المصفوفات وسلاسل ماركوف

تصنيف الأوراق هنا غير رسمي وأعددناه بأنفسنا، ونطبّقه فقط حيث يطابق شكل السؤال فعلاً اتفاقية ورقة حقيقية (مثل تقسيم رياضيات IB AA بين بدون آلة حاسبة وبآلة حاسبة). لا يمثل توزيع الأوراق أو ترقيمها الرسمي في الامتحان الفعلي، والأسئلة غير المؤكدة تُصنَّف كـ«تدريب عام».

• 1بمعلومية A = [[2, 3], [−1, 4]] وB = [[5, −2], [0, 3]]، أوجد (أ) A + B و(ب) A − B.نمط الورقة 1سهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 2تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية A = [[2, 3], [−1, 4]] وB = [[5, −2], [0, 3]]، أوجد (أ) A + B و(ب) A − B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع العناصر المتناظرة للحصول على A + B = [[7, 1], [−1, 7]].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 3بمعلومية A = [[1, 2], [3, 4]] وB = [[2, 0], [1, 3]]، أوجد حاصل الضرب AB.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 4تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية A = [[1, 2], [3, 4]] وB = [[2, 0], [1, 3]]، أوجد حاصل الضرب AB.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب الصف 1 من A في كل عمود من B: (1×2 + 2×1, 1×0 + 2×3) = (4, 6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 5أوجد محدد المصفوفة A = [[4, 7], [2, 6]].نمط الورقة 1سهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 6تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد محدد المصفوفة A = [[4, 7], [2, 6]].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام det(A) = ad − bc = (4)(6) − (7)(2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 7أوجد معكوس المصفوفة A = [[3, 5], [1, 2]].نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 8تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معكوس المصفوفة A = [[3, 5], [1, 2]].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب det(A) = (3)(2) − (5)(1) = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 9استخدم أسلوب المصفوفات لحل المعادلتين الآنيتين 2x + 3y = 12 وx − y = 1.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 10تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم أسلوب المصفوفات لحل المعادلتين الآنيتين 2x + 3y = 12 وx − y = 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة النظام بالصورة المصفوفية [[2, 3], [1, −1]][x, y]ᵀ = [12, 1]ᵀ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 11أوجد محدد المصفوفة 3×3: A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]].نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 12تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد محدد المصفوفة 3×3: A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التوسيع على طول الصف الأول: det(A) = 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 13بمعلومية A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] وB = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]، أوجد حاصل الضرب AB، مع تحديد أبعاده.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 14تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] وB = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]، أوجد حاصل الضرب AB، مع تحديد أبعاده.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التأكد من أن الضرب معرَّف لأن A بأبعاد 2×3 وB بأبعاد 3×2، فيكون AB بأبعاد 2×2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 15آلة تكون دائماً في إحدى حالتين: تعمل (W) أو معطلة (B). إذا كانت تعمل في يوم معين، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.8. وإذا كانت معطلة، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.3. الآلة تعمل اليوم. استخدم مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]] ومتجه الحالة [1, 0] لإيجاد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 16تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «آلة تكون دائماً في إحدى حالتين: تعمل (W) أو معطلة (B). إذا كانت تعمل في يوم معين، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.8. وإذا كانت معطلة، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.3. الآلة تعمل اليوم. استخدم مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]] ومتجه الحالة [1, 0] لإيجاد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب متجه الحالة الصف في مصفوفة الانتقال: [1, 0] × P.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 17باستخدام الآلة نفسها من السؤال السابق (مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، وحالة البداية [1, 0] للعمل اليوم)، أوجد التوزيع الاحتمالي لما بعد غد (بعد يومين).نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 18تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «باستخدام الآلة نفسها من السؤال السابق (مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، وحالة البداية [1, 0] للعمل اليوم)، أوجد التوزيع الاحتمالي لما بعد غد (بعد يومين).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام متجه حالة الغد [0.8, 0.2] الذي وُجد سابقاً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 19لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، أوجد التوزيع الاحتمالي للحالة المستقرة (طويل المدى) π = [π₁, π₂]، باستخدام πP = π وπ₁ + π₂ = 1.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 20تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، أوجد التوزيع الاحتمالي للحالة المستقرة (طويل المدى) π = [π₁, π₂]، باستخدام πP = π وπ₁ + π₂ = 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد معادلات الحالة المستقرة من πP = π: 0.8π₁ + 0.3π₂ = π₁ وَ0.2π₁ + 0.7π₂ = π₂.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 21لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، احسب P²، واشرح ما تمثله عناصر P² في سياق سلسلة ماركوف.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 22تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، احسب P²، واشرح ما تمثله عناصر P² في سياق سلسلة ماركوف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب P في نفسها للحصول على P² = [[0.70, 0.30], [0.45, 0.55]].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 23حل المعادلة المصفوفية AX = B من أجل المتجه العمودي X، حيث A = [[2, 1], [1, 1]] وB = [[8], [5]]، بإيجاد A⁻¹ واستخدام X = A⁻¹B.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 24تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة المصفوفية AX = B من أجل المتجه العمودي X، حيث A = [[2, 1], [1, 1]] وB = [[8], [5]]، بإيجاد A⁻¹ واستخدام X = A⁻¹B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب det(A) = (2)(1) − (1)(1) = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 25لنموذج طقس بثلاث حالات مصفوفة انتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] للحالات (مشمس، غائم، ممطر) على الترتيب. توزيع اليوم هو [0.5, 0.3, 0.2]. أوجد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 26تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لنموذج طقس بثلاث حالات مصفوفة انتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] للحالات (مشمس، غائم، ممطر) على الترتيب. توزيع اليوم هو [0.5, 0.3, 0.2]. أوجد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب متجه الحالة الصف [0.5, 0.3, 0.2] في مصفوفة الانتقال P.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 27يُصنَّف سكان مدينة بأنهم يعيشون في وسط المدينة (D) أو الضواحي (S). كل عام، ينتقل 40% من سكان وسط المدينة إلى الضواحي، وينتقل 50% من سكان الضواحي إلى وسط المدينة. مصفوفة الانتقال هي P = [[0.6, 0.4], [0.5, 0.5]]. إذا كان عدد السكان كله في وسط المدينة في البداية، [1, 0]، أوجد التوزيع بعد عامين.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 28تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُصنَّف سكان مدينة بأنهم يعيشون في وسط المدينة (D) أو الضواحي (S). كل عام، ينتقل 40% من سكان وسط المدينة إلى الضواحي، وينتقل 50% من سكان الضواحي إلى وسط المدينة. مصفوفة الانتقال هي P = [[0.6, 0.4], [0.5, 0.5]]. إذا كان عدد السكان كله في وسط المدينة في البداية، [1, 0]، أوجد التوزيع بعد عامين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب [1, 0] في P للحصول على التوزيع بعد عام واحد: [0.6, 0.4].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 29أثبت أن التوزيع المنتظم π = [1/3, 1/3, 1/3] هو توزيع الحالة المستقرة لمصفوفة الانتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] من سؤال سابق، بالتحقق من أن πP = π.نمط الورقة 3 (موسّعة)متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 30تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت أن التوزيع المنتظم π = [1/3, 1/3, 1/3] هو توزيع الحالة المستقرة لمصفوفة الانتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] من سؤال سابق، بالتحقق من أن πP = π.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب π = [1/3, 1/3, 1/3] في P.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 31اشرح ما يعنيه أن تكون سلسلة ماركوف 'منتظمة'، واشرح لماذا تتقارب سلسلة ماركوف المنتظمة دائماً إلى توزيع حالة مستقرة وحيد بغض النظر عن حالة بدايتها.نمط الورقة 1سهل3 درجاتبدون آلة+
• 32تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشرح ما يعنيه أن تكون سلسلة ماركوف 'منتظمة'، واشرح لماذا تتقارب سلسلة ماركوف المنتظمة دائماً إلى توزيع حالة مستقرة وحيد بغض النظر عن حالة بدايتها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «شرح أن سلسلة ماركوف منتظمة إذا كانت بعض قوى مصفوفة انتقالها ذات عناصر موجبة تماماً، مما يعني إمكانية الوصول في النهاية إلى كل حالة من كل حالة أخرى.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتبدون آلة+