الرياضيات: التطبيقات والتفسير HL
الهندسة وحساب المثلثات: المتجهات — الموضوع 3 HL
- 1.
لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). أوجد إحداثيات النقطة على الخط عندما t = 2.
[2 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). أوجد إحداثيات النقطة على الخط عندما t = 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض t = 2 في كل مركبة: x = 1 + 2(2)، وy = 2 − 2، وz = 3 + 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] - 3.
أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 2, 2)، باستخدام الضرب القياسي.
[4 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 2, 2)، باستخدام الضرب القياسي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب a·b = (3)(1) + (4)(2) + (0)(2) = 11.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 5.
أوجد الضرب المتجهي a × b لـ a = (2, 0, 0) وb = (1, 3, 0)، ومن ثم أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي يُكوّنه هذان المتجهان.
[4 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الضرب المتجهي a × b لـ a = (2, 0, 0) وb = (1, 3, 0)، ومن ثم أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي يُكوّنه هذان المتجهان.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الضرب المتجهي a × b = (a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 7.
للمثلث ABC رؤوس A(0, 0, 0)، وB(4, 0, 0)، وC(0, 3, 0). استخدم الضرب المتجهي للمتجهين AB وAC لإيجاد مساحة المثلث.
[4 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمثلث ABC رؤوس A(0, 0, 0)، وB(4, 0, 0)، وC(0, 3, 0). استخدم الضرب المتجهي للمتجهين AB وAC لإيجاد مساحة المثلث.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد AB = (4, 0, 0) وAC = (0, 3, 0).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 9.
أوجد الإسقاط القياسي للمتجه a = (3, 4) على المتجه b = (1, 0).
[3 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الإسقاط القياسي للمتجه a = (3, 4) على المتجه b = (1, 0).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الإسقاط القياسي: (a·b)/|b|.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 11.
أوجد المسافة بين النقطتين A(1, 2, 3) وB(4, 6, 3) في الفراغ ثلاثي الأبعاد.
[2 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المسافة بين النقطتين A(1, 2, 3) وB(4, 6, 3) في الفراغ ثلاثي الأبعاد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المسافة ثلاثية الأبعاد √[(x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] - 13.
للخط 1 معادلة متجهية r = (1, 1, 0) + t(1, 2, 0). وللخط 2 معادلة متجهية r = (0, 3, 0) + s(1, −1, 0). حدد ما إذا كان الخطان يتقاطعان، وإذا كان الأمر كذلك، أوجد نقطة التقاطع.
[5 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للخط 1 معادلة متجهية r = (1, 1, 0) + t(1, 2, 0). وللخط 2 معادلة متجهية r = (0, 3, 0) + s(1, −1, 0). حدد ما إذا كان الخطان يتقاطعان، وإذا كان الأمر كذلك، أوجد نقطة التقاطع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مساواة المركبتين السينيتين: 1 + t = s.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 15.
يُستخدم موقعان A(2, 3) وB(8, 7) لتوليد جزء من مخطط فورونوي. أوجد معادلة العمود المنصف لـAB، الذي يُشكّل الحد بين منطقتي الموقعين.
[5 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُستخدم موقعان A(2, 3) وB(8, 7) لتوليد جزء من مخطط فورونوي. أوجد معادلة العمود المنصف لـAB، الذي يُشكّل الحد بين منطقتي الموقعين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد منتصف AB: ((2+8)/2, (3+7)/2) = (5, 5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 17.
لكابل دعم متجه اتجاه (1, 2, 2)، وهو مثبت بأرضية أفقية متجهها العمودي (0, 0, 1). أوجد الزاوية التي يصنعها الكابل مع الأرضية.
[4 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لكابل دعم متجه اتجاه (1, 2, 2)، وهو مثبت بأرضية أفقية متجهها العمودي (0, 0, 1). أوجد الزاوية التي يصنعها الكابل مع الأرضية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الزاوية بين اتجاه الكابل والمتجه العمودي باستخدام الضرب القياسي: cos(φ) = |d·n|/(|d||n|).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 19.
أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 1, 1) إلى الخط المار بـA(0, 0, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).
[5 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 1, 1) إلى الخط المار بـA(0, 0, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد المتجه AP = (1, 1, 1).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 21.
لمتوازي مستطيلات أبعاده 6 سم × 8 سم × 10 سم. أوجد الزاوية بين القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات وقاعدته.
[4 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتوازي مستطيلات أبعاده 6 سم × 8 سم × 10 سم. أوجد الزاوية بين القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات وقاعدته.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد قطر القاعدة: √(6² + 8²) = 10 سم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 23.
توجد ثلاثة أبراج هاتف محمول عند A(0, 0)، وB(6, 0)، وC(3, 5). يتصل هاتف عند النقطة P(2, 2) بأي برج أقرب. احسب المسافة من P إلى كل برج، وحدد البرج الذي يتصل به الهاتف.
[4 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «توجد ثلاثة أبراج هاتف محمول عند A(0, 0)، وB(6, 0)، وC(3, 5). يتصل هاتف عند النقطة P(2, 2) بأي برج أقرب. احسب المسافة من P إلى كل برج، وحدد البرج الذي يتصل به الهاتف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب PA = √(2² + 2²) ≈ 2.83.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 25.
لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). حدد ما إذا كانت النقطة (7, −1, 7) تقع على هذا الخط.
[4 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). حدد ما إذا كانت النقطة (7, −1, 7) تقع على هذا الخط.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد ثلاث معادلات: 1 + 2t = 7، وَ2 − t = −1، وَ3 + t = 7.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 27.
أوجد المتجه الوحدة في اتجاه v = (3, −4, 12).
[3 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المتجه الوحدة في اتجاه v = (3, −4, 12).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب المقدار |v| = √(3² + (−4)² + 12²) = √169 = 13.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 29.
أوجد الزاوية بين خطين متجها اتجاههما d1 = (1, 1, 1) وَd2 = (2, −1, 1).
[4 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين خطين متجها اتجاههما d1 = (1, 1, 1) وَd2 = (2, −1, 1).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب d1·d2 = (1)(2) + (1)(−1) + (1)(1) = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 31.
لقارب سرعة (6, 0) كم/سا بالنسبة للماء (متجهاً شرقاً تماماً)، بينما تيار سرعته (1, 2) كم/سا. أوجد متجه سرعة القارب المحصلة بالنسبة للأرض، وسرعته، واتجاهه.
[5 درجة] - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لقارب سرعة (6, 0) كم/سا بالنسبة للماء (متجهاً شرقاً تماماً)، بينما تيار سرعته (1, 2) كم/سا. أوجد متجه سرعة القارب المحصلة بالنسبة للأرض، وسرعته، واتجاهه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع متجهي السرعة: (6, 0) + (1, 2) = (7, 2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]