التفاضل والتكامل المتقدم والنمذجة

تصنيف الأوراق هنا غير رسمي وأعددناه بأنفسنا، ونطبّقه فقط حيث يطابق شكل السؤال فعلاً اتفاقية ورقة حقيقية (مثل تقسيم رياضيات IB AA بين بدون آلة حاسبة وبآلة حاسبة). لا يمثل توزيع الأوراق أو ترقيمها الرسمي في الامتحان الفعلي، والأسئلة غير المؤكدة تُصنَّف كـ«تدريب عام».

• 1يُنمذج حجم خزان بالعلاقة V(t) = 40 + 6t − 0.5t²، حيث V باللترات وt الزمن بالدقائق، لـ 0 ≤ t ≤ 12. (أ) أوجد dV/dt. (ب) أوجد الزمن الذي يكون عنده الحجم أعظمياً. (ج) حدد الحجم الأعظم.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 2تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج حجم خزان بالعلاقة V(t) = 40 + 6t − 0.5t²، حيث V باللترات وt الزمن بالدقائق، لـ 0 ≤ t ≤ 12. (أ) أوجد dV/dt. (ب) أوجد الزمن الذي يكون عنده الحجم أعظمياً. (ج) حدد الحجم الأعظم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على dV/dt = 6 − t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 3يُنمذج معدل تغير درجة حرارة مشروب بارد T (°م) بالعلاقة dT/dt = −0.12(T − 4)، حيث t بالدقائق وT = 20 ابتداءً. (أ) استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها دقيقة واحدة لتقدير T بعد دقيقتين، مع إظهار كلتا الخطوتين. (ب) اذكر طريقة واحدة لجعل التقدير أكثر دقة دون تغيير النموذج.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 4تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج معدل تغير درجة حرارة مشروب بارد T (°م) بالعلاقة dT/dt = −0.12(T − 4)، حيث t بالدقائق وT = 20 ابتداءً. (أ) استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها دقيقة واحدة لتقدير T بعد دقيقتين، مع إظهار كلتا الخطوتين. (ب) اذكر طريقة واحدة لجعل التقدير أكثر دقة دون تغيير النموذج.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد قاعدة تحديث أويلر Tₙ₊₁ = Tₙ + h·f(Tₙ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 5يُنمذج عدد أفراد نوع نادر من الطيور في مدينة، P(t) بالمئات بعد t سنة من بدء الرصد، بالمعادلة التفاضلية اللوجستية dP/dt = 0.3P(1 − P/8)، مع P(0) = 1. (أ) أثبت أن P = 8 حل اتزان، وفسّره في سياق المسألة. (ب) بفصل المتغيرين، أثبت أن الحل العام يمكن كتابته P(t) = 8 / (1 + 7e^(−0.3t)). (ج) أوجد العدد المتوقع للأفراد بعد 10 سنوات. (د) أوجد الزمن الذي يكون عنده نمو العدد أسرع ما يمكن، وحدد العدد عند ذلك الزمن. (هـ) علّق على أحد قيود استخدام هذا النموذج للتنبؤ بالعدد بعد 50 سنة.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 3 (موسّعة)صعب8 درجاتآلة حاسبة+
• 6تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج عدد أفراد نوع نادر من الطيور في مدينة، P(t) بالمئات بعد t سنة من بدء الرصد، بالمعادلة التفاضلية اللوجستية dP/dt = 0.3P(1 − P/8)، مع P(0) = 1. (أ) أثبت أن P = 8 حل اتزان، وفسّره في سياق المسألة. (ب) بفصل المتغيرين، أثبت أن الحل العام يمكن كتابته P(t) = 8 / (1 + 7e^(−0.3t)). (ج) أوجد العدد المتوقع للأفراد بعد 10 سنوات. (د) أوجد الزمن الذي يكون عنده نمو العدد أسرع ما يمكن، وحدد العدد عند ذلك الزمن. (هـ) علّق على أحد قيود استخدام هذا النموذج للتنبؤ بالعدد بعد 50 سنة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع dP/dt = 0 وحل 0.3P(1 − P/8) = 0 للحصول على P = 0 أو P = 8، مع تحديد P = 8 بوصفها حل الاتزان غير التافه.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 8 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحصعب8 درجاتآلة حاسبة+
• 7يتزايد نصف قطر بقعة نفط دائرية بمعدل 3 سم/ث. أوجد معدل تزايد مساحة البقعة عندما يكون نصف القطر 10 سم.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 8تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتزايد نصف قطر بقعة نفط دائرية بمعدل 3 سم/ث. أوجد معدل تزايد مساحة البقعة عندما يكون نصف القطر 10 سم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد A = πr² والاشتقاق بالنسبة للزمن باستخدام قاعدة السلسلة: dA/dt = 2πr·(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 9يمر المنحنى x²y + y³ = 10 بالنقطة (1, 2). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 10تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر المنحنى x²y + y³ = 10 بالنقطة (1, 2). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة لـ x، باستخدام قاعدة الضرب على x²y: 2xy + x²(dy/dx) + 3y²(dy/dx) = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 11للمنحنى f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5، أوجد الإحداثي السيني لنقطة الانعطاف باستخدام المشتقة الثانية، وحدد الإحداثي الصادي المقابل.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 12تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5، أوجد الإحداثي السيني لنقطة الانعطاف باستخدام المشتقة الثانية، وحدد الإحداثي الصادي المقابل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 6x − 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 13بمعلومية المعادلة التفاضلية dy/dx = x + y، مع y(0) = 1، استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها 0.5 لتقدير y(1)، مع إظهار كلتا الخطوتين.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 14تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية المعادلة التفاضلية dy/dx = x + y، مع y(0) = 1، استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها 0.5 لتقدير y(1)، مع إظهار كلتا الخطوتين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد قاعدة تحديث أويلر yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 15حل المعادلة التفاضلية dy/dx = 2xy، بمعلومية أن y = 3 عندما x = 0، بفصل المتغيرين. ومن ثم أوجد y عندما x = 1.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 16تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة التفاضلية dy/dx = 2xy، بمعلومية أن y = 3 عندما x = 0، بفصل المتغيرين. ومن ثم أوجد y عندما x = 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «فصل المتغيرين: ∫(1/y) dy = ∫2x dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 17يُعطى متجه موضع جسيم بـ r(t) = (t², 3t) متراً، حيث t الزمن بالثواني. (أ) أوجد متجه السرعة v(t). (ب) أوجد سرعة الجسيم عند t = 2 ثانية.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 18تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُعطى متجه موضع جسيم بـ r(t) = (t², 3t) متراً، حيث t الزمن بالثواني. (أ) أوجد متجه السرعة v(t). (ب) أوجد سرعة الجسيم عند t = 2 ثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق كل مركبة من r(t) للحصول على v(t) = (2t, 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 19يجب أن يكون حجم علبة أسطوانية 500 سم³. (أ) عبّر عن المساحة السطحية S للعلبة بدلالة نصف قطرها r فقط. (ب) أوجد نصف القطر والارتفاع اللذين يُصغّران المساحة السطحية، وأوجد المساحة السطحية الصغرى.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 2صعب6 درجاتآلة حاسبة+
• 20تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يجب أن يكون حجم علبة أسطوانية 500 سم³. (أ) عبّر عن المساحة السطحية S للعلبة بدلالة نصف قطرها r فقط. (ب) أوجد نصف القطر والارتفاع اللذين يُصغّران المساحة السطحية، وأوجد المساحة السطحية الصغرى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام V = πr²h = 500 للتعبير عن h = 500/(πr²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحصعب6 درجاتآلة حاسبة+
• 21يُنفخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت 100 سم³/ث. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما يكون نصف القطر 5 سم.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 22تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنفخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت 100 سم³/ث. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما يكون نصف القطر 5 سم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد V = (4/3)πr³ والاشتقاق بالنسبة للزمن: dV/dt = 4πr²(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 23ينمو عدد مستعمرة بكتيرية وفق dP/dt = 0.05P، مع P(0) = 200. أوجد الحل العام لـ P(t)، واستخدمه لإيجاد العدد بعد 20 ساعة.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 24تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «ينمو عدد مستعمرة بكتيرية وفق dP/dt = 0.05P، مع P(0) = 200. أوجد الحل العام لـ P(t)، واستخدمه لإيجاد العدد بعد 20 ساعة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «فصل المتغيرين والتكامل للحصول على ln(P) = 0.05t + c.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 25للمنحنى f(x) = x⁴ − 4x³، أوجد جميع قيم x التي يكون عندها للمنحنى نقطة انعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 26تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمنحنى f(x) = x⁴ − 4x³، أوجد جميع قيم x التي يكون عندها للمنحنى نقطة انعطاف، باستخدام المشتقة الثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 24x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 27استخدم قاعدة شبه المنحرف بـ 4 شرائح لتقدير ∫₀⁴ x² dx، وقارن تقديرك بالقيمة الدقيقة الموجودة بالتكامل.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 28تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة شبه المنحرف بـ 4 شرائح لتقدير ∫₀⁴ x² dx، وقارن تقديرك بالقيمة الدقيقة الموجودة بالتكامل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام عرض شريحة h = 1 وتقييم f(x) = x² عند x = 0، 1، 2، 3، 4 للحصول على 0، 1، 4، 9، 16.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 29يتحرك جسيم على خط مستقيم بتسارع a(t) = 6t − 4 م/ث²، حيث t بالثواني. بمعلومية أن السرعة الابتدائية v(0) = 2 م/ث والإزاحة الابتدائية s(0) = 0، أوجد (أ) دالة السرعة v(t)، (ب) دالة الإزاحة s(t)، (ج) الإزاحة عند t = 3 ثوانٍ.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 2صعب6 درجاتآلة حاسبة+
• 30تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتحرك جسيم على خط مستقيم بتسارع a(t) = 6t − 4 م/ث²، حيث t بالثواني. بمعلومية أن السرعة الابتدائية v(0) = 2 م/ث والإزاحة الابتدائية s(0) = 0، أوجد (أ) دالة السرعة v(t)، (ب) دالة الإزاحة s(t)، (ج) الإزاحة عند t = 3 ثوانٍ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكامل التسارع للحصول على v(t) = 3t² − 4t + c.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحصعب6 درجاتآلة حاسبة+
• 31يُظهر مجال ميول لمعادلة تفاضلية أنه حيثما يعبر منحنى حل الخط y = x، يكون ميله صفراً، وأن الميل موجب أسفل هذا الخط وسالب أعلاه. (أ) اقترح معادلة تفاضلية dy/dx = f(x, y) متسقة مع هذا الوصف. (ب) صف السلوك طويل المدى لمنحنى حل يبدأ أسفل الخط y = x.✓ تمت مراجعتهنمط الورقة 1سهل2 درجاتبدون آلة+
• 32تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُظهر مجال ميول لمعادلة تفاضلية أنه حيثما يعبر منحنى حل الخط y = x، يكون ميله صفراً، وأن الميل موجب أسفل هذا الخط وسالب أعلاه. (أ) اقترح معادلة تفاضلية dy/dx = f(x, y) متسقة مع هذا الوصف. (ب) صف السلوك طويل المدى لمنحنى حل يبدأ أسفل الخط y = x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اقتراح معادلة صحيحة مثل dy/dx = x − y، تساوي صفراً عندما y = x، وموجبة عندما y < x، وسالبة عندما y > x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.✓ تمت مراجعتهتحليل تصحيحسهل2 درجاتبدون آلة+