الرياضيات: التطبيقات والتفسير HL
المصفوفات وسلاسل ماركوف — الموضوع 1 HL
- 1.
بمعلومية A = [[2, 3], [−1, 4]] وB = [[5, −2], [0, 3]]، أوجد (أ) A + B و(ب) A − B.
[2 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية A = [[2, 3], [−1, 4]] وB = [[5, −2], [0, 3]]، أوجد (أ) A + B و(ب) A − B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع العناصر المتناظرة للحصول على A + B = [[7, 1], [−1, 7]].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] - 3.
بمعلومية A = [[1, 2], [3, 4]] وB = [[2, 0], [1, 3]]، أوجد حاصل الضرب AB.
[3 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية A = [[1, 2], [3, 4]] وB = [[2, 0], [1, 3]]، أوجد حاصل الضرب AB.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب الصف 1 من A في كل عمود من B: (1×2 + 2×1, 1×0 + 2×3) = (4, 6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 5.
أوجد محدد المصفوفة A = [[4, 7], [2, 6]].
[2 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد محدد المصفوفة A = [[4, 7], [2, 6]].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام det(A) = ad − bc = (4)(6) − (7)(2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] - 7.
أوجد معكوس المصفوفة A = [[3, 5], [1, 2]].
[3 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معكوس المصفوفة A = [[3, 5], [1, 2]].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب det(A) = (3)(2) − (5)(1) = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 9.
استخدم أسلوب المصفوفات لحل المعادلتين الآنيتين 2x + 3y = 12 وx − y = 1.
[5 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم أسلوب المصفوفات لحل المعادلتين الآنيتين 2x + 3y = 12 وx − y = 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة النظام بالصورة المصفوفية [[2, 3], [1, −1]][x, y]ᵀ = [12, 1]ᵀ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 11.
أوجد محدد المصفوفة 3×3: A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]].
[4 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد محدد المصفوفة 3×3: A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التوسيع على طول الصف الأول: det(A) = 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 13.
بمعلومية A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] وB = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]، أوجد حاصل الضرب AB، مع تحديد أبعاده.
[4 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] وB = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]، أوجد حاصل الضرب AB، مع تحديد أبعاده.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التأكد من أن الضرب معرَّف لأن A بأبعاد 2×3 وB بأبعاد 3×2، فيكون AB بأبعاد 2×2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 15.
آلة تكون دائماً في إحدى حالتين: تعمل (W) أو معطلة (B). إذا كانت تعمل في يوم معين، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.8. وإذا كانت معطلة، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.3. الآلة تعمل اليوم. استخدم مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]] ومتجه الحالة [1, 0] لإيجاد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.
[3 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «آلة تكون دائماً في إحدى حالتين: تعمل (W) أو معطلة (B). إذا كانت تعمل في يوم معين، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.8. وإذا كانت معطلة، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.3. الآلة تعمل اليوم. استخدم مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]] ومتجه الحالة [1, 0] لإيجاد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب متجه الحالة الصف في مصفوفة الانتقال: [1, 0] × P.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 17.
باستخدام الآلة نفسها من السؤال السابق (مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، وحالة البداية [1, 0] للعمل اليوم)، أوجد التوزيع الاحتمالي لما بعد غد (بعد يومين).
[4 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «باستخدام الآلة نفسها من السؤال السابق (مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، وحالة البداية [1, 0] للعمل اليوم)، أوجد التوزيع الاحتمالي لما بعد غد (بعد يومين).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام متجه حالة الغد [0.8, 0.2] الذي وُجد سابقاً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 19.
لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، أوجد التوزيع الاحتمالي للحالة المستقرة (طويل المدى) π = [π₁, π₂]، باستخدام πP = π وπ₁ + π₂ = 1.
[5 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، أوجد التوزيع الاحتمالي للحالة المستقرة (طويل المدى) π = [π₁, π₂]، باستخدام πP = π وπ₁ + π₂ = 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد معادلات الحالة المستقرة من πP = π: 0.8π₁ + 0.3π₂ = π₁ وَ0.2π₁ + 0.7π₂ = π₂.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 21.
لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، احسب P²، واشرح ما تمثله عناصر P² في سياق سلسلة ماركوف.
[4 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، احسب P²، واشرح ما تمثله عناصر P² في سياق سلسلة ماركوف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب P في نفسها للحصول على P² = [[0.70, 0.30], [0.45, 0.55]].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 23.
حل المعادلة المصفوفية AX = B من أجل المتجه العمودي X، حيث A = [[2, 1], [1, 1]] وB = [[8], [5]]، بإيجاد A⁻¹ واستخدام X = A⁻¹B.
[5 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة المصفوفية AX = B من أجل المتجه العمودي X، حيث A = [[2, 1], [1, 1]] وB = [[8], [5]]، بإيجاد A⁻¹ واستخدام X = A⁻¹B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب det(A) = (2)(1) − (1)(1) = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 25.
لنموذج طقس بثلاث حالات مصفوفة انتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] للحالات (مشمس، غائم، ممطر) على الترتيب. توزيع اليوم هو [0.5, 0.3, 0.2]. أوجد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.
[5 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لنموذج طقس بثلاث حالات مصفوفة انتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] للحالات (مشمس، غائم، ممطر) على الترتيب. توزيع اليوم هو [0.5, 0.3, 0.2]. أوجد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب متجه الحالة الصف [0.5, 0.3, 0.2] في مصفوفة الانتقال P.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 27.
يُصنَّف سكان مدينة بأنهم يعيشون في وسط المدينة (D) أو الضواحي (S). كل عام، ينتقل 40% من سكان وسط المدينة إلى الضواحي، وينتقل 50% من سكان الضواحي إلى وسط المدينة. مصفوفة الانتقال هي P = [[0.6, 0.4], [0.5, 0.5]]. إذا كان عدد السكان كله في وسط المدينة في البداية، [1, 0]، أوجد التوزيع بعد عامين.
[4 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُصنَّف سكان مدينة بأنهم يعيشون في وسط المدينة (D) أو الضواحي (S). كل عام، ينتقل 40% من سكان وسط المدينة إلى الضواحي، وينتقل 50% من سكان الضواحي إلى وسط المدينة. مصفوفة الانتقال هي P = [[0.6, 0.4], [0.5, 0.5]]. إذا كان عدد السكان كله في وسط المدينة في البداية، [1, 0]، أوجد التوزيع بعد عامين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب [1, 0] في P للحصول على التوزيع بعد عام واحد: [0.6, 0.4].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 29.
أثبت أن التوزيع المنتظم π = [1/3, 1/3, 1/3] هو توزيع الحالة المستقرة لمصفوفة الانتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] من سؤال سابق، بالتحقق من أن πP = π.
[4 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت أن التوزيع المنتظم π = [1/3, 1/3, 1/3] هو توزيع الحالة المستقرة لمصفوفة الانتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] من سؤال سابق، بالتحقق من أن πP = π.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب π = [1/3, 1/3, 1/3] في P.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 31.
اشرح ما يعنيه أن تكون سلسلة ماركوف 'منتظمة'، واشرح لماذا تتقارب سلسلة ماركوف المنتظمة دائماً إلى توزيع حالة مستقرة وحيد بغض النظر عن حالة بدايتها.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشرح ما يعنيه أن تكون سلسلة ماركوف 'منتظمة'، واشرح لماذا تتقارب سلسلة ماركوف المنتظمة دائماً إلى توزيع حالة مستقرة وحيد بغض النظر عن حالة بدايتها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «شرح أن سلسلة ماركوف منتظمة إذا كانت بعض قوى مصفوفة انتقالها ذات عناصر موجبة تماماً، مما يعني إمكانية الوصول في النهاية إلى كل حالة من كل حالة أخرى.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة