الرياضيات AA: المستوى العادي
التفاضل والتكامل — الموضوع 5
- 1.
لتكن g(x) = x³ − 6x² + 9x. أوجد إحداثيات جميع النقاط الساكنة وصنّف كل نقطة كقيمة عظمى محلية أو صغرى محلية.
[6 درجة] · بدون آلة حاسبة - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لتكن g(x) = x³ − 6x² + 9x. أوجد إحداثيات جميع النقاط الساكنة وصنّف كل نقطة كقيمة عظمى محلية أو صغرى محلية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على g′(x) = 3x² − 12x + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] · بدون آلة حاسبة - 3.
احسب التكامل المحدد للدالة (3x² + 2) من 0 إلى 2. فسّر إجابتك باعتبارها المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور x خلال هذه الفترة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب التكامل المحدد للدالة (3x² + 2) من 0 إلى 2. فسّر إجابتك باعتبارها المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور x خلال هذه الفترة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الدالة الأصلية x³ + 2x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 5.
أوجد معادلة المماس للمنحنى y = x² − 3x + 5 عند النقطة التي فيها x = 2.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معادلة المماس للمنحنى y = x² − 3x + 5 عند النقطة التي فيها x = 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 2x − 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 7.
اشتق الدالة y = (3x + 1)⁴ باستخدام قاعدة السلسلة، ثم أوجد ميل المنحنى عند x = 0.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشتق الدالة y = (3x + 1)⁴ باستخدام قاعدة السلسلة، ثم أوجد ميل المنحنى عند x = 0.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة السلسلة: dy/dx = 4(3x + 1)³ × 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 9.
أوجد معادلة العمودي على المنحنى y = x³ عند النقطة (1, 1).
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معادلة العمودي على المنحنى y = x³ عند النقطة (1, 1).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 3x².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 11.
يتحرك جسيم على خط مستقيم بإزاحة s(t) = t³ − 6t² + 9t متراً، حيث t ≥ 0 ثانية. أوجد دالة السرعة وحدد متى يكون الجسيم ساكناً.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتحرك جسيم على خط مستقيم بإزاحة s(t) = t³ − 6t² + 9t متراً، حيث t ≥ 0 ثانية. أوجد دالة السرعة وحدد متى يكون الجسيم ساكناً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الإزاحة للحصول على v(t) = 3t² − 12t + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 13.
أوجد ∫(4x³ − 6x + 2) dx.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد ∫(4x³ − 6x + 2) dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكامل كل حد باستخدام قاعدة الأس.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 15.
للمنحنى y = 12/x، حيث x ≠ 0، أوجد معادلة المماس عند x = 3.
[4 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى y = 12/x، حيث x ≠ 0، أوجد معادلة المماس عند x = 3.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = −12/x².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 17.
حدد الفترة أو الفترات التي تكون فيها الدالة h(x) = x³ − 3x متزايدة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حدد الفترة أو الفترات التي تكون فيها الدالة h(x) = x³ − 3x متزايدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على h′(x) = 3x² − 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 19.
يتدفق الماء إلى خزان بمعدل R(t) = 6t − t² لتراً في الدقيقة، حيث 0 ≤ t ≤ 6. أوجد الحجم الكلي للماء المتدفق إلى الخزان خلال هذه المدة.
[4 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتدفق الماء إلى خزان بمعدل R(t) = 6t − t² لتراً في الدقيقة، حيث 0 ≤ t ≤ 6. أوجد الحجم الكلي للماء المتدفق إلى الخزان خلال هذه المدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الحجم الكلي هو التكامل المحدد لدالة المعدل من 0 إلى 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 21.
لدى مزارع 40 m من السياج لتسييج حقل مستطيل، مستخدماً جداراً موجوداً كضلع واحد (بحيث يلزم السياج للأضلاع الثلاثة الأخرى فقط). أوجد الأبعاد التي تُعظّم المساحة المحصورة، واحسب هذه المساحة القصوى.
[5 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لدى مزارع 40 m من السياج لتسييج حقل مستطيل، مستخدماً جداراً موجوداً كضلع واحد (بحيث يلزم السياج للأضلاع الثلاثة الأخرى فقط). أوجد الأبعاد التي تُعظّم المساحة المحصورة، واحسب هذه المساحة القصوى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع القيد x + 2y = 40، حيث x الضلع الموازي للجدار وy الضلعان العموديان، والتعبير عن x = 40 − 2y.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 23.
إزاحة جسيم مُعطاة بـ s(t) = t³ − 9t² + 24t، حيث t ≥ 0 (متر، ثانية). أوجد دالة تسارع الجسيم، وحدد قيمة t التي يكون عندها تسارع الجسيم صفراً.
[4 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «إزاحة جسيم مُعطاة بـ s(t) = t³ − 9t² + 24t، حيث t ≥ 0 (متر، ثانية). أوجد دالة تسارع الجسيم، وحدد قيمة t التي يكون عندها تسارع الجسيم صفراً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الإزاحة مرتين: v(t) = 3t² − 18t + 24، ثم a(t) = 6t − 18.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 25.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y = x² وy = 2x.
[5 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y = x² وy = 2x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد نقطتي التقاطع بحل x² = 2x: x = 0 وx = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 27.
للمنحنى y = x³ − 3x² + 2، أوجد إحداثيات نقطة الانعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.
[4 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى y = x³ − 3x² + 2، أوجد إحداثيات نقطة الانعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد y′ = 3x² − 6x وy″ = 6x − 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 29.
تزداد مساحة بقعة نفطية دائرية بمعدل 8 m² s⁻¹. أوجد معدل ازدياد نصف القطر في اللحظة التي يكون فيها نصف القطر 5 m. (A = πr²)
[4 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تزداد مساحة بقعة نفطية دائرية بمعدل 8 m² s⁻¹. أوجد معدل ازدياد نصف القطر في اللحظة التي يكون فيها نصف القطر 5 m. (A = πr²)» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق A = πr² بالنسبة لـt، باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 31.
للدالة f(x) = x^2 e^(-x) حيث x حقيقي، أوجد النقطتين الساكنتين وصنّف كلاً منهما باستخدام إشارة المشتقة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة f(x) = x^2 e^(-x) حيث x حقيقي، أوجد النقطتين الساكنتين وصنّف كلاً منهما باستخدام إشارة المشتقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «f'(x) = e^(-x)(2x - x^2) = e^(-x)x(2 - x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 33.
أوجد تقاطعي y = 2x وy = x^2 ثم احسب المساحة المحصورة الدقيقة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 34.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد تقاطعي y = 2x وy = x^2 ثم احسب المساحة المحصورة الدقيقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعطي x^2 = 2x القيمتين x = 0 وx = 2 عند (0,0) و(2,4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 35.
أوجد مماس y = ln x عند x = e. أثبت ln x <= x/e لكل x > 0 وحدّد حالة المساواة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 36.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مماس y = ln x عند x = e. أثبت ln x <= x/e لكل x > 0 وحدّد حالة المساواة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «عند x = e يكون y = 1 وdy/dx = 1/e.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 37.
f(x) = x^3 - 3kx حيث k > 0. الفرق الرأسي بين العظمى المحلية والصغرى المحلية 32. حدّد k.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 38.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «f(x) = x^3 - 3kx حيث k > 0. الفرق الرأسي بين العظمى المحلية والصغرى المحلية 32. حدّد k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «f'(x) = 3x^2 - 3k، لذا المدخلان الساكنان +/-sqrt(k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 39.
تُنمذج الحرارة بـT(t) = 20 + 60e^(-0.15t)، حيث t بالدقائق من بدء التبريد. أوجد أول وقت تبلغ فيه 35 درجة ومعدل التغير الابتدائي، وهل تبلغ 20 درجة في زمن منتهٍ وفق النموذج.
[5 درجة] - 40.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج الحرارة بـT(t) = 20 + 60e^(-0.15t)، حيث t بالدقائق من بدء التبريد. أوجد أول وقت تبلغ فيه 35 درجة ومعدل التغير الابتدائي، وهل تبلغ 20 درجة في زمن منتهٍ وفق النموذج.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعطي 35 = 20 + 60e^(-0.15t) العلاقة e^(-0.15t) = 1/4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]