الهندسة وحساب المثلثات: المتجهات

تصنيف الأوراق هنا غير رسمي وأعددناه بأنفسنا، ونطبّقه فقط حيث يطابق شكل السؤال فعلاً اتفاقية ورقة حقيقية (مثل تقسيم رياضيات IB AA بين بدون آلة حاسبة وبآلة حاسبة). لا يمثل توزيع الأوراق أو ترقيمها الرسمي في الامتحان الفعلي، والأسئلة غير المؤكدة تُصنَّف كـ«تدريب عام».

• 1لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). أوجد إحداثيات النقطة على الخط عندما t = 2.نمط الورقة 1سهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 2تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). أوجد إحداثيات النقطة على الخط عندما t = 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض t = 2 في كل مركبة: x = 1 + 2(2)، وy = 2 − 2، وz = 3 + 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 3أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 2, 2)، باستخدام الضرب القياسي.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 4تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 2, 2)، باستخدام الضرب القياسي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب a·b = (3)(1) + (4)(2) + (0)(2) = 11.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 5أوجد الضرب المتجهي a × b لـ a = (2, 0, 0) وb = (1, 3, 0)، ومن ثم أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي يُكوّنه هذان المتجهان.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 6تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الضرب المتجهي a × b لـ a = (2, 0, 0) وb = (1, 3, 0)، ومن ثم أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي يُكوّنه هذان المتجهان.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الضرب المتجهي a × b = (a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 7للمثلث ABC رؤوس A(0, 0, 0)، وB(4, 0, 0)، وC(0, 3, 0). استخدم الضرب المتجهي للمتجهين AB وAC لإيجاد مساحة المثلث.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 8تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمثلث ABC رؤوس A(0, 0, 0)، وB(4, 0, 0)، وC(0, 3, 0). استخدم الضرب المتجهي للمتجهين AB وAC لإيجاد مساحة المثلث.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد AB = (4, 0, 0) وAC = (0, 3, 0).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 9أوجد الإسقاط القياسي للمتجه a = (3, 4) على المتجه b = (1, 0).نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 10تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الإسقاط القياسي للمتجه a = (3, 4) على المتجه b = (1, 0).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الإسقاط القياسي: (a·b)/|b|.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 11أوجد المسافة بين النقطتين A(1, 2, 3) وB(4, 6, 3) في الفراغ ثلاثي الأبعاد.نمط الورقة 1سهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 12تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المسافة بين النقطتين A(1, 2, 3) وB(4, 6, 3) في الفراغ ثلاثي الأبعاد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المسافة ثلاثية الأبعاد √[(x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 13للخط 1 معادلة متجهية r = (1, 1, 0) + t(1, 2, 0). وللخط 2 معادلة متجهية r = (0, 3, 0) + s(1, −1, 0). حدد ما إذا كان الخطان يتقاطعان، وإذا كان الأمر كذلك، أوجد نقطة التقاطع.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 14تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للخط 1 معادلة متجهية r = (1, 1, 0) + t(1, 2, 0). وللخط 2 معادلة متجهية r = (0, 3, 0) + s(1, −1, 0). حدد ما إذا كان الخطان يتقاطعان، وإذا كان الأمر كذلك، أوجد نقطة التقاطع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مساواة المركبتين السينيتين: 1 + t = s.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 15يُستخدم موقعان A(2, 3) وB(8, 7) لتوليد جزء من مخطط فورونوي. أوجد معادلة العمود المنصف لـAB، الذي يُشكّل الحد بين منطقتي الموقعين.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 16تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُستخدم موقعان A(2, 3) وB(8, 7) لتوليد جزء من مخطط فورونوي. أوجد معادلة العمود المنصف لـAB، الذي يُشكّل الحد بين منطقتي الموقعين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد منتصف AB: ((2+8)/2, (3+7)/2) = (5, 5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 17لكابل دعم متجه اتجاه (1, 2, 2)، وهو مثبت بأرضية أفقية متجهها العمودي (0, 0, 1). أوجد الزاوية التي يصنعها الكابل مع الأرضية.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 18تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لكابل دعم متجه اتجاه (1, 2, 2)، وهو مثبت بأرضية أفقية متجهها العمودي (0, 0, 1). أوجد الزاوية التي يصنعها الكابل مع الأرضية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الزاوية بين اتجاه الكابل والمتجه العمودي باستخدام الضرب القياسي: cos(φ) = |d·n|/(|d||n|).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 19أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 1, 1) إلى الخط المار بـA(0, 0, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).نمط الورقة 3 (موسّعة)متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 20تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 1, 1) إلى الخط المار بـA(0, 0, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد المتجه AP = (1, 1, 1).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 21لمتوازي مستطيلات أبعاده 6 سم × 8 سم × 10 سم. أوجد الزاوية بين القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات وقاعدته.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 22تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتوازي مستطيلات أبعاده 6 سم × 8 سم × 10 سم. أوجد الزاوية بين القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات وقاعدته.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد قطر القاعدة: √(6² + 8²) = 10 سم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 23توجد ثلاثة أبراج هاتف محمول عند A(0, 0)، وB(6, 0)، وC(3, 5). يتصل هاتف عند النقطة P(2, 2) بأي برج أقرب. احسب المسافة من P إلى كل برج، وحدد البرج الذي يتصل به الهاتف.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 24تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «توجد ثلاثة أبراج هاتف محمول عند A(0, 0)، وB(6, 0)، وC(3, 5). يتصل هاتف عند النقطة P(2, 2) بأي برج أقرب. احسب المسافة من P إلى كل برج، وحدد البرج الذي يتصل به الهاتف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب PA = √(2² + 2²) ≈ 2.83.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 25لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). حدد ما إذا كانت النقطة (7, −1, 7) تقع على هذا الخط.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 26تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). حدد ما إذا كانت النقطة (7, −1, 7) تقع على هذا الخط.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد ثلاث معادلات: 1 + 2t = 7، وَ2 − t = −1، وَ3 + t = 7.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 27أوجد المتجه الوحدة في اتجاه v = (3, −4, 12).نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 28تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المتجه الوحدة في اتجاه v = (3, −4, 12).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب المقدار |v| = √(3² + (−4)² + 12²) = √169 = 13.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 29أوجد الزاوية بين خطين متجها اتجاههما d1 = (1, 1, 1) وَd2 = (2, −1, 1).نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 30تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين خطين متجها اتجاههما d1 = (1, 1, 1) وَd2 = (2, −1, 1).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب d1·d2 = (1)(2) + (1)(−1) + (1)(1) = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 31لقارب سرعة (6, 0) كم/سا بالنسبة للماء (متجهاً شرقاً تماماً)، بينما تيار سرعته (1, 2) كم/سا. أوجد متجه سرعة القارب المحصلة بالنسبة للأرض، وسرعته، واتجاهه.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 32تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لقارب سرعة (6, 0) كم/سا بالنسبة للماء (متجهاً شرقاً تماماً)، بينما تيار سرعته (1, 2) كم/سا. أوجد متجه سرعة القارب المحصلة بالنسبة للأرض، وسرعته، واتجاهه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع متجهي السرعة: (6, 0) + (1, 2) = (7, 2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+