الرياضيات: التطبيقات والتفسير HL
التفاضل والتكامل المتقدم والنمذجة — الموضوعان 5 و1
- 1.
يُنمذج حجم خزان بالعلاقة V(t) = 40 + 6t − 0.5t²، حيث V باللترات وt الزمن بالدقائق، لـ 0 ≤ t ≤ 12. (أ) أوجد dV/dt. (ب) أوجد الزمن الذي يكون عنده الحجم أعظمياً. (ج) حدد الحجم الأعظم.
[4 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج حجم خزان بالعلاقة V(t) = 40 + 6t − 0.5t²، حيث V باللترات وt الزمن بالدقائق، لـ 0 ≤ t ≤ 12. (أ) أوجد dV/dt. (ب) أوجد الزمن الذي يكون عنده الحجم أعظمياً. (ج) حدد الحجم الأعظم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على dV/dt = 6 − t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 3.
يُنمذج معدل تغير درجة حرارة مشروب بارد T (°م) بالعلاقة dT/dt = −0.12(T − 4)، حيث t بالدقائق وT = 20 ابتداءً. (أ) استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها دقيقة واحدة لتقدير T بعد دقيقتين، مع إظهار كلتا الخطوتين. (ب) اذكر طريقة واحدة لجعل التقدير أكثر دقة دون تغيير النموذج.
[5 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج معدل تغير درجة حرارة مشروب بارد T (°م) بالعلاقة dT/dt = −0.12(T − 4)، حيث t بالدقائق وT = 20 ابتداءً. (أ) استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها دقيقة واحدة لتقدير T بعد دقيقتين، مع إظهار كلتا الخطوتين. (ب) اذكر طريقة واحدة لجعل التقدير أكثر دقة دون تغيير النموذج.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد قاعدة تحديث أويلر Tₙ₊₁ = Tₙ + h·f(Tₙ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 5.
يُنمذج عدد أفراد نوع نادر من الطيور في مدينة، P(t) بالمئات بعد t سنة من بدء الرصد، بالمعادلة التفاضلية اللوجستية dP/dt = 0.3P(1 − P/8)، مع P(0) = 1. (أ) أثبت أن P = 8 حل اتزان، وفسّره في سياق المسألة. (ب) بفصل المتغيرين، أثبت أن الحل العام يمكن كتابته P(t) = 8 / (1 + 7e^(−0.3t)). (ج) أوجد العدد المتوقع للأفراد بعد 10 سنوات. (د) أوجد الزمن الذي يكون عنده نمو العدد أسرع ما يمكن، وحدد العدد عند ذلك الزمن. (هـ) علّق على أحد قيود استخدام هذا النموذج للتنبؤ بالعدد بعد 50 سنة.
[8 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج عدد أفراد نوع نادر من الطيور في مدينة، P(t) بالمئات بعد t سنة من بدء الرصد، بالمعادلة التفاضلية اللوجستية dP/dt = 0.3P(1 − P/8)، مع P(0) = 1. (أ) أثبت أن P = 8 حل اتزان، وفسّره في سياق المسألة. (ب) بفصل المتغيرين، أثبت أن الحل العام يمكن كتابته P(t) = 8 / (1 + 7e^(−0.3t)). (ج) أوجد العدد المتوقع للأفراد بعد 10 سنوات. (د) أوجد الزمن الذي يكون عنده نمو العدد أسرع ما يمكن، وحدد العدد عند ذلك الزمن. (هـ) علّق على أحد قيود استخدام هذا النموذج للتنبؤ بالعدد بعد 50 سنة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع dP/dt = 0 وحل 0.3P(1 − P/8) = 0 للحصول على P = 0 أو P = 8، مع تحديد P = 8 بوصفها حل الاتزان غير التافه.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 8 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[8 درجة] - 7.
يتزايد نصف قطر بقعة نفط دائرية بمعدل 3 سم/ث. أوجد معدل تزايد مساحة البقعة عندما يكون نصف القطر 10 سم.
[4 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتزايد نصف قطر بقعة نفط دائرية بمعدل 3 سم/ث. أوجد معدل تزايد مساحة البقعة عندما يكون نصف القطر 10 سم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد A = πr² والاشتقاق بالنسبة للزمن باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr·(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 9.
يمر المنحنى x²y + y³ = 10 بالنقطة (1, 2). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.
[4 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر المنحنى x²y + y³ = 10 بالنقطة (1, 2). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة لـ x، باستخدام قاعدة الضرب على x²y: 2xy + x²(dy/dx) + 3y²(dy/dx) = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 11.
للمنحنى f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5، أوجد الإحداثي السيني لنقطة الانعطاف باستخدام المشتقة الثانية، وحدد الإحداثي الصادي المقابل.
[4 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5، أوجد الإحداثي السيني لنقطة الانعطاف باستخدام المشتقة الثانية، وحدد الإحداثي الصادي المقابل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 6x − 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 13.
بمعلومية المعادلة التفاضلية dy/dx = x + y، مع y(0) = 1، استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها 0.5 لتقدير y(1)، مع إظهار كلتا الخطوتين.
[5 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية المعادلة التفاضلية dy/dx = x + y، مع y(0) = 1، استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها 0.5 لتقدير y(1)، مع إظهار كلتا الخطوتين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد قاعدة تحديث أويلر yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 15.
حل المعادلة التفاضلية dy/dx = 2xy، بمعلومية أن y = 3 عندما x = 0، بفصل المتغيرين. ومن ثم أوجد y عندما x = 1.
[5 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة التفاضلية dy/dx = 2xy، بمعلومية أن y = 3 عندما x = 0، بفصل المتغيرين. ومن ثم أوجد y عندما x = 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «فصل المتغيرين: ∫(1/y) dy = ∫2x dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 17.
يُعطى متجه موضع جسيم بـ r(t) = (t², 3t) متراً، حيث t الزمن بالثواني. (أ) أوجد متجه السرعة v(t). (ب) أوجد سرعة الجسيم عند t = 2 ثانية.
[4 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُعطى متجه موضع جسيم بـ r(t) = (t², 3t) متراً، حيث t الزمن بالثواني. (أ) أوجد متجه السرعة v(t). (ب) أوجد سرعة الجسيم عند t = 2 ثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق كل مركبة من r(t) للحصول على v(t) = (2t, 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 19.
يجب أن يكون حجم علبة أسطوانية 500 سم³. (أ) عبّر عن المساحة السطحية S للعلبة بدلالة نصف قطرها r فقط. (ب) أوجد نصف القطر والارتفاع اللذين يُصغّران المساحة السطحية، وأوجد المساحة السطحية الصغرى.
[6 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يجب أن يكون حجم علبة أسطوانية 500 سم³. (أ) عبّر عن المساحة السطحية S للعلبة بدلالة نصف قطرها r فقط. (ب) أوجد نصف القطر والارتفاع اللذين يُصغّران المساحة السطحية، وأوجد المساحة السطحية الصغرى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام V = πr²h = 500 للتعبير عن h = 500/(πr²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 21.
يُنفخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت 100 سم³/ث. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما يكون نصف القطر 5 سم.
[4 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنفخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت 100 سم³/ث. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما يكون نصف القطر 5 سم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد V = (4/3)πr³ والاشتقاق بالنسبة للزمن: dV/dt = 4πr²(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 23.
ينمو عدد مستعمرة بكتيرية وفق dP/dt = 0.05P، مع P(0) = 200. أوجد الحل العام لـ P(t)، واستخدمه لإيجاد العدد بعد 20 ساعة.
[4 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «ينمو عدد مستعمرة بكتيرية وفق dP/dt = 0.05P، مع P(0) = 200. أوجد الحل العام لـ P(t)، واستخدمه لإيجاد العدد بعد 20 ساعة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «فصل المتغيرين والتكامل للحصول على ln(P) = 0.05t + c.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 25.
للمنحنى f(x) = x⁴ − 4x³، أوجد جميع قيم x التي يكون عندها للمنحنى نقطة انعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.
[5 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى f(x) = x⁴ − 4x³، أوجد جميع قيم x التي يكون عندها للمنحنى نقطة انعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 24x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 27.
استخدم قاعدة شبه المنحرف بـ 4 شرائح لتقدير ∫₀⁴ x² dx، وقارن تقديرك بالقيمة الدقيقة الموجودة بالتكامل.
[5 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة شبه المنحرف بـ 4 شرائح لتقدير ∫₀⁴ x² dx، وقارن تقديرك بالقيمة الدقيقة الموجودة بالتكامل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام عرض شريحة h = 1 وتقييم f(x) = x² عند x = 0، 1، 2، 3، 4 للحصول على 0، 1، 4، 9، 16.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 29.
يتحرك جسيم على خط مستقيم بتسارع a(t) = 6t − 4 م/ث²، حيث t بالثواني. بمعلومية أن السرعة الابتدائية v(0) = 2 م/ث والإزاحة الابتدائية s(0) = 0، أوجد (أ) دالة السرعة v(t)، (ب) دالة الإزاحة s(t)، (ج) الإزاحة عند t = 3 ثوانٍ.
[6 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتحرك جسيم على خط مستقيم بتسارع a(t) = 6t − 4 م/ث²، حيث t بالثواني. بمعلومية أن السرعة الابتدائية v(0) = 2 م/ث والإزاحة الابتدائية s(0) = 0، أوجد (أ) دالة السرعة v(t)، (ب) دالة الإزاحة s(t)، (ج) الإزاحة عند t = 3 ثوانٍ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكامل التسارع للحصول على v(t) = 3t² − 4t + c.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 31.
يُظهر مجال ميول لمعادلة تفاضلية أنه حيثما يعبر منحنى حل الخط y = x، يكون ميله صفراً، وأن الميل موجب أسفل هذا الخط وسالب أعلاه. (أ) اقترح معادلة تفاضلية dy/dx = f(x, y) متسقة مع هذا الوصف. (ب) صف السلوك طويل المدى لمنحنى حل يبدأ أسفل الخط y = x.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُظهر مجال ميول لمعادلة تفاضلية أنه حيثما يعبر منحنى حل الخط y = x، يكون ميله صفراً، وأن الميل موجب أسفل هذا الخط وسالب أعلاه. (أ) اقترح معادلة تفاضلية dy/dx = f(x, y) متسقة مع هذا الوصف. (ب) صف السلوك طويل المدى لمنحنى حل يبدأ أسفل الخط y = x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اقتراح معادلة صحيحة مثل dy/dx = x − y، تساوي صفراً عندما y = x، وموجبة عندما y < x، وسالبة عندما y > x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة