الرياضيات AA: المستوى العادي
الأعداد والجبر — الموضوع 1
- 1.
لمتتالية حسابية حدها الأول 5 وأساسها 3. أوجد الحد العشرين ومجموع أول 20 حداً.
[4 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتتالية حسابية حدها الأول 5 وأساسها 3. أوجد الحد العشرين ومجموع أول 20 حداً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام uₙ = u₁ + (n − 1)d.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 3.
لمتتالية هندسية حدها الأول 8 وأساسها 1.5. أوجد الحد السادس وحدد ما إذا كانت المتتالية متقاربة.
[4 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتتالية هندسية حدها الأول 8 وأساسها 1.5. أوجد الحد السادس وحدد ما إذا كانت المتتالية متقاربة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام uₙ = u₁rⁿ⁻¹.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 5.
أوجد مجموع المتسلسلة الهندسية 12 + 6 + 3 + 1.5 + ... إلى ما لا نهاية.
[4 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مجموع المتسلسلة الهندسية 12 + 6 + 3 + 1.5 + ... إلى ما لا نهاية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد الأساس r = 0.5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 7.
أوجد الحد المستقل عن x في مفكوك ذات الحدين (2x + 1/x)⁶.
[5 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الحد المستقل عن x في مفكوك ذات الحدين (2x + 1/x)⁶.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحد العام ₆Cᵣ(2x)⁶⁻ʳ(1/x)ʳ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 9.
حل من أجل x: log₃(x) = 2 log₃(5) − log₃(4).
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل من أجل x: log₃(x) = 2 log₃(5) − log₃(4).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون الأس: 2 log₃(5) = log₃(25).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 11.
يُستثمر مبلغ 3000 دولار بمعدل فائدة سنوي اسمي 6%، مركّبة شهرياً. أوجد قيمة الاستثمار بعد 4 سنوات.
[4 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُستثمر مبلغ 3000 دولار بمعدل فائدة سنوي اسمي 6%، مركّبة شهرياً. أوجد قيمة الاستثمار بعد 4 سنوات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الفائدة المركبة FV = PV(1 + r/n)^(nt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 13.
مجموع أول n حداً لمتتالية حسابية معطى بالصيغة Sₙ = n² + 3n. أوجد الحد الأول وأساس المتتالية.
[5 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «مجموع أول n حداً لمتتالية حسابية معطى بالصيغة Sₙ = n² + 3n. أوجد الحد الأول وأساس المتتالية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الحد الأول باستخدام u₁ = S₁ = 1 + 3 = 4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 15.
بسّط (2⁵ × 2⁻²)/2³ دون استخدام آلة حاسبة، مع كتابة الإجابة كقوة واحدة للعدد 2.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بسّط (2⁵ × 2⁻²)/2³ دون استخدام آلة حاسبة، مع كتابة الإجابة كقوة واحدة للعدد 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «دمج البسط باستخدام قانون الضرب: 2⁵⁻² = 2³.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 17.
استخدم البرهان بالاستقراء لإثبات أن 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 لكل عدد صحيح موجب n. بيّن حالة الأساس وخطوة الاستقراء.
[6 درجة] · بدون آلة حاسبة - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم البرهان بالاستقراء لإثبات أن 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 لكل عدد صحيح موجب n. بيّن حالة الأساس وخطوة الاستقراء.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة حالة الأساس n = 1: الطرف الأيسر = 1، والطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فتتحقق العبارة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] · بدون آلة حاسبة - 19.
الحدود الثلاثة الأولى لمتتالية حسابية هي 2k وk + 8 و3k − 4. أوجد قيمة k.
[4 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «الحدود الثلاثة الأولى لمتتالية حسابية هي 2k وk + 8 و3k − 4. أوجد قيمة k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام خاصية ثبات الأساس: (k + 8) − 2k = (3k − 4) − (k + 8).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 21.
يزداد راتب عامل بمقدار 500 دولار كل عام، بدءاً من 30000 دولار في السنة الأولى. احسب إجمالي أرباح العامل خلال أول 10 سنوات من العمل.
[4 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يزداد راتب عامل بمقدار 500 دولار كل عام، بدءاً من 30000 دولار في السنة الأولى. احسب إجمالي أرباح العامل خلال أول 10 سنوات من العمل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن هذه متتالية حسابية بـ u₁ = 30000 وd = 500.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 23.
أوجد مجموع أول 8 حدود من المتسلسلة الهندسية 3 + 6 + 12 + 24 + ...
[4 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مجموع أول 8 حدود من المتسلسلة الهندسية 3 + 6 + 12 + 24 + ...» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد u₁ = 3 وr = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 25.
بسّط 8^(2/3) × 8^(−1/3) دون استخدام آلة حاسبة، مع كتابة الإجابة كعدد صحيح.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بسّط 8^(2/3) × 8^(−1/3) دون استخدام آلة حاسبة، مع كتابة الإجابة كعدد صحيح.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 27.
وسّع (x − 2)⁴ بالكامل، مع كتابة الإجابة بالصورة ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «وسّع (x − 2)⁴ بالكامل، مع كتابة الإجابة بالصورة ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحد العام للمفكوك: ⁴Cᵣ x⁴⁻ʳ(−2)ʳ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 29.
اكتب المتسلسلة 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 29 باستخدام رمز سيجما، ومن ثم احسب مجموعها.
[5 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اكتب المتسلسلة 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 29 باستخدام رمز سيجما، ومن ثم احسب مجموعها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن المتسلسلة حسابية بحد أول 2 وأساس 3، ما يعطي الحد العام 3n − 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 31.
الحد الأول لمتتالية هندسية 6 وأساسها 0.8. أوجد مجموع أول أربعة حدود والمجموع إلى ما لا نهاية واشرح سبب وجود الأخير.
[3 درجة] - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «الحد الأول لمتتالية هندسية 6 وأساسها 0.8. أوجد مجموع أول أربعة حدود والمجموع إلى ما لا نهاية واشرح سبب وجود الأخير.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «S4 = 6(1 - 0.8^4)/(1 - 0.8) = 17.712.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]