين x = 0 وx = 2 عند (0,0) و(2,4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 4 درجات بدون آلة + 35 أوجد مماس y = ln x عند x = e. أثبت ln x <= x/e لكل x > 0 وحدّد حالة المساواة. نمط الورقة 1 صعب 5 درجات بدون آلة + 36 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مماس y = ln x عند x = e. أثبت ln x <= x/e لكل x > 0 وحدّد حالة المساواة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «عند x = e يكون y = 1 وdy/dx = 1/e.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 5 درجات بدون آلة + 37 f(x) = x^3 - 3kx حيث k > 0. الفرق الرأسي بين العظمى المحلية والصغرى المحلية 32. حدّد k. f(x) = x3 - 3kx حيث k > 0. الفرق الرأسي بين العظمى المحلية والصغرى المحلية 32. حدّد k. نمط الورقة 1 صعب 5 درجات بدون آلة + 38 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «f(x) = x^3 - 3kx حيث k > 0. الفرق الرأسي بين العظمى المحلية والصغرى المحلية 32. حدّد k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «f'(x) = 3x^2 - 3k، لذا المدخلان الساكنان +/-sqrt(k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «f(x) = x3 - 3kx حيث k > 0. الفرق الرأسي بين العظمى المحلية والصغرى المحلية 32. حدّد k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «f'(x) = 3x2 - 3k، لذا المدخلان الساكنان +/-sqrt(k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 5 درجات بدون آلة + 39 تُنمذج الحرارة بـT(t) = 20 + 60e^(-0.15t)، حيث t بالدقائق من بدء التبريد. أوجد أول وقت تبلغ فيه 35 درجة ومعدل التغير الابتدائي، وهل تبلغ 20 درجة في زمن منتهٍ وفق النموذج. نمط الورقة 2 صعب 5 درجات آلة حاسبة + 40 تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج الحرارة بـT(t) = 20 + 60e^(-0.15t)، حيث t بالدقائق من بدء التبريد. أوجد أول وقت تبلغ فيه 35 درجة ومعدل التغير الابتدائي، وهل تبلغ 20 درجة في زمن منتهٍ وفق النموذج.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعطي 35 = 20 + 60e^(-0.15t) العلاقة e^(-0.15t) = 1/4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة. تحليل تصحيح متوسط 5 درجات آلة حاسبة + الدرجات التي قيّمتها لم يُقيَّم بعد
إجمالي درجات المجموعة 176
هذه أداة تدريب ذاتي وليست مفتاح إجابة معتمداً أو درجة متوقعة في IB.
جارٍ تحميل التقدم مسح التقدم
قبل أن تبدأ
أسئلة شائعة عن هذا التدريب هل هذه أسئلة IB رسمية؟ لا. هذه أسئلة تدريب أصلية من SubjectScout لموضوع التفاضل والتكامل، وليست أسئلة أوراق رسمية أو مواد معتمدة من الجهة المالكة للمنهج.
ماذا يشمل تدريب الرياضيات AA: المستوى العادي؟ تشمل الصفحة أسئلة مختارة حسب الموضوع، نقاط تصحيح، وتحليل يساعد الطالب على فهم طريقة الحل قبل طلب دعم من معلم.
هل يمكنني طلب معلم لهذا الموضوع؟ نعم. يمكنك إرسال طلب يوضح المادة والموضوع والموعد النهائي، وسيراجعه فريق SubjectScout لمحاولة مطابقتك مع معلم مناسب ومتحقق.
محتوى غير رسمي قيد مراجعة الدقة والمصدر والحقوق، وغير تابع أو معتمد من منظمة البكالوريا الدولية. لا تُنسخ أسئلة الأوراق السابقة الرسمية هنا.
