الرياضيات: التطبيقات والتفسير HL
الهندسة وحساب المثلثات: المتجهات — الموضوع 3 HL
- 1.
لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). أوجد إحداثيات النقطة على الخط عندما t = 2.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- تعويض t = 2 في كل مركبة: x = 1 + 2(2)، وy = 2 − 2، وz = 3 + 2.
- الحصول على النقطة (5, 0, 5).
ملاحظة الفاحص: تجمع المعادلة المتجهية للخط نقطة معلومة ومتجه اتجاه معاً — يُنتج تعويض أي قيمة للمعلمة t نقطة محددة على الخط.
- 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). أوجد إحداثيات النقطة على الخط عندما t = 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض t = 2 في كل مركبة: x = 1 + 2(2)، وy = 2 − 2، وz = 3 + 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تعويض t = 2 في كل مركبة: x = 1 + 2(2)، وy = 2 − 2، وz = 3 + 2.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على النقطة (5, 0, 5).
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 3.
أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 2, 2)، باستخدام الضرب القياسي.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- حساب a·b = (3)(1) + (4)(2) + (0)(2) = 11.
- حساب |a| = √(9+16+0) = 5 وَ|b| = √(1+4+4) = 3.
- استخدام cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) = 11/15.
- الحصول على θ ≈ 42.8°.
ملاحظة الفاحص: تعمل صيغة الضرب القياسي لإيجاد الزاوية بين متجهين في أي عدد من الأبعاد — تنطبق الطريقة نفسها سواء كانت المتجهات ثنائية أم ثلاثية الأبعاد.
- 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 2, 2)، باستخدام الضرب القياسي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب a·b = (3)(1) + (4)(2) + (0)(2) = 11.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب a·b = (3)(1) + (4)(2) + (0)(2) = 11.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب |a| = √(9+16+0) = 5 وَ|b| = √(1+4+4) = 3.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) = 11/15.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ ≈ 42.8°.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 5.
أوجد الضرب المتجهي a × b لـ a = (2, 0, 0) وb = (1, 3, 0)، ومن ثم أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي يُكوّنه هذان المتجهان.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام صيغة الضرب المتجهي a × b = (a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1).
- الحصول على a × b = (0, 0, 6).
- تحديد أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي |a × b|.
- الحصول على مساحة 6 وحدات مربعة.
ملاحظة الفاحص: يعطي مقدار الضرب المتجهي لمتجهين دائماً مساحة متوازي الأضلاع الذي يمتدانه — تنصيفه يعطي مساحة المثلث الذي يُكوّنه المتجهان نفسهما.
- 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الضرب المتجهي a × b لـ a = (2, 0, 0) وb = (1, 3, 0)، ومن ثم أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي يُكوّنه هذان المتجهان.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الضرب المتجهي a × b = (a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة الضرب المتجهي a × b = (a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على a × b = (0, 0, 6).
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي |a × b|.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة 6 وحدات مربعة.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 7.
للمثلث ABC رؤوس A(0, 0, 0)، وB(4, 0, 0)، وC(0, 3, 0). استخدم الضرب المتجهي للمتجهين AB وAC لإيجاد مساحة المثلث.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- إيجاد AB = (4, 0, 0) وAC = (0, 3, 0).
- حساب AB × AC = (0, 0, 12).
- استخدام صيغة مساحة المثلث = (1/2)|AB × AC|.
- الحصول على مساحة 6 وحدات مربعة.
ملاحظة الفاحص: حتى بالنسبة لمثلث يقع مسطحاً في المستوى z = 0، تعمل طريقة الضرب المتجهي الكاملة ثلاثية الأبعاد بشكل صحيح وتعمم فوراً على المثلثات غير المسطحة.
- 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمثلث ABC رؤوس A(0, 0, 0)، وB(4, 0, 0)، وC(0, 3, 0). استخدم الضرب المتجهي للمتجهين AB وAC لإيجاد مساحة المثلث.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد AB = (4, 0, 0) وAC = (0, 3, 0).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد AB = (4, 0, 0) وAC = (0, 3, 0).
- يحدد المتطلب الناقص: حساب AB × AC = (0, 0, 12).
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام صيغة مساحة المثلث = (1/2)|AB × AC|.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة 6 وحدات مربعة.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 9.
أوجد الإسقاط القياسي للمتجه a = (3, 4) على المتجه b = (1, 0).
[3 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام صيغة الإسقاط القياسي: (a·b)/|b|.
- حساب a·b = (3)(1) + (4)(0) = 3، وَ|b| = 1.
- الحصول على إسقاط قياسي يساوي 3.
ملاحظة الفاحص: يقيس الإسقاط القياسي لـa على b مدى امتداد a في اتجاه b — فهو يساوي طول الظل الذي يُلقيه a على الخط المار بـb.
- 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الإسقاط القياسي للمتجه a = (3, 4) على المتجه b = (1, 0).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الإسقاط القياسي: (a·b)/|b|.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة الإسقاط القياسي: (a·b)/|b|.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب a·b = (3)(1) + (4)(0) = 3، وَ|b| = 1.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على إسقاط قياسي يساوي 3.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 11.
أوجد المسافة بين النقطتين A(1, 2, 3) وB(4, 6, 3) في الفراغ ثلاثي الأبعاد.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام صيغة المسافة ثلاثية الأبعاد √[(x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²].
- التعويض للحصول على √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5.
ملاحظة الفاحص: صيغة المسافة ثلاثية الأبعاد هي ببساطة نظرية فيثاغورس مطبقة لبُعد إضافي — عندما تتساوى الإحداثيات z، تختزل تماماً إلى الصيغة ثنائية الأبعاد المألوفة.
- 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المسافة بين النقطتين A(1, 2, 3) وB(4, 6, 3) في الفراغ ثلاثي الأبعاد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المسافة ثلاثية الأبعاد √[(x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة المسافة ثلاثية الأبعاد √[(x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²].
- يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 13.
للخط 1 معادلة متجهية r = (1, 1, 0) + t(1, 2, 0). وللخط 2 معادلة متجهية r = (0, 3, 0) + s(1, −1, 0). حدد ما إذا كان الخطان يتقاطعان، وإذا كان الأمر كذلك، أوجد نقطة التقاطع.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- مساواة المركبتين السينيتين: 1 + t = s.
- مساواة المركبتين الصاديتين: 1 + 2t = 3 − s.
- تعويض s = 1 + t في المعادلة الثانية والحل للحصول على t = 1/3.
- إيجاد s = 4/3، والتأكد من أن كلا المعلمتين تعطيان النقطة نفسها (بما أن المركبتين الصاديتين كلتيهما 0، لا يحدث تناقض).
- تحديد نقطة التقاطع بـ (4/3, 5/3, 0).
ملاحظة الفاحص: في ثلاثة أبعاد، قد لا يتقاطع خطان حتى لو بدت معادلاهما متشابهتين — تحقق دائماً من أن معادلات الإحداثيات الثلاث جميعها تتحقق بقيم المعلمتين نفسها قبل الاستنتاج بأن الخطين يلتقيان.
- 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للخط 1 معادلة متجهية r = (1, 1, 0) + t(1, 2, 0). وللخط 2 معادلة متجهية r = (0, 3, 0) + s(1, −1, 0). حدد ما إذا كان الخطان يتقاطعان، وإذا كان الأمر كذلك، أوجد نقطة التقاطع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مساواة المركبتين السينيتين: 1 + t = s.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: مساواة المركبتين السينيتين: 1 + t = s.
- يحدد المتطلب الناقص: مساواة المركبتين الصاديتين: 1 + 2t = 3 − s.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض s = 1 + t في المعادلة الثانية والحل للحصول على t = 1/3.
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد s = 4/3، والتأكد من أن كلا المعلمتين تعطيان النقطة نفسها (بما أن المركبتين الصاديتين كلتيهما 0، لا يحدث تناقض).
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد نقطة التقاطع بـ (4/3, 5/3, 0).
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 15.
يُستخدم موقعان A(2, 3) وB(8, 7) لتوليد جزء من مخطط فورونوي. أوجد معادلة العمود المنصف لـAB، الذي يُشكّل الحد بين منطقتي الموقعين.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- إيجاد منتصف AB: ((2+8)/2, (3+7)/2) = (5, 5).
- إيجاد ميل AB: (7−3)/(8−2) = 2/3.
- إيجاد الميل العمودي بصفته مقلوباً سالباً: −3/2.
- استخدام صيغة النقطة والميل عبر (5, 5) بميل −3/2.
- تحديد معادلة العمود المنصف y − 5 = −1.5(x − 5).
ملاحظة الفاحص: يقع كل ضلع من مخطط فورونوي على العمود المنصف للقطعة الواصلة بين موقعين متجاورين — تكون النقاط على هذا الخط متساوية البعد عن كلا الموقعين.
- 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُستخدم موقعان A(2, 3) وB(8, 7) لتوليد جزء من مخطط فورونوي. أوجد معادلة العمود المنصف لـAB، الذي يُشكّل الحد بين منطقتي الموقعين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد منتصف AB: ((2+8)/2, (3+7)/2) = (5, 5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد منتصف AB: ((2+8)/2, (3+7)/2) = (5, 5).
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد ميل AB: (7−3)/(8−2) = 2/3.
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد الميل العمودي بصفته مقلوباً سالباً: −3/2.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام صيغة النقطة والميل عبر (5, 5) بميل −3/2.
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد معادلة العمود المنصف y − 5 = −1.5(x − 5).
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 17.
لكابل دعم متجه اتجاه (1, 2, 2)، وهو مثبت بأرضية أفقية متجهها العمودي (0, 0, 1). أوجد الزاوية التي يصنعها الكابل مع الأرضية.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- إيجاد الزاوية بين اتجاه الكابل والمتجه العمودي باستخدام الضرب القياسي: cos(φ) = |d·n|/(|d||n|).
- حساب |d·n| = 2، و|d| = 3، و|n| = 1، فيُعطى cos(φ) = 2/3.
- استخدام العلاقة بين الزاوية مع العمودي والزاوية مع المستوى: الزاوية مع الأرضية = 90° − φ، أو بشكل مكافئ sin(الزاوية) = 2/3.
- الحصول على زاوية تقارب 41.8° مع الأرضية.
ملاحظة الفاحص: تُقاس الزاوية بين خط ومستوى من المستوى نفسه دائماً، وليس من عمودي المستوى — تذكّر طرح الزاوية الموجودة مع العمودي من 90°، أو استخدام الجيب بدلاً من جيب التمام مباشرة بشكل مكافئ.
- 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لكابل دعم متجه اتجاه (1, 2, 2)، وهو مثبت بأرضية أفقية متجهها العمودي (0, 0, 1). أوجد الزاوية التي يصنعها الكابل مع الأرضية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الزاوية بين اتجاه الكابل والمتجه العمودي باستخدام الضرب القياسي: cos(φ) = |d·n|/(|d||n|).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد الزاوية بين اتجاه الكابل والمتجه العمودي باستخدام الضرب القياسي: cos(φ) = |d·n|/(|d||n|).
- يحدد المتطلب الناقص: حساب |d·n| = 2، و|d| = 3، و|n| = 1، فيُعطى cos(φ) = 2/3.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام العلاقة بين الزاوية مع العمودي والزاوية مع المستوى: الزاوية مع الأرضية = 90° − φ، أو بشكل مكافئ sin(الزاوية) = 2/3.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على زاوية تقارب 41.8° مع الأرضية.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 19.
أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 1, 1) إلى الخط المار بـA(0, 0, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).
[5 درجة]نقاط التصحيح
- إيجاد المتجه AP = (1, 1, 1).
- استخدام الصيغة المسافة = |AP × d|/|d|.
- حساب AP × d = (1×0−1×1, 1×1−1×0, 1×1−1×1) = (−1, 1, 0).
- حساب |AP × d| = √2 وَ|d| = √2.
- الحصول على أقصر مسافة تساوي 1.
ملاحظة الفاحص: تعمل الصيغة |AP × d|/|d| لأن مقدار الضرب المتجهي يعطي مساحة متوازي الأضلاع الذي يمتده AP وd، والقسمة على طول القاعدة |d| تحوّل تلك المساحة إلى ارتفاع عمودي.
- 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 1, 1) إلى الخط المار بـA(0, 0, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد المتجه AP = (1, 1, 1).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد المتجه AP = (1, 1, 1).
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام الصيغة المسافة = |AP × d|/|d|.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب AP × d = (1×0−1×1, 1×1−1×0, 1×1−1×1) = (−1, 1, 0).
- يحدد المتطلب الناقص: حساب |AP × d| = √2 وَ|d| = √2.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على أقصر مسافة تساوي 1.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 21.
لمتوازي مستطيلات أبعاده 6 سم × 8 سم × 10 سم. أوجد الزاوية بين القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات وقاعدته.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- إيجاد قطر القاعدة: √(6² + 8²) = 10 سم.
- إيجاد القطر الفراغي: √(6² + 8² + 10²) ≈ 14.14 سم.
- استخدام tan(الزاوية) = الارتفاع/قطر القاعدة = 10/10.
- الحصول على زاوية 45°.
ملاحظة الفاحص: عندما يساوي الارتفاع الرأسي قطر القاعدة، كما يحدث هنا، تكون الزاوية مع القاعدة دائماً 45° بالضبط — نمط مفيد يُتعرّف عليه بسرعة.
- 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتوازي مستطيلات أبعاده 6 سم × 8 سم × 10 سم. أوجد الزاوية بين القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات وقاعدته.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد قطر القاعدة: √(6² + 8²) = 10 سم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد قطر القاعدة: √(6² + 8²) = 10 سم.
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد القطر الفراغي: √(6² + 8² + 10²) ≈ 14.14 سم.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام tan(الزاوية) = الارتفاع/قطر القاعدة = 10/10.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على زاوية 45°.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 23.
توجد ثلاثة أبراج هاتف محمول عند A(0, 0)، وB(6, 0)، وC(3, 5). يتصل هاتف عند النقطة P(2, 2) بأي برج أقرب. احسب المسافة من P إلى كل برج، وحدد البرج الذي يتصل به الهاتف.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- حساب PA = √(2² + 2²) ≈ 2.83.
- حساب PB = √(4² + 2²) ≈ 4.47.
- حساب PC = √(1² + 3²) ≈ 3.16.
- تحديد أنه بما أن PA أصغر مسافة، يتصل الهاتف بالبرج A.
ملاحظة الفاحص: هذا المنطق 'الموقع الأقرب' هو بالضبط ما يُمثّله مخطط فورونوي بصرياً — تُظهر كل منطقة في المخطط كل نقطة أقرب إلى موقع معين من أي موقع آخر.
- 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «توجد ثلاثة أبراج هاتف محمول عند A(0, 0)، وB(6, 0)، وC(3, 5). يتصل هاتف عند النقطة P(2, 2) بأي برج أقرب. احسب المسافة من P إلى كل برج، وحدد البرج الذي يتصل به الهاتف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب PA = √(2² + 2²) ≈ 2.83.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب PA = √(2² + 2²) ≈ 2.83.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب PB = √(4² + 2²) ≈ 4.47.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب PC = √(1² + 3²) ≈ 3.16.
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد أنه بما أن PA أصغر مسافة، يتصل الهاتف بالبرج A.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 25.
لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). حدد ما إذا كانت النقطة (7, −1, 7) تقع على هذا الخط.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- إعداد ثلاث معادلات: 1 + 2t = 7، وَ2 − t = −1، وَ3 + t = 7.
- حل المعادلة الأولى للحصول على t = 3، والثانية للحصول على t = 3.
- حل المعادلة الثالثة للحصول على t = 4، وهي غير متسقة مع المعادلتين الأخريين.
- الاستنتاج بأنه بما أنه لا توجد قيمة واحدة لـt تحقق المعادلات الثلاث جميعها، فإن النقطة لا تقع على الخط.
ملاحظة الفاحص: للتحقق مما إذا كانت نقطة تقع على خط ثلاثي الأبعاد، يجب أن تعطي معادلات الإحداثيات الثلاث جميعها القيمة نفسها للمعلمة — لا يكفي الاتفاق في إحداثي أو إحداثيين فقط.
- 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط معادلته المتجهية r = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1). حدد ما إذا كانت النقطة (7, −1, 7) تقع على هذا الخط.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد ثلاث معادلات: 1 + 2t = 7، وَ2 − t = −1، وَ3 + t = 7.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعداد ثلاث معادلات: 1 + 2t = 7، وَ2 − t = −1، وَ3 + t = 7.
- يحدد المتطلب الناقص: حل المعادلة الأولى للحصول على t = 3، والثانية للحصول على t = 3.
- يحدد المتطلب الناقص: حل المعادلة الثالثة للحصول على t = 4، وهي غير متسقة مع المعادلتين الأخريين.
- يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج بأنه بما أنه لا توجد قيمة واحدة لـt تحقق المعادلات الثلاث جميعها، فإن النقطة لا تقع على الخط.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 27.
أوجد المتجه الوحدة في اتجاه v = (3, −4, 12).
[3 درجة]نقاط التصحيح
- حساب المقدار |v| = √(3² + (−4)² + 12²) = √169 = 13.
- قسمة كل مركبة على المقدار.
- الحصول على متجه الوحدة (3/13, −4/13, 12/13).
ملاحظة الفاحص: يمتلك متجه الوحدة دائماً مقداراً يساوي 1 ويشير في الاتجاه نفسه للمتجه الأصلي — القسمة على المقدار هي الخطوة الوحيدة اللازمة، ولا يحدث أي تغيير في الاتجاه.
- 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المتجه الوحدة في اتجاه v = (3, −4, 12).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب المقدار |v| = √(3² + (−4)² + 12²) = √169 = 13.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب المقدار |v| = √(3² + (−4)² + 12²) = √169 = 13.
- يحدد المتطلب الناقص: قسمة كل مركبة على المقدار.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على متجه الوحدة (3/13, −4/13, 12/13).
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 29.
أوجد الزاوية بين خطين متجها اتجاههما d1 = (1, 1, 1) وَd2 = (2, −1, 1).
[4 درجة]نقاط التصحيح
- حساب d1·d2 = (1)(2) + (1)(−1) + (1)(1) = 2.
- حساب |d1| = √3 وَ|d2| = √6.
- استخدام cos(θ) = 2/(√3 × √6) ≈ 0.471.
- الحصول على θ ≈ 61.9°.
ملاحظة الفاحص: تُوجد الزاوية بين خطين في الفراغ من متجهي اتجاههما فقط — لا تؤثر النقاط المحددة التي يمر بها الخطان على هذه الزاوية إطلاقاً.
- 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين خطين متجها اتجاههما d1 = (1, 1, 1) وَd2 = (2, −1, 1).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب d1·d2 = (1)(2) + (1)(−1) + (1)(1) = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب d1·d2 = (1)(2) + (1)(−1) + (1)(1) = 2.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب |d1| = √3 وَ|d2| = √6.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos(θ) = 2/(√3 × √6) ≈ 0.471.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ ≈ 61.9°.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 31.
لقارب سرعة (6, 0) كم/سا بالنسبة للماء (متجهاً شرقاً تماماً)، بينما تيار سرعته (1, 2) كم/سا. أوجد متجه سرعة القارب المحصلة بالنسبة للأرض، وسرعته، واتجاهه.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- جمع متجهي السرعة: (6, 0) + (1, 2) = (7, 2).
- تحديد متجه السرعة المحصلة بـ (7, 2) كم/سا.
- حساب السرعة بـ √(7² + 2²) ≈ 7.28 كم/سا.
- حساب الاتجاه باستخدام الزاوية من الشمال: الاتجاه = 90° − arctan(2/7).
- الحصول على اتجاه يقارب 074°.
ملاحظة الفاحص: تجمع مسائل السرعة النسبية دائماً سرعة الجسم بالنسبة للوسط مع سرعة الوسط بالنسبة للأرض — عامل كل سرعة بوصفها متجهاً واجمع مركبةً مركبةً.
- 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لقارب سرعة (6, 0) كم/سا بالنسبة للماء (متجهاً شرقاً تماماً)، بينما تيار سرعته (1, 2) كم/سا. أوجد متجه سرعة القارب المحصلة بالنسبة للأرض، وسرعته، واتجاهه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع متجهي السرعة: (6, 0) + (1, 2) = (7, 2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: جمع متجهي السرعة: (6, 0) + (1, 2) = (7, 2).
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد متجه السرعة المحصلة بـ (7, 2) كم/سا.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب السرعة بـ √(7² + 2²) ≈ 7.28 كم/سا.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب الاتجاه باستخدام الزاوية من الشمال: الاتجاه = 90° − arctan(2/7).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على اتجاه يقارب 074°.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.