الرياضيات: التطبيقات والتفسير HL

1. 1.

   يُنمذج حجم خزان بالعلاقة V(t) = 40 + 6t − 0.5t²، حيث V باللترات وt الزمن بالدقائق، لـ 0 ≤ t ≤ 12. (أ) أوجد dV/dt. (ب) أوجد الزمن الذي يكون عنده الحجم أعظمياً. (ج) حدد الحجم الأعظم.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • الاشتقاق للحصول على dV/dt = 6 − t.
   • وضع dV/dt = 0 للحصول على t = 6.
   • التأكد من أن هذه قيمة عظمى، باستخدام المشتقة الثانية أو تغير الإشارة مثلاً.
   • تحديد الحجم الأعظم V(6) = 58 لتراً.

   ملاحظة الفاحص: تحقق دائماً من أن النقطة الساكنة قيمة عظمى قبل تقديمها كإجابة لسؤال 'الحجم الأعظم'.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج حجم خزان بالعلاقة V(t) = 40 + 6t − 0.5t²، حيث V باللترات وt الزمن بالدقائق، لـ 0 ≤ t ≤ 12. (أ) أوجد dV/dt. (ب) أوجد الزمن الذي يكون عنده الحجم أعظمياً. (ج) حدد الحجم الأعظم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على dV/dt = 6 − t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الاشتقاق للحصول على dV/dt = 6 − t.
   • يحدد المتطلب الناقص: وضع dV/dt = 0 للحصول على t = 6.
   • يحدد المتطلب الناقص: التأكد من أن هذه قيمة عظمى، باستخدام المشتقة الثانية أو تغير الإشارة مثلاً.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الحجم الأعظم V(6) = 58 لتراً.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   يُنمذج معدل تغير درجة حرارة مشروب بارد T (°م) بالعلاقة dT/dt = −0.12(T − 4)، حيث t بالدقائق وT = 20 ابتداءً. (أ) استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها دقيقة واحدة لتقدير T بعد دقيقتين، مع إظهار كلتا الخطوتين. (ب) اذكر طريقة واحدة لجعل التقدير أكثر دقة دون تغيير النموذج.

   [5 درجة]

   نقاط التصحيح

   • تحديد قاعدة تحديث أويلر Tₙ₊₁ = Tₙ + h·f(Tₙ).
   • حساب الخطوة الأولى: T(1) ≈ 20 + 1(−0.12)(20 − 4) = 18.08.
   • حساب الخطوة الثانية: T(2) ≈ 18.08 + 1(−0.12)(18.08 − 4) = 16.39 (يُقبل التقريب).
   • تحديد التقدير النهائي T(2) ≈ 16.4 °م.
   • ذكر تحسين صحيح، مثل استخدام خطوة أصغر.

   ملاحظة الفاحص: أعد حساب f عند القيمة الجديدة قبل كل خطوة أويلر؛ لا تُعِد استخدام المعدل الأصلي لكلتا الخطوتين.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج معدل تغير درجة حرارة مشروب بارد T (°م) بالعلاقة dT/dt = −0.12(T − 4)، حيث t بالدقائق وT = 20 ابتداءً. (أ) استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها دقيقة واحدة لتقدير T بعد دقيقتين، مع إظهار كلتا الخطوتين. (ب) اذكر طريقة واحدة لجعل التقدير أكثر دقة دون تغيير النموذج.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد قاعدة تحديث أويلر Tₙ₊₁ = Tₙ + h·f(Tₙ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد قاعدة تحديث أويلر Tₙ₊₁ = Tₙ + h·f(Tₙ).
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب الخطوة الأولى: T(1) ≈ 20 + 1(−0.12)(20 − 4) = 18.08.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب الخطوة الثانية: T(2) ≈ 18.08 + 1(−0.12)(18.08 − 4) = 16.39 (يُقبل التقريب).
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد التقدير النهائي T(2) ≈ 16.4 °م.
   • يحدد المتطلب الناقص: ذكر تحسين صحيح، مثل استخدام خطوة أصغر.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   يُنمذج عدد أفراد نوع نادر من الطيور في مدينة، P(t) بالمئات بعد t سنة من بدء الرصد، بالمعادلة التفاضلية اللوجستية dP/dt = 0.3P(1 − P/8)، مع P(0) = 1. (أ) أثبت أن P = 8 حل اتزان، وفسّره في سياق المسألة. (ب) بفصل المتغيرين، أثبت أن الحل العام يمكن كتابته P(t) = 8 / (1 + 7e^(−0.3t)). (ج) أوجد العدد المتوقع للأفراد بعد 10 سنوات. (د) أوجد الزمن الذي يكون عنده نمو العدد أسرع ما يمكن، وحدد العدد عند ذلك الزمن. (هـ) علّق على أحد قيود استخدام هذا النموذج للتنبؤ بالعدد بعد 50 سنة.

   [8 درجة]

   نقاط التصحيح

   • وضع dP/dt = 0 وحل 0.3P(1 − P/8) = 0 للحصول على P = 0 أو P = 8، مع تحديد P = 8 بوصفها حل الاتزان غير التافه.
   • تفسير P = 8 (بالمئات) بأنها السعة الاستيعابية طويلة المدى التي يقترب منها العدد.
   • فصل المتغيرين للحصول على ∫ dP/[P(1 − P/8)] = ∫0.3 dt.
   • استخدام الكسور الجزئية (أو تكامل مدعوم بالآلة الحاسبة) مع الشرط الابتدائي P(0) = 1 لتبرير الصورة المغلقة المعطاة.
   • تعويض t = 10 للحصول على P(10) ≈ 5.9 مئة (يُقبل التقريب المكافئ).
   • إدراك أن أسرع نمو يحدث عند نقطة الانعطاف، حيث P = 4 (نصف السعة الاستيعابية).
   • حل 8/(1 + 7e^(−0.3t)) = 4 للحصول على t ≈ 6.48 سنة.
   • ذكر قيد صحيح، مثل افتراض النموذج عدم وجود تغير بيئي كبير أو مرض أو أثر بشري خلال أفق 50 سنة.

   ملاحظة الفاحص: في النموذج اللوجستي، يكون النمو أسرع بالضبط عند منتصف الطريق إلى السعة الاستيعابية — يمكنك تحديد هذه النقطة دون حل t بالكامل أولاً.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج عدد أفراد نوع نادر من الطيور في مدينة، P(t) بالمئات بعد t سنة من بدء الرصد، بالمعادلة التفاضلية اللوجستية dP/dt = 0.3P(1 − P/8)، مع P(0) = 1. (أ) أثبت أن P = 8 حل اتزان، وفسّره في سياق المسألة. (ب) بفصل المتغيرين، أثبت أن الحل العام يمكن كتابته P(t) = 8 / (1 + 7e^(−0.3t)). (ج) أوجد العدد المتوقع للأفراد بعد 10 سنوات. (د) أوجد الزمن الذي يكون عنده نمو العدد أسرع ما يمكن، وحدد العدد عند ذلك الزمن. (هـ) علّق على أحد قيود استخدام هذا النموذج للتنبؤ بالعدد بعد 50 سنة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع dP/dt = 0 وحل 0.3P(1 − P/8) = 0 للحصول على P = 0 أو P = 8، مع تحديد P = 8 بوصفها حل الاتزان غير التافه.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 8 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [8 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع dP/dt = 0 وحل 0.3P(1 − P/8) = 0 للحصول على P = 0 أو P = 8، مع تحديد P = 8 بوصفها حل الاتزان غير التافه.
   • يحدد المتطلب الناقص: تفسير P = 8 (بالمئات) بأنها السعة الاستيعابية طويلة المدى التي يقترب منها العدد.
   • يحدد المتطلب الناقص: فصل المتغيرين للحصول على ∫ dP/[P(1 − P/8)] = ∫0.3 dt.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام الكسور الجزئية (أو تكامل مدعوم بالآلة الحاسبة) مع الشرط الابتدائي P(0) = 1 لتبرير الصورة المغلقة المعطاة.
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 10 للحصول على P(10) ≈ 5.9 مئة (يُقبل التقريب المكافئ).
   • يحدد المتطلب الناقص: إدراك أن أسرع نمو يحدث عند نقطة الانعطاف، حيث P = 4 (نصف السعة الاستيعابية).
   • يحدد المتطلب الناقص: حل 8/(1 + 7e^(−0.3t)) = 4 للحصول على t ≈ 6.48 سنة.
   • يحدد المتطلب الناقص: ذكر قيد صحيح، مثل افتراض النموذج عدم وجود تغير بيئي كبير أو مرض أو أثر بشري خلال أفق 50 سنة.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   يتزايد نصف قطر بقعة نفط دائرية بمعدل 3 سم/ث. أوجد معدل تزايد مساحة البقعة عندما يكون نصف القطر 10 سم.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • تحديد A = πr² والاشتقاق بالنسبة للزمن باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr·(dr/dt).
   • تعويض r = 10 وdr/dt = 3.
   • تقييم dA/dt = 2π(10)(3).
   • الحصول على dA/dt ≈ 188.5 سم²/ث.

   ملاحظة الفاحص: تستخدم مسائل المعدلات المترابطة دائماً قاعدة السلسلة لربط المعدل المطلوب بالمعدل المعطى — حدد أولاً المعادلة التي تربط الكميتين، ثم اشتق كلا الطرفين بالنسبة للزمن.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتزايد نصف قطر بقعة نفط دائرية بمعدل 3 سم/ث. أوجد معدل تزايد مساحة البقعة عندما يكون نصف القطر 10 سم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد A = πr² والاشتقاق بالنسبة للزمن باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr·(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد A = πr² والاشتقاق بالنسبة للزمن باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr·(dr/dt).
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض r = 10 وdr/dt = 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: تقييم dA/dt = 2π(10)(3).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على dA/dt ≈ 188.5 سم²/ث.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   يمر المنحنى x²y + y³ = 10 بالنقطة (1, 2). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة لـ x، باستخدام قاعدة الضرب على x²y: 2xy + x²(dy/dx) + 3y²(dy/dx) = 0.
   • تجميع حدود dy/dx: (dy/dx)(x² + 3y²) = −2xy.
   • إعادة الترتيب للحصول على dy/dx = −2xy/(x² + 3y²).
   • تعويض x = 1، وy = 2 للحصول على dy/dx = −4/13 ≈ −0.308.

   ملاحظة الفاحص: عندما يخلط حد ما بين x وy، مثل x²y، طبّق قاعدة الضرب وتذكّر أن اشتقاق أي حد يحتوي y يُدخل عامل dy/dx عبر قاعدة السلسلة.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر المنحنى x²y + y³ = 10 بالنقطة (1, 2). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة لـ x، باستخدام قاعدة الضرب على x²y: 2xy + x²(dy/dx) + 3y²(dy/dx) = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة لـ x، باستخدام قاعدة الضرب على x²y: 2xy + x²(dy/dx) + 3y²(dy/dx) = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: تجميع حدود dy/dx: (dy/dx)(x² + 3y²) = −2xy.
    • يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على dy/dx = −2xy/(x² + 3y²).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 1، وy = 2 للحصول على dy/dx = −4/13 ≈ −0.308.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    للمنحنى f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5، أوجد الإحداثي السيني لنقطة الانعطاف باستخدام المشتقة الثانية، وحدد الإحداثي الصادي المقابل.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 6x − 6.
    • وضع f''(x) = 0 والحل للحصول على x = 1.
    • التأكد من أنها نقطة انعطاف حقيقية لأن f'' تغيّر إشارتها عند x = 1.
    • تعويض x = 1 في f(x) للحصول على y = −6.

    ملاحظة الفاحص: النقطة التي تساوي عندها المشتقة الثانية صفراً تكون نقطة انعطاف حقيقية فقط إذا تغير التقعر فعلاً هناك — تحقق من إشارة f'' على الجانبين للتأكيد.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5، أوجد الإحداثي السيني لنقطة الانعطاف باستخدام المشتقة الثانية، وحدد الإحداثي الصادي المقابل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 6x − 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 6x − 6.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع f''(x) = 0 والحل للحصول على x = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: التأكد من أنها نقطة انعطاف حقيقية لأن f'' تغيّر إشارتها عند x = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 1 في f(x) للحصول على y = −6.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    بمعلومية المعادلة التفاضلية dy/dx = x + y، مع y(0) = 1، استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها 0.5 لتقدير y(1)، مع إظهار كلتا الخطوتين.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد قاعدة تحديث أويلر yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ).
    • حساب الخطوة الأولى: y(0.5) ≈ 1 + 0.5(0 + 1) = 1.5.
    • حساب الخطوة الثانية: y(1) ≈ 1.5 + 0.5(0.5 + 1.5) = 2.5.
    • تحديد التقدير النهائي y(1) ≈ 2.5.
    • الاستخدام الصحيح لقيمة x المحدثة (0.5، وليس 0) في تقييم f في الخطوة الثانية.

    ملاحظة الفاحص: احتفظ بجدول صغير لأزواج (x, y) أثناء تطبيق طريقة أويلر — فهذا يمنع الخطأ الشائع المتمثل في إعادة استخدام قيمة x السابقة في الخطوة التالية.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية المعادلة التفاضلية dy/dx = x + y، مع y(0) = 1، استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها 0.5 لتقدير y(1)، مع إظهار كلتا الخطوتين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد قاعدة تحديث أويلر yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد قاعدة تحديث أويلر yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الخطوة الأولى: y(0.5) ≈ 1 + 0.5(0 + 1) = 1.5.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الخطوة الثانية: y(1) ≈ 1.5 + 0.5(0.5 + 1.5) = 2.5.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد التقدير النهائي y(1) ≈ 2.5.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستخدام الصحيح لقيمة x المحدثة (0.5، وليس 0) في تقييم f في الخطوة الثانية.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    حل المعادلة التفاضلية dy/dx = 2xy، بمعلومية أن y = 3 عندما x = 0، بفصل المتغيرين. ومن ثم أوجد y عندما x = 1.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • فصل المتغيرين: ∫(1/y) dy = ∫2x dx.
    • التكامل للحصول على ln|y| = x² + c.
    • استخدام y(0) = 3 لإيجاد c = ln(3).
    • إعادة الترتيب للحصول على y = 3e^(x²).
    • تعويض x = 1 للحصول على y ≈ 8.15.

    ملاحظة الفاحص: بعد فصل المتغيرين والتكامل، استخدم الشرط الابتدائي فوراً لإيجاد الثابت — فهذا يتجنب حمل مجهول غير ضروري حتى التعويض النهائي.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة التفاضلية dy/dx = 2xy، بمعلومية أن y = 3 عندما x = 0، بفصل المتغيرين. ومن ثم أوجد y عندما x = 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «فصل المتغيرين: ∫(1/y) dy = ∫2x dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: فصل المتغيرين: ∫(1/y) dy = ∫2x dx.
    • يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على ln|y| = x² + c.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام y(0) = 3 لإيجاد c = ln(3).
    • يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على y = 3e^(x²).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 1 للحصول على y ≈ 8.15.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    يُعطى متجه موضع جسيم بـ r(t) = (t², 3t) متراً، حيث t الزمن بالثواني. (أ) أوجد متجه السرعة v(t). (ب) أوجد سرعة الجسيم عند t = 2 ثانية.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • اشتقاق كل مركبة من r(t) للحصول على v(t) = (2t, 3).
    • تعويض t = 2 للحصول على v(2) = (4, 3).
    • استخدام السرعة = |v(2)| = √(4² + 3²).
    • الحصول على سرعة 5 م/ث.

    ملاحظة الفاحص: اشتق متجه الموضع مركبةً مركبةً للحصول على السرعة المتجهة، ثم خذ مقدار متجه السرعة للحصول على السرعة القياسية — السرعة القياسية مقدار موجب دائماً، وليست متجهاً.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُعطى متجه موضع جسيم بـ r(t) = (t², 3t) متراً، حيث t الزمن بالثواني. (أ) أوجد متجه السرعة v(t). (ب) أوجد سرعة الجسيم عند t = 2 ثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق كل مركبة من r(t) للحصول على v(t) = (2t, 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق كل مركبة من r(t) للحصول على v(t) = (2t, 3).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 2 للحصول على v(2) = (4, 3).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام السرعة = |v(2)| = √(4² + 3²).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على سرعة 5 م/ث.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    يجب أن يكون حجم علبة أسطوانية 500 سم³. (أ) عبّر عن المساحة السطحية S للعلبة بدلالة نصف قطرها r فقط. (ب) أوجد نصف القطر والارتفاع اللذين يُصغّران المساحة السطحية، وأوجد المساحة السطحية الصغرى.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • استخدام V = πr²h = 500 للتعبير عن h = 500/(πr²).
    • كتابة S = 2πr² + 2πrh وتعويض h للحصول على S(r) = 2πr² + 1000/r.
    • الاشتقاق للحصول على S'(r) = 4πr − 1000/r².
    • وضع S'(r) = 0 والحل للحصول على r ≈ 4.30 سم.
    • التأكيد على أنها قيمة صغرى باستخدام S''(r) > 0، وإيجاد h ≈ 8.60 سم.
    • التعويض مرة أخرى للحصول على مساحة سطحية صغرى تقارب 348.7 سم².

    ملاحظة الفاحص: تحتاج مسائل الأمثلية ذات المتغيرين دائماً إلى معادلة قيد (هنا، الحجم الثابت) لحذف أحد المتغيرين قبل الاشتقاق — لا تشتق أبداً دالة بمتغيرين مباشرة في هذا السياق.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يجب أن يكون حجم علبة أسطوانية 500 سم³. (أ) عبّر عن المساحة السطحية S للعلبة بدلالة نصف قطرها r فقط. (ب) أوجد نصف القطر والارتفاع اللذين يُصغّران المساحة السطحية، وأوجد المساحة السطحية الصغرى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام V = πr²h = 500 للتعبير عن h = 500/(πr²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام V = πr²h = 500 للتعبير عن h = 500/(πr²).
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة S = 2πr² + 2πrh وتعويض h للحصول على S(r) = 2πr² + 1000/r.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاشتقاق للحصول على S'(r) = 4πr − 1000/r².
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع S'(r) = 0 والحل للحصول على r ≈ 4.30 سم.
    • يحدد المتطلب الناقص: التأكيد على أنها قيمة صغرى باستخدام S''(r) > 0، وإيجاد h ≈ 8.60 سم.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض مرة أخرى للحصول على مساحة سطحية صغرى تقارب 348.7 سم².

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    يُنفخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت 100 سم³/ث. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما يكون نصف القطر 5 سم.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد V = (4/3)πr³ والاشتقاق بالنسبة للزمن: dV/dt = 4πr²(dr/dt).
    • تعويض dV/dt = 100 وr = 5.
    • إعادة الترتيب للحصول على dr/dt = 100/(4π(5)²).
    • الحصول على dr/dt ≈ 0.318 سم/ث.

    ملاحظة الفاحص: لاحظ أنه مع تكبر البالون، يُنتج معدل تدفق الحجم نفسه معدل تغير أصغر في نصف القطر — وذلك لأن المساحة السطحية (وبالتالي 4πr²) تزداد مع r.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنفخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت 100 سم³/ث. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما يكون نصف القطر 5 سم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد V = (4/3)πr³ والاشتقاق بالنسبة للزمن: dV/dt = 4πr²(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد V = (4/3)πr³ والاشتقاق بالنسبة للزمن: dV/dt = 4πr²(dr/dt).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض dV/dt = 100 وr = 5.
    • يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على dr/dt = 100/(4π(5)²).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على dr/dt ≈ 0.318 سم/ث.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    ينمو عدد مستعمرة بكتيرية وفق dP/dt = 0.05P، مع P(0) = 200. أوجد الحل العام لـ P(t)، واستخدمه لإيجاد العدد بعد 20 ساعة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • فصل المتغيرين والتكامل للحصول على ln(P) = 0.05t + c.
    • استخدام P(0) = 200 للحصول على الحل العام P(t) = 200e^(0.05t).
    • تعويض t = 20.
    • الحصول على P(20) ≈ 544 (بكتيريا، لأقرب عدد صحيح).

    ملاحظة الفاحص: تمتلك المعادلة التفاضلية من الصورة dP/dt = kP دائماً الحل العام P = P₀e^(kt) — يتجنب التعرف الفوري على هذا النمط إعادة فصل المتغيرين في كل مرة.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «ينمو عدد مستعمرة بكتيرية وفق dP/dt = 0.05P، مع P(0) = 200. أوجد الحل العام لـ P(t)، واستخدمه لإيجاد العدد بعد 20 ساعة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «فصل المتغيرين والتكامل للحصول على ln(P) = 0.05t + c.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: فصل المتغيرين والتكامل للحصول على ln(P) = 0.05t + c.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام P(0) = 200 للحصول على الحل العام P(t) = 200e^(0.05t).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 20.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(20) ≈ 544 (بكتيريا، لأقرب عدد صحيح).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    للمنحنى f(x) = x⁴ − 4x³، أوجد جميع قيم x التي يكون عندها للمنحنى نقطة انعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 24x.
    • وضع f''(x) = 0 والتحليل للحصول على 12x(x − 2) = 0.
    • الحصول على القيمتين المرشحتين x = 0 وx = 2.
    • تأكيد أن f'' تغيّر إشارتها عند كلتا القيمتين، فكلتاهما نقطة انعطاف حقيقية.
    • تحديد الإحداثيين الصاديين المقابلين بـ f(0) = 0 وf(2) = −16.

    ملاحظة الفاحص: يمكن أن يكون للدالة من الدرجة الرابعة أكثر من نقطة انعطاف واحدة — حل معادلة المشتقة الثانية بالكامل دائماً بدلاً من التوقف عند أول جذر يُوجد.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى f(x) = x⁴ − 4x³، أوجد جميع قيم x التي يكون عندها للمنحنى نقطة انعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 24x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 24x.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع f''(x) = 0 والتحليل للحصول على 12x(x − 2) = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على القيمتين المرشحتين x = 0 وx = 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: تأكيد أن f'' تغيّر إشارتها عند كلتا القيمتين، فكلتاهما نقطة انعطاف حقيقية.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الإحداثيين الصاديين المقابلين بـ f(0) = 0 وf(2) = −16.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    استخدم قاعدة شبه المنحرف بـ 4 شرائح لتقدير ∫₀⁴ x² dx، وقارن تقديرك بالقيمة الدقيقة الموجودة بالتكامل.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • استخدام عرض شريحة h = 1 وتقييم f(x) = x² عند x = 0، 1، 2، 3، 4 للحصول على 0، 1، 4، 9، 16.
    • تطبيق قاعدة شبه المنحرف: (h/2)[f(x0) + 2(f(x1)+f(x2)+f(x3)) + f(x4)].
    • الحصول على تقدير بشبه المنحرف يساوي 22.
    • إيجاد القيمة الدقيقة بالتكامل: ∫₀⁴ x² dx = [x³/3]₀⁴ = 64/3 ≈ 21.33.
    • التعليق بأن قاعدة شبه المنحرف تعطي تقديراً أكبر من القيمة الحقيقية هنا لأن المنحنى مقعر لأعلى، فتقع أشباه المنحرفات فوق المنحنى.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لمنحنى مقعر لأعلى، تعطي قاعدة شبه المنحرف دائماً تقديراً أكبر من المساحة الحقيقية؛ وبالنسبة لمنحنى مقعر لأسفل، تعطي تقديراً أصغر دائماً — استخدم ذلك للتحقق من معقولية إجابتك العددية.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة شبه المنحرف بـ 4 شرائح لتقدير ∫₀⁴ x² dx، وقارن تقديرك بالقيمة الدقيقة الموجودة بالتكامل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام عرض شريحة h = 1 وتقييم f(x) = x² عند x = 0، 1، 2، 3، 4 للحصول على 0، 1، 4، 9، 16.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام عرض شريحة h = 1 وتقييم f(x) = x² عند x = 0، 1، 2، 3، 4 للحصول على 0، 1، 4، 9، 16.
    • يحدد المتطلب الناقص: تطبيق قاعدة شبه المنحرف: (h/2)[f(x0) + 2(f(x1)+f(x2)+f(x3)) + f(x4)].
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على تقدير بشبه المنحرف يساوي 22.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد القيمة الدقيقة بالتكامل: ∫₀⁴ x² dx = [x³/3]₀⁴ = 64/3 ≈ 21.33.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعليق بأن قاعدة شبه المنحرف تعطي تقديراً أكبر من القيمة الحقيقية هنا لأن المنحنى مقعر لأعلى، فتقع أشباه المنحرفات فوق المنحنى.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    يتحرك جسيم على خط مستقيم بتسارع a(t) = 6t − 4 م/ث²، حيث t بالثواني. بمعلومية أن السرعة الابتدائية v(0) = 2 م/ث والإزاحة الابتدائية s(0) = 0، أوجد (أ) دالة السرعة v(t)، (ب) دالة الإزاحة s(t)، (ج) الإزاحة عند t = 3 ثوانٍ.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تكامل التسارع للحصول على v(t) = 3t² − 4t + c.
    • استخدام v(0) = 2 للحصول على v(t) = 3t² − 4t + 2.
    • تكامل السرعة للحصول على s(t) = t³ − 2t² + 2t + k.
    • استخدام s(0) = 0 للحصول على s(t) = t³ − 2t² + 2t.
    • تعويض t = 3 في s(t).
    • الحصول على إزاحة مقدارها 15 متراً عند t = 3 ثوانٍ.

    ملاحظة الفاحص: يُدخل كل تكامل ثابت تكامل جديداً يجب إيجاده من الشرط الابتدائي المعطى في تلك المرحلة — لا تحمل كلا الثابتين المجهولين إلى النهاية وتحاول حلهما معاً.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتحرك جسيم على خط مستقيم بتسارع a(t) = 6t − 4 م/ث²، حيث t بالثواني. بمعلومية أن السرعة الابتدائية v(0) = 2 م/ث والإزاحة الابتدائية s(0) = 0، أوجد (أ) دالة السرعة v(t)، (ب) دالة الإزاحة s(t)، (ج) الإزاحة عند t = 3 ثوانٍ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكامل التسارع للحصول على v(t) = 3t² − 4t + c.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تكامل التسارع للحصول على v(t) = 3t² − 4t + c.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام v(0) = 2 للحصول على v(t) = 3t² − 4t + 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: تكامل السرعة للحصول على s(t) = t³ − 2t² + 2t + k.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام s(0) = 0 للحصول على s(t) = t³ − 2t² + 2t.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 3 في s(t).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على إزاحة مقدارها 15 متراً عند t = 3 ثوانٍ.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

31. 31.

    يُظهر مجال ميول لمعادلة تفاضلية أنه حيثما يعبر منحنى حل الخط y = x، يكون ميله صفراً، وأن الميل موجب أسفل هذا الخط وسالب أعلاه. (أ) اقترح معادلة تفاضلية dy/dx = f(x, y) متسقة مع هذا الوصف. (ب) صف السلوك طويل المدى لمنحنى حل يبدأ أسفل الخط y = x.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    نقاط التصحيح

    • اقتراح معادلة صحيحة مثل dy/dx = x − y، تساوي صفراً عندما y = x، وموجبة عندما y < x، وسالبة عندما y > x.
    • وصف أن الحل الذي يبدأ أسفل الخط y = x سيكون له ميل موجب، مما يجعله يرتفع ويقترب من الخط y = x مع الزمن، مستقراً بالقرب منه.

    ملاحظة الفاحص: تتعلق قراءة مجال الميول بمطابقة نمط إشارة الميل وصفره مع تعبير جبري بسيط — لست بحاجة لحل المعادلة التفاضلية لوصف السلوك النوعي.

32. 32.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُظهر مجال ميول لمعادلة تفاضلية أنه حيثما يعبر منحنى حل الخط y = x، يكون ميله صفراً، وأن الميل موجب أسفل هذا الخط وسالب أعلاه. (أ) اقترح معادلة تفاضلية dy/dx = f(x, y) متسقة مع هذا الوصف. (ب) صف السلوك طويل المدى لمنحنى حل يبدأ أسفل الخط y = x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اقتراح معادلة صحيحة مثل dy/dx = x − y، تساوي صفراً عندما y = x، وموجبة عندما y < x، وسالبة عندما y > x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اقتراح معادلة صحيحة مثل dy/dx = x − y، تساوي صفراً عندما y = x، وموجبة عندما y < x، وسالبة عندما y > x.
    • يحدد المتطلب الناقص: وصف أن الحل الذي يبدأ أسفل الخط y = x سيكون له ميل موجب، مما يجعله يرتفع ويقترب من الخط y = x مع الزمن، مستقراً بالقرب منه.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.