الرياضيات AA: المستوى العادي

1. 1.

   لتكن g(x) = x³ − 6x² + 9x. أوجد إحداثيات جميع النقاط الساكنة وصنّف كل نقطة كقيمة عظمى محلية أو صغرى محلية.

   [6 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق الدالة للحصول على g′(x) = 3x² − 12x + 9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل 3(x − 1)(x − 3) = 0 للحصول على x = 1 وx = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب g(1) = 4 وg(3) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام g″(x) = 6x − 12 أو اختبار إشارة مكافئ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تصنيف (1، 4) كقيمة عظمى محلية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تصنيف (3، 0) كقيمة صغرى محلية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتطلب الإحداثيات قيمتي x وy؛ جذور g′ وحدها لا تكفي للإجابة الكاملة.

   نقاط التصحيح

   • اشتقاق الدالة للحصول على g′(x) = 3x² − 12x + 9.
   • حل 3(x − 1)(x − 3) = 0 للحصول على x = 1 وx = 3.
   • حساب g(1) = 4 وg(3) = 0.
   • استخدام g″(x) = 6x − 12 أو اختبار إشارة مكافئ.
   • تصنيف (1، 4) كقيمة عظمى محلية.
   • تصنيف (3، 0) كقيمة صغرى محلية.

   ملاحظة الفاحص: تتطلب الإحداثيات قيمتي x وy؛ جذور g′ وحدها لا تكفي للإجابة الكاملة.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لتكن g(x) = x³ − 6x² + 9x. أوجد إحداثيات جميع النقاط الساكنة وصنّف كل نقطة كقيمة عظمى محلية أو صغرى محلية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على g′(x) = 3x² − 12x + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [6 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على g′(x) = 3x² − 12x + 9. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حل 3(x − 1)(x − 3) = 0 للحصول على x = 1 وx = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب g(1) = 4 وg(3) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: استخدام g″(x) = 6x − 12 أو اختبار إشارة مكافئ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: تصنيف (1، 4) كقيمة عظمى محلية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: تصنيف (3، 0) كقيمة صغرى محلية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على g′(x) = 3x² − 12x + 9.
   • يحدد المتطلب الناقص: حل 3(x − 1)(x − 3) = 0 للحصول على x = 1 وx = 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب g(1) = 4 وg(3) = 0.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام g″(x) = 6x − 12 أو اختبار إشارة مكافئ.
   • يحدد المتطلب الناقص: تصنيف (1، 4) كقيمة عظمى محلية.
   • يحدد المتطلب الناقص: تصنيف (3، 0) كقيمة صغرى محلية.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   احسب التكامل المحدد للدالة (3x² + 2) من 0 إلى 2. فسّر إجابتك باعتبارها المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور x خلال هذه الفترة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. ابنِ حكماً مدعوماً: حدّد الادعاء واستخدم أدلة السؤال وناقش قيداً أو بديلاً مناسباً، واجعل الخلاصة مبنية على الأدلة. قد توجد أكثر من إجابة قابلة للدفاع عنها.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد الدالة الأصلية x³ + 2x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض الحدود: (8 + 4) − 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التوصل إلى مساحة موقعة مقدارها 12 وحدة مربعة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: أظهر تعويض الحدين الأعلى والأدنى حتى لو كانت مساهمة الحد الأدنى صفراً.

   نقاط التصحيح

   • إيجاد الدالة الأصلية x³ + 2x.
   • تعويض الحدود: (8 + 4) − 0.
   • التوصل إلى مساحة موقعة مقدارها 12 وحدة مربعة.

   ملاحظة الفاحص: أظهر تعويض الحدين الأعلى والأدنى حتى لو كانت مساهمة الحد الأدنى صفراً.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب التكامل المحدد للدالة (3x² + 2) من 0 إلى 2. فسّر إجابتك باعتبارها المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور x خلال هذه الفترة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الدالة الأصلية x³ + 2x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد الدالة الأصلية x³ + 2x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض الحدود: (8 + 4) − 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التوصل إلى مساحة موقعة مقدارها 12 وحدة مربعة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد الدالة الأصلية x³ + 2x.
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض الحدود: (8 + 4) − 0.
   • يحدد المتطلب الناقص: التوصل إلى مساحة موقعة مقدارها 12 وحدة مربعة.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   أوجد معادلة المماس للمنحنى y = x² − 3x + 5 عند النقطة التي فيها x = 2.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 2x − 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 2 لإيجاد الميل = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب إحداثي y: y = 4 − 6 + 5 = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام y − y₁ = m(x − x₁) مع النقطة (2, 3) والميل 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة معادلة المماس y = x + 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ميل المماس هو قيمة المشتقة عند x المعطاة، وليس تعبير المشتقة نفسه.

   نقاط التصحيح

   • اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 2x − 3.
   • تعويض x = 2 لإيجاد الميل = 1.
   • حساب إحداثي y: y = 4 − 6 + 5 = 3.
   • استخدام y − y₁ = m(x − x₁) مع النقطة (2, 3) والميل 1.
   • كتابة معادلة المماس y = x + 1.

   ملاحظة الفاحص: ميل المماس هو قيمة المشتقة عند x المعطاة، وليس تعبير المشتقة نفسه.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معادلة المماس للمنحنى y = x² − 3x + 5 عند النقطة التي فيها x = 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 2x − 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 2x − 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 2 لإيجاد الميل = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب إحداثي y: y = 4 − 6 + 5 = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: استخدام y − y₁ = m(x − x₁) مع النقطة (2, 3) والميل 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة معادلة المماس y = x + 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 2x − 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 2 لإيجاد الميل = 1.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب إحداثي y: y = 4 − 6 + 5 = 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام y − y₁ = m(x − x₁) مع النقطة (2, 3) والميل 1.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة معادلة المماس y = x + 1.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   اشتق الدالة y = (3x + 1)⁴ باستخدام قاعدة السلسلة، ثم أوجد ميل المنحنى عند x = 0.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تطبيق قاعدة السلسلة: dy/dx = 4(3x + 1)³ × 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط إلى dy/dx = 12(3x + 1)³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على الميل = 12. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لا تنسَ الضرب في مشتقة الدالة الداخلية (هنا، 3) عند تطبيق قاعدة السلسلة.

   نقاط التصحيح

   • تطبيق قاعدة السلسلة: dy/dx = 4(3x + 1)³ × 3.
   • التبسيط إلى dy/dx = 12(3x + 1)³.
   • تعويض x = 0.
   • الحصول على الميل = 12.

   ملاحظة الفاحص: لا تنسَ الضرب في مشتقة الدالة الداخلية (هنا، 3) عند تطبيق قاعدة السلسلة.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشتق الدالة y = (3x + 1)⁴ باستخدام قاعدة السلسلة، ثم أوجد ميل المنحنى عند x = 0.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة السلسلة: dy/dx = 4(3x + 1)³ × 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تطبيق قاعدة السلسلة: dy/dx = 4(3x + 1)³ × 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التبسيط إلى dy/dx = 12(3x + 1)³. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على الميل = 12. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تطبيق قاعدة السلسلة: dy/dx = 4(3x + 1)³ × 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: التبسيط إلى dy/dx = 12(3x + 1)³.
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 0.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على الميل = 12.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   أوجد معادلة العمودي على المنحنى y = x³ عند النقطة (1, 1).

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 3x². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 1 لإيجاد ميل المماس = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام ميل العمودي = −1/3، مقلوب ميل المماس بالإشارة المعاكسة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام y − 1 = −1/3(x − 1) مع النقطة المعطاة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة معادلة العمودي y = −x/3 + 4/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: العمودي متعامد مع المماس، لذا ميله هو مقلوب ميل المماس بإشارة معاكسة، وليس القيمة نفسها.

   نقاط التصحيح

   • اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 3x².
   • تعويض x = 1 لإيجاد ميل المماس = 3.
   • استخدام ميل العمودي = −1/3، مقلوب ميل المماس بالإشارة المعاكسة.
   • استخدام y − 1 = −1/3(x − 1) مع النقطة المعطاة.
   • كتابة معادلة العمودي y = −x/3 + 4/3.

   ملاحظة الفاحص: العمودي متعامد مع المماس، لذا ميله هو مقلوب ميل المماس بإشارة معاكسة، وليس القيمة نفسها.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معادلة العمودي على المنحنى y = x³ عند النقطة (1, 1).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 3x².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 3x². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 1 لإيجاد ميل المماس = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام ميل العمودي = −1/3، مقلوب ميل المماس بالإشارة المعاكسة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: استخدام y − 1 = −1/3(x − 1) مع النقطة المعطاة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة معادلة العمودي y = −x/3 + 4/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = 3x².
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 1 لإيجاد ميل المماس = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام ميل العمودي = −1/3، مقلوب ميل المماس بالإشارة المعاكسة.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام y − 1 = −1/3(x − 1) مع النقطة المعطاة.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة معادلة العمودي y = −x/3 + 4/3.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    يتحرك جسيم على خط مستقيم بإزاحة s(t) = t³ − 6t² + 9t متراً، حيث t ≥ 0 ثانية. أوجد دالة السرعة وحدد متى يكون الجسيم ساكناً.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق الإزاحة للحصول على v(t) = 3t² − 12t + 9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع v(t) = 0 والتحليل: 3(t − 1)(t − 3) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن الجسيم ساكن عند t = 1 s وt = 3 s. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: السرعة هي مشتقة الإزاحة؛ يكون الجسيم ساكناً بالضبط عندما تساوي السرعة صفراً.

    نقاط التصحيح

    • اشتقاق الإزاحة للحصول على v(t) = 3t² − 12t + 9.
    • وضع v(t) = 0 والتحليل: 3(t − 1)(t − 3) = 0.
    • توضيح أن الجسيم ساكن عند t = 1 s وt = 3 s.

    ملاحظة الفاحص: السرعة هي مشتقة الإزاحة؛ يكون الجسيم ساكناً بالضبط عندما تساوي السرعة صفراً.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتحرك جسيم على خط مستقيم بإزاحة s(t) = t³ − 6t² + 9t متراً، حيث t ≥ 0 ثانية. أوجد دالة السرعة وحدد متى يكون الجسيم ساكناً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الإزاحة للحصول على v(t) = 3t² − 12t + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الإزاحة للحصول على v(t) = 3t² − 12t + 9. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع v(t) = 0 والتحليل: 3(t − 1)(t − 3) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن الجسيم ساكن عند t = 1 s وt = 3 s. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الإزاحة للحصول على v(t) = 3t² − 12t + 9.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع v(t) = 0 والتحليل: 3(t − 1)(t − 3) = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن الجسيم ساكن عند t = 1 s وt = 3 s.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    أوجد ∫(4x³ − 6x + 2) dx.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تكامل كل حد باستخدام قاعدة الأس. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على x⁴ − 3x² + 2x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إضافة ثابت التكامل + C. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يتطلب التكامل غير المحدد دائماً إضافة ثابت التكامل C للحصول على الدرجة الكاملة.

    نقاط التصحيح

    • تكامل كل حد باستخدام قاعدة الأس.
    • الحصول على x⁴ − 3x² + 2x.
    • إضافة ثابت التكامل + C.

    ملاحظة الفاحص: يتطلب التكامل غير المحدد دائماً إضافة ثابت التكامل C للحصول على الدرجة الكاملة.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد ∫(4x³ − 6x + 2) dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكامل كل حد باستخدام قاعدة الأس.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تكامل كل حد باستخدام قاعدة الأس. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x⁴ − 3x² + 2x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: إضافة ثابت التكامل + C. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تكامل كل حد باستخدام قاعدة الأس.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x⁴ − 3x² + 2x.
    • يحدد المتطلب الناقص: إضافة ثابت التكامل + C.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    للمنحنى y = 12/x، حيث x ≠ 0، أوجد معادلة المماس عند x = 3.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = −12/x². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الميل عند x = 3 وهو −4/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد نقطة التماس (3, 4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة y − 4 = (−4/3)(x − 3)، أو y = −4x/3 + 8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اكتب 12/x بصيغة 12x⁻¹ قبل الاشتقاق. استخدم الدالة الأصلية لإيجاد النقطة والمشتقة لإيجاد الميل.

    نقاط التصحيح

    • اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = −12/x².
    • حساب الميل عند x = 3 وهو −4/3.
    • إيجاد نقطة التماس (3, 4).
    • كتابة y − 4 = (−4/3)(x − 3)، أو y = −4x/3 + 8.

    ملاحظة الفاحص: اكتب 12/x بصيغة 12x⁻¹ قبل الاشتقاق. استخدم الدالة الأصلية لإيجاد النقطة والمشتقة لإيجاد الميل.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى y = 12/x، حيث x ≠ 0، أوجد معادلة المماس عند x = 3.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = −12/x².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = −12/x². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب الميل عند x = 3 وهو −4/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد نقطة التماس (3, 4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة y − 4 = (−4/3)(x − 3)، أو y = −4x/3 + 8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على dy/dx = −12/x².
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الميل عند x = 3 وهو −4/3.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد نقطة التماس (3, 4).
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة y − 4 = (−4/3)(x − 3)، أو y = −4x/3 + 8.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    حدد الفترة أو الفترات التي تكون فيها الدالة h(x) = x³ − 3x متزايدة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق الدالة للحصول على h′(x) = 3x² − 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع h′(x) = 0 وحل 3(x − 1)(x + 1) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على القيمتين الحرجتين x = −1 وx = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اختبار إشارة h′(x) في كل منطقة (مثلاً عند x = −2 و0 و2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد h′ > 0 عندما x < −1 أو x > 1. تُقبل أيضاً فترتا التزايد القصويتان (−∞, −1] و[1, ∞) مع إدراج الطرفين الساكنين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتزايد الدالة حيث تكون مشتقتها موجبة؛ اختبر قيمة واحدة من كل فترة تحددها القيم الحرجة.

    نقاط التصحيح

    • اشتقاق الدالة للحصول على h′(x) = 3x² − 3.
    • وضع h′(x) = 0 وحل 3(x − 1)(x + 1) = 0.
    • الحصول على القيمتين الحرجتين x = −1 وx = 1.
    • اختبار إشارة h′(x) في كل منطقة (مثلاً عند x = −2 و0 و2).
    • تحديد h′ > 0 عندما x < −1 أو x > 1. تُقبل أيضاً فترتا التزايد القصويتان (−∞, −1] و[1, ∞) مع إدراج الطرفين الساكنين.

    ملاحظة الفاحص: تتزايد الدالة حيث تكون مشتقتها موجبة؛ اختبر قيمة واحدة من كل فترة تحددها القيم الحرجة.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حدد الفترة أو الفترات التي تكون فيها الدالة h(x) = x³ − 3x متزايدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الدالة للحصول على h′(x) = 3x² − 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على h′(x) = 3x² − 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع h′(x) = 0 وحل 3(x − 1)(x + 1) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على القيمتين الحرجتين x = −1 وx = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: اختبار إشارة h′(x) في كل منطقة (مثلاً عند x = −2 و0 و2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: تحديد h′ > 0 عندما x < −1 أو x > 1. تُقبل أيضاً فترتا التزايد القصويتان (−∞, −1] و[1, ∞) مع إدراج الطرفين الساكنين. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الدالة للحصول على h′(x) = 3x² − 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع h′(x) = 0 وحل 3(x − 1)(x + 1) = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على القيمتين الحرجتين x = −1 وx = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: اختبار إشارة h′(x) في كل منطقة (مثلاً عند x = −2 و0 و2).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد h′ > 0 عندما x < −1 أو x > 1. تُقبل أيضاً فترتا التزايد القصويتان (−∞, −1] و[1, ∞) مع إدراج الطرفين الساكنين.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    يتدفق الماء إلى خزان بمعدل R(t) = 6t − t² لتراً في الدقيقة، حيث 0 ≤ t ≤ 6. أوجد الحجم الكلي للماء المتدفق إلى الخزان خلال هذه المدة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إدراك أن الحجم الكلي هو التكامل المحدد لدالة المعدل من 0 إلى 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد الدالة الأصلية 3t² − t³/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض الحدين t = 6 وt = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على حجم كلي مقداره 36 لتراً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يجب تكامل دالة المعدل، لا تقييمها عند لحظة واحدة، لإيجاد الكمية الكلية المتراكمة.

    نقاط التصحيح

    • إدراك أن الحجم الكلي هو التكامل المحدد لدالة المعدل من 0 إلى 6.
    • إيجاد الدالة الأصلية 3t² − t³/3.
    • تعويض الحدين t = 6 وt = 0.
    • الحصول على حجم كلي مقداره 36 لتراً.

    ملاحظة الفاحص: يجب تكامل دالة المعدل، لا تقييمها عند لحظة واحدة، لإيجاد الكمية الكلية المتراكمة.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتدفق الماء إلى خزان بمعدل R(t) = 6t − t² لتراً في الدقيقة، حيث 0 ≤ t ≤ 6. أوجد الحجم الكلي للماء المتدفق إلى الخزان خلال هذه المدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الحجم الكلي هو التكامل المحدد لدالة المعدل من 0 إلى 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن الحجم الكلي هو التكامل المحدد لدالة المعدل من 0 إلى 6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد الدالة الأصلية 3t² − t³/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض الحدين t = 6 وt = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على حجم كلي مقداره 36 لتراً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن الحجم الكلي هو التكامل المحدد لدالة المعدل من 0 إلى 6.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد الدالة الأصلية 3t² − t³/3.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض الحدين t = 6 وt = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على حجم كلي مقداره 36 لتراً.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    لدى مزارع 40 m من السياج لتسييج حقل مستطيل، مستخدماً جداراً موجوداً كضلع واحد (بحيث يلزم السياج للأضلاع الثلاثة الأخرى فقط). أوجد الأبعاد التي تُعظّم المساحة المحصورة، واحسب هذه المساحة القصوى.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع القيد x + 2y = 40، حيث x الضلع الموازي للجدار وy الضلعان العموديان، والتعبير عن x = 40 − 2y. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تكوين دالة المساحة A = xy = (40 − 2y)y = 40y − 2y². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاشتقاق: dA/dy = 40 − 4y. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع dA/dy = 0 والحل للحصول على y = 10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد x = 20، وتحديد المساحة القصوى = 200 m². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اختزل المسألة دائماً إلى متغير واحد باستخدام القيد قبل الاشتقاق — لا تنجح محاولة تعظيم دالة متغيرين مباشرة بحساب تفاضل متغير واحد.

    نقاط التصحيح

    • وضع القيد x + 2y = 40، حيث x الضلع الموازي للجدار وy الضلعان العموديان، والتعبير عن x = 40 − 2y.
    • تكوين دالة المساحة A = xy = (40 − 2y)y = 40y − 2y².
    • الاشتقاق: dA/dy = 40 − 4y.
    • وضع dA/dy = 0 والحل للحصول على y = 10.
    • إيجاد x = 20، وتحديد المساحة القصوى = 200 m².

    ملاحظة الفاحص: اختزل المسألة دائماً إلى متغير واحد باستخدام القيد قبل الاشتقاق — لا تنجح محاولة تعظيم دالة متغيرين مباشرة بحساب تفاضل متغير واحد.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لدى مزارع 40 m من السياج لتسييج حقل مستطيل، مستخدماً جداراً موجوداً كضلع واحد (بحيث يلزم السياج للأضلاع الثلاثة الأخرى فقط). أوجد الأبعاد التي تُعظّم المساحة المحصورة، واحسب هذه المساحة القصوى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع القيد x + 2y = 40، حيث x الضلع الموازي للجدار وy الضلعان العموديان، والتعبير عن x = 40 − 2y.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع القيد x + 2y = 40، حيث x الضلع الموازي للجدار وy الضلعان العموديان، والتعبير عن x = 40 − 2y. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تكوين دالة المساحة A = xy = (40 − 2y)y = 40y − 2y². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الاشتقاق: dA/dy = 40 − 4y. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: وضع dA/dy = 0 والحل للحصول على y = 10. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد x = 20، وتحديد المساحة القصوى = 200 m². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع القيد x + 2y = 40، حيث x الضلع الموازي للجدار وy الضلعان العموديان، والتعبير عن x = 40 − 2y.
    • يحدد المتطلب الناقص: تكوين دالة المساحة A = xy = (40 − 2y)y = 40y − 2y².
    • يحدد المتطلب الناقص: الاشتقاق: dA/dy = 40 − 4y.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع dA/dy = 0 والحل للحصول على y = 10.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد x = 20، وتحديد المساحة القصوى = 200 m².

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    إزاحة جسيم مُعطاة بـ s(t) = t³ − 9t² + 24t، حيث t ≥ 0 (متر، ثانية). أوجد دالة تسارع الجسيم، وحدد قيمة t التي يكون عندها تسارع الجسيم صفراً.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق الإزاحة مرتين: v(t) = 3t² − 18t + 24، ثم a(t) = 6t − 18. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع a(t) = 0: 6t − 18 = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على t = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن تسارع الجسيم صفر عند t = 3 s. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: التسارع هو مشتقة السرعة، وهي نفسها مشتقة الإزاحة — يعطي اشتقاق الإزاحة مرتين التسارع مباشرة دائماً.

    نقاط التصحيح

    • اشتقاق الإزاحة مرتين: v(t) = 3t² − 18t + 24، ثم a(t) = 6t − 18.
    • وضع a(t) = 0: 6t − 18 = 0.
    • الحل للحصول على t = 3.
    • توضيح أن تسارع الجسيم صفر عند t = 3 s.

    ملاحظة الفاحص: التسارع هو مشتقة السرعة، وهي نفسها مشتقة الإزاحة — يعطي اشتقاق الإزاحة مرتين التسارع مباشرة دائماً.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «إزاحة جسيم مُعطاة بـ s(t) = t³ − 9t² + 24t، حيث t ≥ 0 (متر، ثانية). أوجد دالة تسارع الجسيم، وحدد قيمة t التي يكون عندها تسارع الجسيم صفراً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الإزاحة مرتين: v(t) = 3t² − 18t + 24، ثم a(t) = 6t − 18.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الإزاحة مرتين: v(t) = 3t² − 18t + 24، ثم a(t) = 6t − 18. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع a(t) = 0: 6t − 18 = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على t = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن تسارع الجسيم صفر عند t = 3 s. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الإزاحة مرتين: v(t) = 3t² − 18t + 24، ثم a(t) = 6t − 18.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع a(t) = 0: 6t − 18 = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على t = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن تسارع الجسيم صفر عند t = 3 s.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y = x² وy = 2x.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد نقطتي التقاطع بحل x² = 2x: x = 0 وx = 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن 2x ≥ x² على الفترة [0, 2]. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع التكامل ∫₀² (2x − x²) dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التكامل للحصول على [x² − x³/3]₀². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مساحة = 4/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تُوجد المساحة بين منحنيين دائماً بتكامل (المنحنى الأعلى − المنحنى الأسفل)، وليس أي منحنى بمفرده — تحقق دائماً أولاً من أي منحنى يكون أعلى عبر الفترة.

    نقاط التصحيح

    • إيجاد نقطتي التقاطع بحل x² = 2x: x = 0 وx = 2.
    • تحديد أن 2x ≥ x² على الفترة [0, 2].
    • وضع التكامل ∫₀² (2x − x²) dx.
    • التكامل للحصول على [x² − x³/3]₀².
    • الحصول على مساحة = 4/3.

    ملاحظة الفاحص: تُوجد المساحة بين منحنيين دائماً بتكامل (المنحنى الأعلى − المنحنى الأسفل)، وليس أي منحنى بمفرده — تحقق دائماً أولاً من أي منحنى يكون أعلى عبر الفترة.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y = x² وy = 2x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد نقطتي التقاطع بحل x² = 2x: x = 0 وx = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد نقطتي التقاطع بحل x² = 2x: x = 0 وx = 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن 2x ≥ x² على الفترة [0, 2]. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: وضع التكامل ∫₀² (2x − x²) dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على [x² − x³/3]₀². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة = 4/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد نقطتي التقاطع بحل x² = 2x: x = 0 وx = 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن 2x ≥ x² على الفترة [0, 2].
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع التكامل ∫₀² (2x − x²) dx.
    • يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على [x² − x³/3]₀².
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة = 4/3.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    للمنحنى y = x³ − 3x² + 2، أوجد إحداثيات نقطة الانعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد y′ = 3x² − 6x وy″ = 6x − 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع y″ = 0: 6x − 6 = 0، ما يعطي x = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحقق من أنها نقطة انعطاف حقيقية، لأن y″ تغيّر إشارتها (من سالبة إلى موجبة) عند مرور x بالقيمة 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب y(1) = 1 − 3 + 2 = 0، ما يعطي نقطة الانعطاف (1, 0). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتطلب نقطة الانعطاف تغيّر إشارة المشتقة الثانية فعلياً، وليس مجرد مساواتها بالصفر — تحقق دائماً من الإشارة على جانبي قيمة x المرشحة لتأكيد نقطة انعطاف حقيقية.

    نقاط التصحيح

    • إيجاد y′ = 3x² − 6x وy″ = 6x − 6.
    • وضع y″ = 0: 6x − 6 = 0، ما يعطي x = 1.
    • التحقق من أنها نقطة انعطاف حقيقية، لأن y″ تغيّر إشارتها (من سالبة إلى موجبة) عند مرور x بالقيمة 1.
    • حساب y(1) = 1 − 3 + 2 = 0، ما يعطي نقطة الانعطاف (1, 0).

    ملاحظة الفاحص: تتطلب نقطة الانعطاف تغيّر إشارة المشتقة الثانية فعلياً، وليس مجرد مساواتها بالصفر — تحقق دائماً من الإشارة على جانبي قيمة x المرشحة لتأكيد نقطة انعطاف حقيقية.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى y = x³ − 3x² + 2، أوجد إحداثيات نقطة الانعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد y′ = 3x² − 6x وy″ = 6x − 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد y′ = 3x² − 6x وy″ = 6x − 6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع y″ = 0: 6x − 6 = 0، ما يعطي x = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التحقق من أنها نقطة انعطاف حقيقية، لأن y″ تغيّر إشارتها (من سالبة إلى موجبة) عند مرور x بالقيمة 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب y(1) = 1 − 3 + 2 = 0، ما يعطي نقطة الانعطاف (1, 0). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد y′ = 3x² − 6x وy″ = 6x − 6.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع y″ = 0: 6x − 6 = 0، ما يعطي x = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: التحقق من أنها نقطة انعطاف حقيقية، لأن y″ تغيّر إشارتها (من سالبة إلى موجبة) عند مرور x بالقيمة 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب y(1) = 1 − 3 + 2 = 0، ما يعطي نقطة الانعطاف (1, 0).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    تزداد مساحة بقعة نفطية دائرية بمعدل 8 m² s⁻¹. أوجد معدل ازدياد نصف القطر في اللحظة التي يكون فيها نصف القطر 5 m. (A = πr²)

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق A = πr² بالنسبة لـt، باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr(dr/dt). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض dA/dt = 8 وr = 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل 8 = 10π(dr/dt). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على dr/dt ≈ 0.255 m s⁻¹. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تربط مسائل المعدلات المرتبطة دائماً بين كميتين تتغيران معاً مع الزمن عبر صيغة هندسية مشتركة — اشتق تلك الصيغة بالنسبة للزمن أولاً، ثم عوّض بالقيم اللحظية المعروفة.

    نقاط التصحيح

    • اشتقاق A = πr² بالنسبة لـt، باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr(dr/dt).
    • تعويض dA/dt = 8 وr = 5.
    • الحل 8 = 10π(dr/dt).
    • الحصول على dr/dt ≈ 0.255 m s⁻¹.

    ملاحظة الفاحص: تربط مسائل المعدلات المرتبطة دائماً بين كميتين تتغيران معاً مع الزمن عبر صيغة هندسية مشتركة — اشتق تلك الصيغة بالنسبة للزمن أولاً، ثم عوّض بالقيم اللحظية المعروفة.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تزداد مساحة بقعة نفطية دائرية بمعدل 8 m² s⁻¹. أوجد معدل ازدياد نصف القطر في اللحظة التي يكون فيها نصف القطر 5 m. (A = πr²)» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق A = πr² بالنسبة لـt، باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق A = πr² بالنسبة لـt، باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr(dr/dt). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض dA/dt = 8 وr = 5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحل 8 = 10π(dr/dt). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على dr/dt ≈ 0.255 m s⁻¹. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق A = πr² بالنسبة لـt، باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr(dr/dt).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض dA/dt = 8 وr = 5.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل 8 = 10π(dr/dt).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على dr/dt ≈ 0.255 m s⁻¹.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

31. 31.

    للدالة f(x) = x^2 e^(-x) حيث x حقيقي، أوجد النقطتين الساكنتين وصنّف كلاً منهما باستخدام إشارة المشتقة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. طبّق قاعدة الضرب. لا يغير العامل الأسي إشارته لذا يعتمد جدول الإشارة فقط على x(2 - x).
    2. الإشارات على (-infinity,0) و(0,2) و(2,infinity) سالبة ثم موجبة ثم سالبة. عوّض في الدالة الأصلية لا المشتقة لإيجاد الإحداثيات.

    نقاط التصحيح

    • f'(x) = e^(-x)(2x - x^2) = e^(-x)x(2 - x).
    • المدخلان الساكنان x = 0 وx = 2 لأن e^(-x) موجبة.
    • النقطتان (0,0) و(2,4/e^2).
    • تتغير المشتقة من سالبة إلى موجبة عند 0: صغرى محلية.
    • تتغير المشتقة من موجبة إلى سالبة عند 2: عظمى محلية.

    ملاحظة الفاحص: يحدد انعدام المشتقة نقطة مرشحة، ويحدد تغير إشارتها النوع.

32. 32.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة f(x) = x^2 e^(-x) حيث x حقيقي، أوجد النقطتين الساكنتين وصنّف كلاً منهما باستخدام إشارة المشتقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «f'(x) = e^(-x)(2x - x^2) = e^(-x)x(2 - x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: f'(x) = e^(-x)(2x - x^2) = e^(-x)x(2 - x). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: المدخلان الساكنان x = 0 وx = 2 لأن e^(-x) موجبة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: النقطتان (0,0) و(2,4/e^2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تتغير المشتقة من سالبة إلى موجبة عند 0: صغرى محلية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: تتغير المشتقة من موجبة إلى سالبة عند 2: عظمى محلية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: f'(x) = e^(-x)(2x - x^2) = e^(-x)x(2 - x).
    • يحدد المتطلب الناقص: المدخلان الساكنان x = 0 وx = 2 لأن e^(-x) موجبة.
    • يحدد المتطلب الناقص: النقطتان (0,0) و(2,4/e^2).
    • يحدد المتطلب الناقص: تتغير المشتقة من سالبة إلى موجبة عند 0: صغرى محلية.
    • يحدد المتطلب الناقص: تتغير المشتقة من موجبة إلى سالبة عند 2: عظمى محلية.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

33. 33.

    أوجد تقاطعي y = 2x وy = x^2 ثم احسب المساحة المحصورة الدقيقة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. تعطي مدخلات التقاطع حدود التكامل. يحدد اختبار x = 1 أي المنحنيين أعلى.
    2. كامل الأعلى ناقص الأدنى لتكون المساحة موجبة؛ عوّض الحدين في الدالة الأصلية للتكامل.

    نقاط التصحيح

    • تعطي x^2 = 2x القيمتين x = 0 وx = 2 عند (0,0) و(2,4).
    • على 0 < x < 2 يقع المستقيم فوق القطع المكافئ.
    • المساحة = تكامل (2x - x^2) من 0 إلى 2 = [x^2 - x^3/3] من 0 إلى 2.
    • المساحة = 4/3 وحدة مربعة.

    ملاحظة الفاحص: تكامل منحنى واحد يعطي مساحته مع المحور وليس المساحة بين المنحنيين.

34. 34.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد تقاطعي y = 2x وy = x^2 ثم احسب المساحة المحصورة الدقيقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعطي x^2 = 2x القيمتين x = 0 وx = 2 عند (0,0) و(2,4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تعطي x^2 = 2x القيمتين x = 0 وx = 2 عند (0,0) و(2,4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: على 0 < x < 2 يقع المستقيم فوق القطع المكافئ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: المساحة = تكامل (2x - x^2) من 0 إلى 2 = [x^2 - x^3/3] من 0 إلى 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: المساحة = 4/3 وحدة مربعة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تعطي x^2 = 2x القيمتين x = 0 وx = 2 عند (0,0) و(2,4).
    • يحدد المتطلب الناقص: على 0 < x < 2 يقع المستقيم فوق القطع المكافئ.
    • يحدد المتطلب الناقص: المساحة = تكامل (2x - x^2) من 0 إلى 2 = [x^2 - x^3/3] من 0 إلى 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: المساحة = 4/3 وحدة مربعة.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

35. 35.

    أوجد مماس y = ln x عند x = e. أثبت ln x <= x/e لكل x > 0 وحدّد حالة المساواة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. معادلة المماس وحدها لا تثبت المتباينة. اطرح المنحنى من المستقيم وادرس الفرق على المجال كله.
    2. ينخفض الفرق إلى الصفر ثم يرتفع. وهذا يثبت أن أي مدخل موجب لا يضع اللوغاريتم فوق المماس.

    نقاط التصحيح

    • عند x = e يكون y = 1 وdy/dx = 1/e.
    • المماس: y - 1 = (x - e)/e أي y = x/e.
    • لتكن g(x) = x/e - ln x؛ مشتقتها g'(x) = 1/e - 1/x.
    • g' سالبة على (0,e) وموجبة على (e,infinity)، لذا لـg صغرى كلية عند e.
    • g(e) = 0، لذا g(x) >= 0 والمساواة فقط عند x = e.

    ملاحظة الفاحص: اختبار المشتقة الثانية محلياً وحده لا يثبت متباينة كلية.

36. 36.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مماس y = ln x عند x = e. أثبت ln x <= x/e لكل x > 0 وحدّد حالة المساواة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «عند x = e يكون y = 1 وdy/dx = 1/e.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: عند x = e يكون y = 1 وdy/dx = 1/e. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: المماس: y - 1 = (x - e)/e أي y = x/e. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: لتكن g(x) = x/e - ln x؛ مشتقتها g'(x) = 1/e - 1/x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: g' سالبة على (0,e) وموجبة على (e,infinity)، لذا لـg صغرى كلية عند e. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: g(e) = 0، لذا g(x) >= 0 والمساواة فقط عند x = e. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: عند x = e يكون y = 1 وdy/dx = 1/e.
    • يحدد المتطلب الناقص: المماس: y - 1 = (x - e)/e أي y = x/e.
    • يحدد المتطلب الناقص: لتكن g(x) = x/e - ln x؛ مشتقتها g'(x) = 1/e - 1/x.
    • يحدد المتطلب الناقص: g' سالبة على (0,e) وموجبة على (e,infinity)، لذا لـg صغرى كلية عند e.
    • يحدد المتطلب الناقص: g(e) = 0، لذا g(x) >= 0 والمساواة فقط عند x = e.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

37. 37.

    f(x) = x^3 - 3kx حيث k > 0. الفرق الرأسي بين العظمى المحلية والصغرى المحلية 32. حدّد k.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. استخدم شرط النقاط الساكنة للتعبير عن المدخلين بدلالة k قبل التعويض في الدالة التكعيبية.
    2. عند k = 4 النقطتان (-2,16) و(2,-16)، فتؤكدان فرقاً رأسياً 32 وليس فرقاً أفقياً.

    نقاط التصحيح

    • f'(x) = 3x^2 - 3k، لذا المدخلان الساكنان +/-sqrt(k).
    • تحدد f''(x) = 6x أن -sqrt(k) للعظمى و+sqrt(k) للصغرى.
    • قيمتاهما 2k^(3/2) و-2k^(3/2).
    • الفرق الرأسي = 4k^(3/2) = 32.
    • k^(3/2) = 8، إذن k = 4.

    ملاحظة الفاحص: يستخدم الفرق الرأسي قيم الدالة؛ طرح إحداثيات x يجيب عن سؤال آخر.

38. 38.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «f(x) = x^3 - 3kx حيث k > 0. الفرق الرأسي بين العظمى المحلية والصغرى المحلية 32. حدّد k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «f'(x) = 3x^2 - 3k، لذا المدخلان الساكنان +/-sqrt(k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: f'(x) = 3x^2 - 3k، لذا المدخلان الساكنان +/-sqrt(k). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحدد f''(x) = 6x أن -sqrt(k) للعظمى و+sqrt(k) للصغرى. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: قيمتاهما 2k^(3/2) و-2k^(3/2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الفرق الرأسي = 4k^(3/2) = 32. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: k^(3/2) = 8، إذن k = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: f'(x) = 3x^2 - 3k، لذا المدخلان الساكنان +/-sqrt(k).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحدد f''(x) = 6x أن -sqrt(k) للعظمى و+sqrt(k) للصغرى.
    • يحدد المتطلب الناقص: قيمتاهما 2k^(3/2) و-2k^(3/2).
    • يحدد المتطلب الناقص: الفرق الرأسي = 4k^(3/2) = 32.
    • يحدد المتطلب الناقص: k^(3/2) = 8، إذن k = 4.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

39. 39.

    تُنمذج الحرارة بـT(t) = 20 + 60e^(-0.15t)، حيث t بالدقائق من بدء التبريد. أوجد أول وقت تبلغ فيه 35 درجة ومعدل التغير الابتدائي، وهل تبلغ 20 درجة في زمن منتهٍ وفق النموذج.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. اطرح حرارة المحيط قبل أخذ اللوغاريتم. النموذج متناقص تماماً عندما t >= 0 لذا يكون هذا التقاطع وحيداً.
    2. تعني المشتقة الابتدائية السالبة التبريد. والأسية موجبة دائماً فتقترب من حرارة المحيط دون بلوغها تماماً في زمن منتهٍ.

    نقاط التصحيح

    • تعطي 35 = 20 + 60e^(-0.15t) العلاقة e^(-0.15t) = 1/4.
    • t = ln(4)/0.15 = 9.24 دقيقة بثلاثة أرقام معنوية.
    • T'(t) = -9e^(-0.15t).
    • T'(0) = -9 درجات في الدقيقة.
    • تؤول T إلى 20 لكنها تبقى أكبر من 20 لكل t >= 0 منتهٍ.

    ملاحظة الفاحص: المقارب الأفقي حرارة حدية وليست قراءة نهائية تبلغها الدالة في هذا النموذج.

40. 40.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج الحرارة بـT(t) = 20 + 60e^(-0.15t)، حيث t بالدقائق من بدء التبريد. أوجد أول وقت تبلغ فيه 35 درجة ومعدل التغير الابتدائي، وهل تبلغ 20 درجة في زمن منتهٍ وفق النموذج.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعطي 35 = 20 + 60e^(-0.15t) العلاقة e^(-0.15t) = 1/4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تعطي 35 = 20 + 60e^(-0.15t) العلاقة e^(-0.15t) = 1/4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: t = ln(4)/0.15 = 9.24 دقيقة بثلاثة أرقام معنوية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: T'(t) = -9e^(-0.15t). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: T'(0) = -9 درجات في الدقيقة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: تؤول T إلى 20 لكنها تبقى أكبر من 20 لكل t >= 0 منتهٍ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تعطي 35 = 20 + 60e^(-0.15t) العلاقة e^(-0.15t) = 1/4.
    • يحدد المتطلب الناقص: t = ln(4)/0.15 = 9.24 دقيقة بثلاثة أرقام معنوية.
    • يحدد المتطلب الناقص: T'(t) = -9e^(-0.15t).
    • يحدد المتطلب الناقص: T'(0) = -9 درجات في الدقيقة.
    • يحدد المتطلب الناقص: تؤول T إلى 20 لكنها تبقى أكبر من 20 لكل t >= 0 منتهٍ.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.