الرياضيات AA: المستوى العادي

1. 1.

   لمتتالية حسابية حدها الأول 5 وأساسها 3. أوجد الحد العشرين ومجموع أول 20 حداً.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام uₙ = u₁ + (n − 1)d. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على u₂₀ = 5 + 19(3) = 62. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام Sₙ = n/2(u₁ + uₙ). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على S₂₀ = 10(5 + 62) = 670. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بعد إيجاد الحد الأخير المطلوب، تكون صيغة المجموع باستخدام الحدين الأول والأخير أسرع عادة من الصيغة البديلة.

   نقاط التصحيح

   • استخدام uₙ = u₁ + (n − 1)d.
   • الحصول على u₂₀ = 5 + 19(3) = 62.
   • استخدام Sₙ = n/2(u₁ + uₙ).
   • الحصول على S₂₀ = 10(5 + 62) = 670.

   ملاحظة الفاحص: بعد إيجاد الحد الأخير المطلوب، تكون صيغة المجموع باستخدام الحدين الأول والأخير أسرع عادة من الصيغة البديلة.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتتالية حسابية حدها الأول 5 وأساسها 3. أوجد الحد العشرين ومجموع أول 20 حداً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام uₙ = u₁ + (n − 1)d.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام uₙ = u₁ + (n − 1)d. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على u₂₀ = 5 + 19(3) = 62. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام Sₙ = n/2(u₁ + uₙ). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على S₂₀ = 10(5 + 62) = 670. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام uₙ = u₁ + (n − 1)d.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على u₂₀ = 5 + 19(3) = 62.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام Sₙ = n/2(u₁ + uₙ).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على S₂₀ = 10(5 + 62) = 670.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   لمتتالية هندسية حدها الأول 8 وأساسها 1.5. أوجد الحد السادس وحدد ما إذا كانت المتتالية متقاربة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام uₙ = u₁rⁿ⁻¹. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على u₆ = 8(1.5)⁵ ≈ 60.75. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح شرط التقارب |r| < 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستنتاج أن المتتالية متباعدة لأن |1.5| > 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يكون للمتتالية الهندسية مجموع منته إلى ما لا نهاية فقط عندما |r| < 1؛ تحقق من ذلك قبل محاولة هذا الحساب.

   نقاط التصحيح

   • استخدام uₙ = u₁rⁿ⁻¹.
   • الحصول على u₆ = 8(1.5)⁵ ≈ 60.75.
   • توضيح شرط التقارب |r| < 1.
   • الاستنتاج أن المتتالية متباعدة لأن |1.5| > 1.

   ملاحظة الفاحص: يكون للمتتالية الهندسية مجموع منته إلى ما لا نهاية فقط عندما |r| < 1؛ تحقق من ذلك قبل محاولة هذا الحساب.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتتالية هندسية حدها الأول 8 وأساسها 1.5. أوجد الحد السادس وحدد ما إذا كانت المتتالية متقاربة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام uₙ = u₁rⁿ⁻¹.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام uₙ = u₁rⁿ⁻¹. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على u₆ = 8(1.5)⁵ ≈ 60.75. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: توضيح شرط التقارب |r| < 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أن المتتالية متباعدة لأن |1.5| > 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام uₙ = u₁rⁿ⁻¹.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على u₆ = 8(1.5)⁵ ≈ 60.75.
   • يحدد المتطلب الناقص: توضيح شرط التقارب |r| < 1.
   • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أن المتتالية متباعدة لأن |1.5| > 1.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   أوجد مجموع المتسلسلة الهندسية 12 + 6 + 3 + 1.5 + ... إلى ما لا نهاية.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الأساس r = 0.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التأكد من |r| < 1، لذا يوجد مجموع إلى ما لا نهاية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام S∞ = u₁/(1 − r). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على S∞ = 12/0.5 = 24. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحقق دائماً من شرط التقارب قبل تطبيق صيغة المجموع إلى ما لا نهاية، وليس فقط عند الطلب الصريح.

   نقاط التصحيح

   • تحديد الأساس r = 0.5.
   • التأكد من |r| < 1، لذا يوجد مجموع إلى ما لا نهاية.
   • استخدام S∞ = u₁/(1 − r).
   • الحصول على S∞ = 12/0.5 = 24.

   ملاحظة الفاحص: تحقق دائماً من شرط التقارب قبل تطبيق صيغة المجموع إلى ما لا نهاية، وليس فقط عند الطلب الصريح.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مجموع المتسلسلة الهندسية 12 + 6 + 3 + 1.5 + ... إلى ما لا نهاية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد الأساس r = 0.5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد الأساس r = 0.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التأكد من |r| < 1، لذا يوجد مجموع إلى ما لا نهاية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام S∞ = u₁/(1 − r). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على S∞ = 12/0.5 = 24. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد الأساس r = 0.5.
   • يحدد المتطلب الناقص: التأكد من |r| < 1، لذا يوجد مجموع إلى ما لا نهاية.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام S∞ = u₁/(1 − r).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على S∞ = 12/0.5 = 24.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   أوجد الحد المستقل عن x في مفكوك ذات الحدين (2x + 1/x)⁶.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحد العام ₆Cᵣ(2x)⁶⁻ʳ(1/x)ʳ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط أس x إلى x⁶⁻²ʳ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع 6 − 2r = 0 لإيجاد الحد المستقل عن x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على r = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الحد: ₆C₃(2)³ = 20 × 8 = 160. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ساوِ أس x بالصفر لتحديد الحد المستقل قبل حساب قيمته العددية.

   نقاط التصحيح

   • كتابة الحد العام ₆Cᵣ(2x)⁶⁻ʳ(1/x)ʳ.
   • تبسيط أس x إلى x⁶⁻²ʳ.
   • وضع 6 − 2r = 0 لإيجاد الحد المستقل عن x.
   • الحصول على r = 3.
   • حساب الحد: ₆C₃(2)³ = 20 × 8 = 160.

   ملاحظة الفاحص: ساوِ أس x بالصفر لتحديد الحد المستقل قبل حساب قيمته العددية.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الحد المستقل عن x في مفكوك ذات الحدين (2x + 1/x)⁶.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحد العام ₆Cᵣ(2x)⁶⁻ʳ(1/x)ʳ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحد العام ₆Cᵣ(2x)⁶⁻ʳ(1/x)ʳ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط أس x إلى x⁶⁻²ʳ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: وضع 6 − 2r = 0 لإيجاد الحد المستقل عن x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على r = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: حساب الحد: ₆C₃(2)³ = 20 × 8 = 160. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحد العام ₆Cᵣ(2x)⁶⁻ʳ(1/x)ʳ.
   • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط أس x إلى x⁶⁻²ʳ.
   • يحدد المتطلب الناقص: وضع 6 − 2r = 0 لإيجاد الحد المستقل عن x.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على r = 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب الحد: ₆C₃(2)³ = 20 × 8 = 160.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   حل من أجل x: log₃(x) = 2 log₃(5) − log₃(4).

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون الأس: 2 log₃(5) = log₃(25). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون القسمة: log₃(25) − log₃(4) = log₃(25/4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة log₃(x) = log₃(25/4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد x = 25/4 = 6.25. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اجمع الطرف الأيمن في لوغاريتم واحد قبل مساواة الوسيطتين؛ لا تُساوِ المعاملات مباشرة.

   نقاط التصحيح

   • استخدام قانون الأس: 2 log₃(5) = log₃(25).
   • استخدام قانون القسمة: log₃(25) − log₃(4) = log₃(25/4).
   • مساواة log₃(x) = log₃(25/4).
   • تحديد x = 25/4 = 6.25.

   ملاحظة الفاحص: اجمع الطرف الأيمن في لوغاريتم واحد قبل مساواة الوسيطتين؛ لا تُساوِ المعاملات مباشرة.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل من أجل x: log₃(x) = 2 log₃(5) − log₃(4).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون الأس: 2 log₃(5) = log₃(25).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون الأس: 2 log₃(5) = log₃(25). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام قانون القسمة: log₃(25) − log₃(4) = log₃(25/4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: مساواة log₃(x) = log₃(25/4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تحديد x = 25/4 = 6.25. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون الأس: 2 log₃(5) = log₃(25).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام قانون القسمة: log₃(25) − log₃(4) = log₃(25/4).
    • يحدد المتطلب الناقص: مساواة log₃(x) = log₃(25/4).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد x = 25/4 = 6.25.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    يُستثمر مبلغ 3000 دولار بمعدل فائدة سنوي اسمي 6%، مركّبة شهرياً. أوجد قيمة الاستثمار بعد 4 سنوات.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام صيغة الفائدة المركبة FV = PV(1 + r/n)^(nt). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض PV = 3000، r = 0.06، n = 12، t = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب (1 + 0.06/12)^48 ≈ 1.2705. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على FV ≈ 3811.47 دولاراً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يجب تعديل معدل الفائدة والزمن كلاهما ليتوافقا مع فترة التركيب (شهرياً هنا)، وعدم تركهما بصيغتهما السنوية.

    نقاط التصحيح

    • استخدام صيغة الفائدة المركبة FV = PV(1 + r/n)^(nt).
    • تعويض PV = 3000، r = 0.06، n = 12، t = 4.
    • حساب (1 + 0.06/12)^48 ≈ 1.2705.
    • الحصول على FV ≈ 3811.47 دولاراً.

    ملاحظة الفاحص: يجب تعديل معدل الفائدة والزمن كلاهما ليتوافقا مع فترة التركيب (شهرياً هنا)، وعدم تركهما بصيغتهما السنوية.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُستثمر مبلغ 3000 دولار بمعدل فائدة سنوي اسمي 6%، مركّبة شهرياً. أوجد قيمة الاستثمار بعد 4 سنوات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الفائدة المركبة FV = PV(1 + r/n)^(nt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة الفائدة المركبة FV = PV(1 + r/n)^(nt). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض PV = 3000، r = 0.06، n = 12، t = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب (1 + 0.06/12)^48 ≈ 1.2705. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على FV ≈ 3811.47 دولاراً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة الفائدة المركبة FV = PV(1 + r/n)^(nt).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض PV = 3000، r = 0.06، n = 12، t = 4.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب (1 + 0.06/12)^48 ≈ 1.2705.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على FV ≈ 3811.47 دولاراً.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    مجموع أول n حداً لمتتالية حسابية معطى بالصيغة Sₙ = n² + 3n. أوجد الحد الأول وأساس المتتالية.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد الحد الأول باستخدام u₁ = S₁ = 1 + 3 = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد S₂ = 4 + 6 = 10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب u₂ = S₂ − S₁ = 10 − 4 = 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الأساس d = u₂ − u₁ = 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الحد الأول 4 والأساس 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يمكن استرجاع حد من حدود متتالية من دالة مجموعها باستخدام uₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ عندما n ≥ 2.

    نقاط التصحيح

    • إيجاد الحد الأول باستخدام u₁ = S₁ = 1 + 3 = 4.
    • إيجاد S₂ = 4 + 6 = 10.
    • حساب u₂ = S₂ − S₁ = 10 − 4 = 6.
    • حساب الأساس d = u₂ − u₁ = 2.
    • تحديد الحد الأول 4 والأساس 2.

    ملاحظة الفاحص: يمكن استرجاع حد من حدود متتالية من دالة مجموعها باستخدام uₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ عندما n ≥ 2.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «مجموع أول n حداً لمتتالية حسابية معطى بالصيغة Sₙ = n² + 3n. أوجد الحد الأول وأساس المتتالية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الحد الأول باستخدام u₁ = S₁ = 1 + 3 = 4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد الحد الأول باستخدام u₁ = S₁ = 1 + 3 = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد S₂ = 4 + 6 = 10. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب u₂ = S₂ − S₁ = 10 − 4 = 6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب الأساس d = u₂ − u₁ = 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: تحديد الحد الأول 4 والأساس 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد الحد الأول باستخدام u₁ = S₁ = 1 + 3 = 4.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد S₂ = 4 + 6 = 10.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب u₂ = S₂ − S₁ = 10 − 4 = 6.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الأساس d = u₂ − u₁ = 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الحد الأول 4 والأساس 2.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    بسّط (2⁵ × 2⁻²)/2³ دون استخدام آلة حاسبة، مع كتابة الإجابة كقوة واحدة للعدد 2.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. حافظ على تكافؤ كل تعبير مع سابقه. فك الأقواس مع الحفاظ على الإشارات، واجمع الحدود المتشابهة فقط أو أخرج العامل المشترك وفق المطلوب. تحقق من النتيجة بفك العوامل أو التعويض بقيمة مسموحة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: دمج البسط باستخدام قانون الضرب: 2⁵⁻² = 2³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تطبيق قانون القسمة: 2³ ÷ 2³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الناتج 2⁰ = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بسّط بالكامل إلى قوة واحدة للعدد 2 قبل الحساب؛ قد يفقد ترك الإجابة 2⁰ بدلاً من 1 الدرجة الأخيرة حسب فعل السؤال.

    نقاط التصحيح

    • دمج البسط باستخدام قانون الضرب: 2⁵⁻² = 2³.
    • تطبيق قانون القسمة: 2³ ÷ 2³.
    • كتابة الناتج 2⁰ = 1.

    ملاحظة الفاحص: بسّط بالكامل إلى قوة واحدة للعدد 2 قبل الحساب؛ قد يفقد ترك الإجابة 2⁰ بدلاً من 1 الدرجة الأخيرة حسب فعل السؤال.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بسّط (2⁵ × 2⁻²)/2³ دون استخدام آلة حاسبة، مع كتابة الإجابة كقوة واحدة للعدد 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «دمج البسط باستخدام قانون الضرب: 2⁵⁻² = 2³.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: دمج البسط باستخدام قانون الضرب: 2⁵⁻² = 2³. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تطبيق قانون القسمة: 2³ ÷ 2³. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الناتج 2⁰ = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: دمج البسط باستخدام قانون الضرب: 2⁵⁻² = 2³.
    • يحدد المتطلب الناقص: تطبيق قانون القسمة: 2³ ÷ 2³.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الناتج 2⁰ = 1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    استخدم البرهان بالاستقراء لإثبات أن 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 لكل عدد صحيح موجب n. بيّن حالة الأساس وخطوة الاستقراء.

    [6 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة حالة الأساس n = 1: الطرف الأيسر = 1، والطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فتتحقق العبارة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة فرضية الاستقراء: افترض صحتها عند n = k، أي 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إضافة (k + 1) إلى الطرفين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط الطرف الأيمن إلى k(k+1)/2 + (k+1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحليل للحصول على (k+1)(k+2)/2، مطابقاً للصيغة المطلوبة عند n = k+1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستنتاج أنه بما أن العبارة تتحقق عند n = 1 وأن صحتها عند n = k تستلزم صحتها عند n = k+1، فهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب n بالاستقراء. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يتطلب برهان الاستقراء الكامل أربعة أجزاء: حالة الأساس، والفرضية، وخطوة الاستقراء، وعبارة ختامية — يفقد إغفال الخاتمة درجات حتى مع جبر صحيح.

    نقاط التصحيح

    • كتابة حالة الأساس n = 1: الطرف الأيسر = 1، والطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فتتحقق العبارة.
    • كتابة فرضية الاستقراء: افترض صحتها عند n = k، أي 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2.
    • إضافة (k + 1) إلى الطرفين.
    • تبسيط الطرف الأيمن إلى k(k+1)/2 + (k+1).
    • التحليل للحصول على (k+1)(k+2)/2، مطابقاً للصيغة المطلوبة عند n = k+1.
    • الاستنتاج أنه بما أن العبارة تتحقق عند n = 1 وأن صحتها عند n = k تستلزم صحتها عند n = k+1، فهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب n بالاستقراء.

    ملاحظة الفاحص: يتطلب برهان الاستقراء الكامل أربعة أجزاء: حالة الأساس، والفرضية، وخطوة الاستقراء، وعبارة ختامية — يفقد إغفال الخاتمة درجات حتى مع جبر صحيح.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم البرهان بالاستقراء لإثبات أن 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 لكل عدد صحيح موجب n. بيّن حالة الأساس وخطوة الاستقراء.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة حالة الأساس n = 1: الطرف الأيسر = 1، والطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فتتحقق العبارة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة حالة الأساس n = 1: الطرف الأيسر = 1، والطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فتتحقق العبارة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: كتابة فرضية الاستقراء: افترض صحتها عند n = k، أي 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: إضافة (k + 1) إلى الطرفين. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الطرف الأيمن إلى k(k+1)/2 + (k+1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: التحليل للحصول على (k+1)(k+2)/2، مطابقاً للصيغة المطلوبة عند n = k+1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أنه بما أن العبارة تتحقق عند n = 1 وأن صحتها عند n = k تستلزم صحتها عند n = k+1، فهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب n بالاستقراء. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة حالة الأساس n = 1: الطرف الأيسر = 1، والطرف الأيمن = 1(2)/2 = 1، فتتحقق العبارة.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة فرضية الاستقراء: افترض صحتها عند n = k، أي 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2.
    • يحدد المتطلب الناقص: إضافة (k + 1) إلى الطرفين.
    • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الطرف الأيمن إلى k(k+1)/2 + (k+1).
    • يحدد المتطلب الناقص: التحليل للحصول على (k+1)(k+2)/2، مطابقاً للصيغة المطلوبة عند n = k+1.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أنه بما أن العبارة تتحقق عند n = 1 وأن صحتها عند n = k تستلزم صحتها عند n = k+1، فهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب n بالاستقراء.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    الحدود الثلاثة الأولى لمتتالية حسابية هي 2k وk + 8 و3k − 4. أوجد قيمة k.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام خاصية ثبات الأساس: (k + 8) − 2k = (3k − 4) − (k + 8). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط الطرف الأيسر إلى 8 − k. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط الطرف الأيمن إلى 2k − 12. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل 8 − k = 2k − 12 للحصول على k = 20/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: في المتتالية الحسابية، يجب أن يكون الفرق بين أي حدين متتاليين متساوياً؛ رتّب ذلك كمعادلة واحدة.

    نقاط التصحيح

    • استخدام خاصية ثبات الأساس: (k + 8) − 2k = (3k − 4) − (k + 8).
    • تبسيط الطرف الأيسر إلى 8 − k.
    • تبسيط الطرف الأيمن إلى 2k − 12.
    • حل 8 − k = 2k − 12 للحصول على k = 20/3.

    ملاحظة الفاحص: في المتتالية الحسابية، يجب أن يكون الفرق بين أي حدين متتاليين متساوياً؛ رتّب ذلك كمعادلة واحدة.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «الحدود الثلاثة الأولى لمتتالية حسابية هي 2k وk + 8 و3k − 4. أوجد قيمة k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام خاصية ثبات الأساس: (k + 8) − 2k = (3k − 4) − (k + 8).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام خاصية ثبات الأساس: (k + 8) − 2k = (3k − 4) − (k + 8). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الطرف الأيسر إلى 8 − k. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الطرف الأيمن إلى 2k − 12. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حل 8 − k = 2k − 12 للحصول على k = 20/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام خاصية ثبات الأساس: (k + 8) − 2k = (3k − 4) − (k + 8).
    • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الطرف الأيسر إلى 8 − k.
    • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الطرف الأيمن إلى 2k − 12.
    • يحدد المتطلب الناقص: حل 8 − k = 2k − 12 للحصول على k = 20/3.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    يزداد راتب عامل بمقدار 500 دولار كل عام، بدءاً من 30000 دولار في السنة الأولى. احسب إجمالي أرباح العامل خلال أول 10 سنوات من العمل.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن هذه متتالية حسابية بـ u₁ = 30000 وd = 500. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام Sₙ = n/2(2u₁ + (n − 1)d). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض S₁₀ = 10/2(2(30000) + 9(500)). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على S₁₀ = 322500 دولاراً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: أي كمية واقعية تزداد (أو تنقص) بثبات بمقدار ثابت كل فترة هي دائماً متتالية حسابية — يتيح التعرف على هذا تطبيق صيغة المجموع القياسية مباشرة بدلاً من جمع الحدود واحداً تلو الآخر.

    نقاط التصحيح

    • تحديد أن هذه متتالية حسابية بـ u₁ = 30000 وd = 500.
    • استخدام Sₙ = n/2(2u₁ + (n − 1)d).
    • تعويض S₁₀ = 10/2(2(30000) + 9(500)).
    • الحصول على S₁₀ = 322500 دولاراً.

    ملاحظة الفاحص: أي كمية واقعية تزداد (أو تنقص) بثبات بمقدار ثابت كل فترة هي دائماً متتالية حسابية — يتيح التعرف على هذا تطبيق صيغة المجموع القياسية مباشرة بدلاً من جمع الحدود واحداً تلو الآخر.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يزداد راتب عامل بمقدار 500 دولار كل عام، بدءاً من 30000 دولار في السنة الأولى. احسب إجمالي أرباح العامل خلال أول 10 سنوات من العمل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن هذه متتالية حسابية بـ u₁ = 30000 وd = 500.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن هذه متتالية حسابية بـ u₁ = 30000 وd = 500. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام Sₙ = n/2(2u₁ + (n − 1)d). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض S₁₀ = 10/2(2(30000) + 9(500)). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على S₁₀ = 322500 دولاراً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن هذه متتالية حسابية بـ u₁ = 30000 وd = 500.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام Sₙ = n/2(2u₁ + (n − 1)d).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض S₁₀ = 10/2(2(30000) + 9(500)).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على S₁₀ = 322500 دولاراً.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    أوجد مجموع أول 8 حدود من المتسلسلة الهندسية 3 + 6 + 12 + 24 + ...

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد u₁ = 3 وr = 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام Sₙ = u₁(rⁿ − 1)/(r − 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض S₈ = 3(2⁸ − 1)/(2 − 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على S₈ = 765. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: استخدم صيغة مجموع المتتالية الهندسية المنتهية Sₙ = u₁(rⁿ − 1)/(r − 1) كلما طُلب عدد محدد ومنته من الحدود — لا تنطبق صيغة المجموع اللانهائي إلا عندما |r| < 1 وتستمر المتسلسلة إلى الأبد.

    نقاط التصحيح

    • تحديد u₁ = 3 وr = 2.
    • استخدام Sₙ = u₁(rⁿ − 1)/(r − 1).
    • تعويض S₈ = 3(2⁸ − 1)/(2 − 1).
    • الحصول على S₈ = 765.

    ملاحظة الفاحص: استخدم صيغة مجموع المتتالية الهندسية المنتهية Sₙ = u₁(rⁿ − 1)/(r − 1) كلما طُلب عدد محدد ومنته من الحدود — لا تنطبق صيغة المجموع اللانهائي إلا عندما |r| < 1 وتستمر المتسلسلة إلى الأبد.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مجموع أول 8 حدود من المتسلسلة الهندسية 3 + 6 + 12 + 24 + ...» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد u₁ = 3 وr = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد u₁ = 3 وr = 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام Sₙ = u₁(rⁿ − 1)/(r − 1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض S₈ = 3(2⁸ − 1)/(2 − 1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على S₈ = 765. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد u₁ = 3 وr = 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام Sₙ = u₁(rⁿ − 1)/(r − 1).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض S₈ = 3(2⁸ − 1)/(2 − 1).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على S₈ = 765.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    بسّط 8^(2/3) × 8^(−1/3) دون استخدام آلة حاسبة، مع كتابة الإجابة كعدد صحيح.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. حافظ على تكافؤ كل تعبير مع سابقه. فك الأقواس مع الحفاظ على الإشارات، واجمع الحدود المتشابهة فقط أو أخرج العامل المشترك وفق المطلوب. تحقق من النتيجة بفك العوامل أو التعويض بقيمة مسموحة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط الأس: 2/3 − 1/3 = 1/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 8^(1/3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد القيمة 2، لأن 2³ = 8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يمثل الأس الكسري 1/n الجذر النوني — يتجنب التعرف على عدد كمكعب أو مربع كامل أو أي قوة أخرى الحاجة إلى آلة حاسبة كلياً.

    نقاط التصحيح

    • استخدام قانون aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
    • تبسيط الأس: 2/3 − 1/3 = 1/3.
    • الحصول على 8^(1/3).
    • تحديد القيمة 2، لأن 2³ = 8.

    ملاحظة الفاحص: يمثل الأس الكسري 1/n الجذر النوني — يتجنب التعرف على عدد كمكعب أو مربع كامل أو أي قوة أخرى الحاجة إلى آلة حاسبة كلياً.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بسّط 8^(2/3) × 8^(−1/3) دون استخدام آلة حاسبة، مع كتابة الإجابة كعدد صحيح.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الأس: 2/3 − 1/3 = 1/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على 8^(1/3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تحديد القيمة 2، لأن 2³ = 8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
    • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الأس: 2/3 − 1/3 = 1/3.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على 8^(1/3).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد القيمة 2، لأن 2³ = 8.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    وسّع (x − 2)⁴ بالكامل، مع كتابة الإجابة بالصورة ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. حافظ على تكافؤ كل تعبير مع سابقه. فك الأقواس مع الحفاظ على الإشارات، واجمع الحدود المتشابهة فقط أو أخرج العامل المشترك وفق المطلوب. تحقق من النتيجة بفك العوامل أو التعويض بقيمة مسموحة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحد العام للمفكوك: ⁴Cᵣ x⁴⁻ʳ(−2)ʳ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الحدين عند r = 0 وr = 1: x⁴ و4x³(−2) = −8x³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الحدين عند r = 2 وr = 3: 6x²(−2)² = 24x² و4x(−2)³ = −32x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الحد عند r = 4: (−2)⁴ = 16. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المفكوك الكامل x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتناوب إشارات الحدود كلما كان الحد الثاني لذات الحدين سالباً — تتبّع دائماً إشارة (−2)ʳ بعناية لكل قيمة لـ r.

    نقاط التصحيح

    • كتابة الحد العام للمفكوك: ⁴Cᵣ x⁴⁻ʳ(−2)ʳ.
    • حساب الحدين عند r = 0 وr = 1: x⁴ و4x³(−2) = −8x³.
    • حساب الحدين عند r = 2 وr = 3: 6x²(−2)² = 24x² و4x(−2)³ = −32x.
    • حساب الحد عند r = 4: (−2)⁴ = 16.
    • كتابة المفكوك الكامل x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16.

    ملاحظة الفاحص: تتناوب إشارات الحدود كلما كان الحد الثاني لذات الحدين سالباً — تتبّع دائماً إشارة (−2)ʳ بعناية لكل قيمة لـ r.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «وسّع (x − 2)⁴ بالكامل، مع كتابة الإجابة بالصورة ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحد العام للمفكوك: ⁴Cᵣ x⁴⁻ʳ(−2)ʳ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحد العام للمفكوك: ⁴Cᵣ x⁴⁻ʳ(−2)ʳ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب الحدين عند r = 0 وr = 1: x⁴ و4x³(−2) = −8x³. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب الحدين عند r = 2 وr = 3: 6x²(−2)² = 24x² و4x(−2)³ = −32x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب الحد عند r = 4: (−2)⁴ = 16. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة المفكوك الكامل x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحد العام للمفكوك: ⁴Cᵣ x⁴⁻ʳ(−2)ʳ.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الحدين عند r = 0 وr = 1: x⁴ و4x³(−2) = −8x³.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الحدين عند r = 2 وr = 3: 6x²(−2)² = 24x² و4x(−2)³ = −32x.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الحد عند r = 4: (−2)⁴ = 16.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة المفكوك الكامل x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    اكتب المتسلسلة 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 29 باستخدام رمز سيجما، ومن ثم احسب مجموعها.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن المتسلسلة حسابية بحد أول 2 وأساس 3، ما يعطي الحد العام 3n − 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد عدد الحدود بحل 3n − 1 = 29 للحصول على n = 10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة رمز سيجما Σₙ₌₁¹⁰ (3n − 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام Sₙ = n/2(2a + (n − 1)d) لتعويض S₁₀ = 10/2(2(2) + 9(3)). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على المجموع = 155. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لكتابة متسلسلة برمز سيجما، أوجد أولاً الحد العام كدالة في n، ثم أوجد مدى قيم n (البداية والنهاية) التي تُنتج كل حدود المتسلسلة.

    نقاط التصحيح

    • تحديد أن المتسلسلة حسابية بحد أول 2 وأساس 3، ما يعطي الحد العام 3n − 1.
    • إيجاد عدد الحدود بحل 3n − 1 = 29 للحصول على n = 10.
    • كتابة رمز سيجما Σₙ₌₁¹⁰ (3n − 1).
    • استخدام Sₙ = n/2(2a + (n − 1)d) لتعويض S₁₀ = 10/2(2(2) + 9(3)).
    • الحصول على المجموع = 155.

    ملاحظة الفاحص: لكتابة متسلسلة برمز سيجما، أوجد أولاً الحد العام كدالة في n، ثم أوجد مدى قيم n (البداية والنهاية) التي تُنتج كل حدود المتسلسلة.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اكتب المتسلسلة 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 29 باستخدام رمز سيجما، ومن ثم احسب مجموعها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن المتسلسلة حسابية بحد أول 2 وأساس 3، ما يعطي الحد العام 3n − 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن المتسلسلة حسابية بحد أول 2 وأساس 3، ما يعطي الحد العام 3n − 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد عدد الحدود بحل 3n − 1 = 29 للحصول على n = 10. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة رمز سيجما Σₙ₌₁¹⁰ (3n − 1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: استخدام Sₙ = n/2(2a + (n − 1)d) لتعويض S₁₀ = 10/2(2(2) + 9(3)). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على المجموع = 155. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن المتسلسلة حسابية بحد أول 2 وأساس 3، ما يعطي الحد العام 3n − 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد عدد الحدود بحل 3n − 1 = 29 للحصول على n = 10.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة رمز سيجما Σₙ₌₁¹⁰ (3n − 1).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام Sₙ = n/2(2a + (n − 1)d) لتعويض S₁₀ = 10/2(2(2) + 9(3)).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على المجموع = 155.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

31. 31.

    الحد الأول لمتتالية هندسية 6 وأساسها 0.8. أوجد مجموع أول أربعة حدود والمجموع إلى ما لا نهاية واشرح سبب وجود الأخير.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. أول أربعة حدود 6 و4.8 و3.84 و3.072؛ يؤكد جمعها المباشر نتيجة المجموع المنتهي.
    2. ينتج المجموع اللانهائي بأخذ نهاية صيغة المجموع المنتهي حين تؤول 0.8^n إلى الصفر.

    نقاط التصحيح

    • S4 = 6(1 - 0.8^4)/(1 - 0.8) = 17.712.
    • المجموع اللانهائي = 6/(1 - 0.8) = 30.
    • يتقارب لأن |0.8| < 1 فتقترب قوى الأساس من الصفر.

    ملاحظة الفاحص: يعتمد التقارب على القيمة المطلقة للأساس.

32. 32.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «الحد الأول لمتتالية هندسية 6 وأساسها 0.8. أوجد مجموع أول أربعة حدود والمجموع إلى ما لا نهاية واشرح سبب وجود الأخير.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «S4 = 6(1 - 0.8^4)/(1 - 0.8) = 17.712.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: S4 = 6(1 - 0.8^4)/(1 - 0.8) = 17.712. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: المجموع اللانهائي = 6/(1 - 0.8) = 30. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: يتقارب لأن |0.8| < 1 فتقترب قوى الأساس من الصفر. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: S4 = 6(1 - 0.8^4)/(1 - 0.8) = 17.712.
    • يحدد المتطلب الناقص: المجموع اللانهائي = 6/(1 - 0.8) = 30.
    • يحدد المتطلب الناقص: يتقارب لأن |0.8| < 1 فتقترب قوى الأساس من الصفر.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.