الرياضيات: التطبيقات والتفسير HL

1. 1.

   بمعلومية A = [[2, 3], [−1, 4]] وB = [[5, −2], [0, 3]]، أوجد (أ) A + B و(ب) A − B.

   [2 درجة]

   نقاط التصحيح

   • جمع العناصر المتناظرة للحصول على A + B = [[7, 1], [−1, 7]].
   • طرح العناصر المتناظرة للحصول على A − B = [[−3, 5], [−1, 1]].

   ملاحظة الفاحص: لا يجمع ولا يطرح جمع المصفوفات وطرحها إلا العناصر في الموضع نفسه — يجب أن تكون للمصفوفتين الأبعاد نفسها كي يكون ذلك معرَّفاً.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية A = [[2, 3], [−1, 4]] وB = [[5, −2], [0, 3]]، أوجد (أ) A + B و(ب) A − B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع العناصر المتناظرة للحصول على A + B = [[7, 1], [−1, 7]].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [2 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: جمع العناصر المتناظرة للحصول على A + B = [[7, 1], [−1, 7]].
   • يحدد المتطلب الناقص: طرح العناصر المتناظرة للحصول على A − B = [[−3, 5], [−1, 1]].

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   بمعلومية A = [[1, 2], [3, 4]] وB = [[2, 0], [1, 3]]، أوجد حاصل الضرب AB.

   [3 درجة]

   نقاط التصحيح

   • ضرب الصف 1 من A في كل عمود من B: (1×2 + 2×1, 1×0 + 2×3) = (4, 6).
   • ضرب الصف 2 من A في كل عمود من B: (3×2 + 4×1, 3×0 + 4×3) = (10, 12).
   • تحديد AB = [[4, 6], [10, 12]].

   ملاحظة الفاحص: تذكّر أن ضرب المصفوفات ليس تبديلياً عموماً — يمكن أن يعطي AB وBA نتيجتين مختلفتين، لذا حافظ دائماً على الترتيب.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية A = [[1, 2], [3, 4]] وB = [[2, 0], [1, 3]]، أوجد حاصل الضرب AB.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب الصف 1 من A في كل عمود من B: (1×2 + 2×1, 1×0 + 2×3) = (4, 6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ضرب الصف 1 من A في كل عمود من B: (1×2 + 2×1, 1×0 + 2×3) = (4, 6).
   • يحدد المتطلب الناقص: ضرب الصف 2 من A في كل عمود من B: (3×2 + 4×1, 3×0 + 4×3) = (10, 12).
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد AB = [[4, 6], [10, 12]].

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   أوجد محدد المصفوفة A = [[4, 7], [2, 6]].

   [2 درجة]

   نقاط التصحيح

   • استخدام det(A) = ad − bc = (4)(6) − (7)(2).
   • الحصول على det(A) = 10.

   ملاحظة الفاحص: بالنسبة لمصفوفة 2×2 من الصورة [[a, b], [c, d]]، يُحسب المحدد ad − bc دائماً بوصفه حاصل ضرب القطر الرئيسي مطروحاً منه حاصل ضرب القطر الآخر.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد محدد المصفوفة A = [[4, 7], [2, 6]].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام det(A) = ad − bc = (4)(6) − (7)(2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [2 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام det(A) = ad − bc = (4)(6) − (7)(2).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على det(A) = 10.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   أوجد معكوس المصفوفة A = [[3, 5], [1, 2]].

   [3 درجة]

   نقاط التصحيح

   • حساب det(A) = (3)(2) − (5)(1) = 1.
   • استخدام صيغة المعكوس A⁻¹ = (1/det(A))[[d, −b], [−c, a]].
   • الحصول على A⁻¹ = [[2, −5], [−1, 3]].

   ملاحظة الفاحص: بدّل عنصري القطر الرئيسي، وانفِ إشارة العنصرين الآخرين، ثم اقسم كل عنصر على المحدد — لا يكون للمصفوفة معكوس إلا عندما يكون محددها غير صفري.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معكوس المصفوفة A = [[3, 5], [1, 2]].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب det(A) = (3)(2) − (5)(1) = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب det(A) = (3)(2) − (5)(1) = 1.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام صيغة المعكوس A⁻¹ = (1/det(A))[[d, −b], [−c, a]].
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على A⁻¹ = [[2, −5], [−1, 3]].

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   استخدم أسلوب المصفوفات لحل المعادلتين الآنيتين 2x + 3y = 12 وx − y = 1.

   [5 درجة]

   نقاط التصحيح

   • كتابة النظام بالصورة المصفوفية [[2, 3], [1, −1]][x, y]ᵀ = [12, 1]ᵀ.
   • حساب محدد مصفوفة المعاملات: (2)(−1) − (3)(1) = −5.
   • إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات.
   • ضرب المعكوس في متجه الثوابت [12, 1]ᵀ.
   • الحصول على x = 3، وy = 2.

   ملاحظة الفاحص: يعمل أسلوب المصفوفات لحل المعادلات الآنية بغض النظر عن عدد المتغيرات، طالما أن محدد مصفوفة المعاملات غير صفري — يمكن للآلة الحاسبة إجراء المعكوس والضرب مباشرة.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم أسلوب المصفوفات لحل المعادلتين الآنيتين 2x + 3y = 12 وx − y = 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة النظام بالصورة المصفوفية [[2, 3], [1, −1]][x, y]ᵀ = [12, 1]ᵀ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة النظام بالصورة المصفوفية [[2, 3], [1, −1]][x, y]ᵀ = [12, 1]ᵀ.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب محدد مصفوفة المعاملات: (2)(−1) − (3)(1) = −5.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات.
    • يحدد المتطلب الناقص: ضرب المعكوس في متجه الثوابت [12, 1]ᵀ.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x = 3، وy = 2.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    أوجد محدد المصفوفة 3×3: A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]].

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • التوسيع على طول الصف الأول: det(A) = 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5).
    • تقييم كل محدد ثانوي 2×2: 1(−24) − 2(−20) + 3(−5).
    • التبسيط إلى −24 + 40 − 15.
    • الحصول على det(A) = 1.

    ملاحظة الفاحص: يُقلّل التوسيع بالمتممات الجبرية على طول الصف أو العمود الذي يحتوي أكبر عدد من الأصفار كمية الحساب — لا يحتوي الصف الأول هنا على أصفار، لكن دالة المحدد في الآلة الحاسبة تتجنب هذا الاختيار تماماً.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد محدد المصفوفة 3×3: A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التوسيع على طول الصف الأول: det(A) = 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: التوسيع على طول الصف الأول: det(A) = 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5).
    • يحدد المتطلب الناقص: تقييم كل محدد ثانوي 2×2: 1(−24) − 2(−20) + 3(−5).
    • يحدد المتطلب الناقص: التبسيط إلى −24 + 40 − 15.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على det(A) = 1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    بمعلومية A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] وB = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]، أوجد حاصل الضرب AB، مع تحديد أبعاده.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • التأكد من أن الضرب معرَّف لأن A بأبعاد 2×3 وB بأبعاد 3×2، فيكون AB بأبعاد 2×2.
    • حساب الصف الأول من AB: (1×7+2×9+3×11, 1×8+2×10+3×12) = (58, 64).
    • حساب الصف الثاني من AB: (4×7+5×9+6×11, 4×8+5×10+6×12) = (139, 154).
    • تحديد AB = [[58, 64], [139, 154]].

    ملاحظة الفاحص: لا يمكن ضرب مصفوفتين إلا إذا كان عدد أعمدة الأولى يساوي عدد صفوف الثانية — تحقق من ذلك دائماً قبل محاولة الضرب.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] وB = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]، أوجد حاصل الضرب AB، مع تحديد أبعاده.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التأكد من أن الضرب معرَّف لأن A بأبعاد 2×3 وB بأبعاد 3×2، فيكون AB بأبعاد 2×2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: التأكد من أن الضرب معرَّف لأن A بأبعاد 2×3 وB بأبعاد 3×2، فيكون AB بأبعاد 2×2.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الصف الأول من AB: (1×7+2×9+3×11, 1×8+2×10+3×12) = (58, 64).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الصف الثاني من AB: (4×7+5×9+6×11, 4×8+5×10+6×12) = (139, 154).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد AB = [[58, 64], [139, 154]].

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    آلة تكون دائماً في إحدى حالتين: تعمل (W) أو معطلة (B). إذا كانت تعمل في يوم معين، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.8. وإذا كانت معطلة، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.3. الآلة تعمل اليوم. استخدم مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]] ومتجه الحالة [1, 0] لإيجاد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.

    [3 درجة]

    نقاط التصحيح

    • ضرب متجه الحالة الصف في مصفوفة الانتقال: [1, 0] × P.
    • الحصول على متجه الحالة الجديد [0.8, 0.2].
    • تفسير ذلك بأن هناك احتمال 80% أن تعمل الآلة غداً واحتمال 20% أن تكون معطلة.

    ملاحظة الفاحص: يعطي صف مصفوفة الانتقال المقابل للحالة الحالية احتمالات الفترة التالية مباشرة — يختار الضرب في متجه حالة يحتوي 1 واحداً ذلك الصف ببساطة.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «آلة تكون دائماً في إحدى حالتين: تعمل (W) أو معطلة (B). إذا كانت تعمل في يوم معين، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.8. وإذا كانت معطلة، فإن احتمال عملها في اليوم التالي 0.3. الآلة تعمل اليوم. استخدم مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]] ومتجه الحالة [1, 0] لإيجاد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب متجه الحالة الصف في مصفوفة الانتقال: [1, 0] × P.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ضرب متجه الحالة الصف في مصفوفة الانتقال: [1, 0] × P.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على متجه الحالة الجديد [0.8, 0.2].
    • يحدد المتطلب الناقص: تفسير ذلك بأن هناك احتمال 80% أن تعمل الآلة غداً واحتمال 20% أن تكون معطلة.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    باستخدام الآلة نفسها من السؤال السابق (مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، وحالة البداية [1, 0] للعمل اليوم)، أوجد التوزيع الاحتمالي لما بعد غد (بعد يومين).

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • استخدام متجه حالة الغد [0.8, 0.2] الذي وُجد سابقاً.
    • ضرب متجه الحالة هذا في P مرة أخرى: [0.8, 0.2] × P.
    • حساب العنصر الأول: 0.8(0.8) + 0.2(0.3) = 0.70.
    • الحصول على متجه الحالة لمدة يومين قادمين بـ [0.70, 0.30].

    ملاحظة الفاحص: تطبيق مصفوفة الانتقال بشكل متكرر من الحالة الحالية يكافئ ضرب متجه الحالة الأصلي في P مرفوعة لتلك القوة — يعطي كلا الأسلوبين النتيجة نفسها.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «باستخدام الآلة نفسها من السؤال السابق (مصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، وحالة البداية [1, 0] للعمل اليوم)، أوجد التوزيع الاحتمالي لما بعد غد (بعد يومين).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام متجه حالة الغد [0.8, 0.2] الذي وُجد سابقاً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام متجه حالة الغد [0.8, 0.2] الذي وُجد سابقاً.
    • يحدد المتطلب الناقص: ضرب متجه الحالة هذا في P مرة أخرى: [0.8, 0.2] × P.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب العنصر الأول: 0.8(0.8) + 0.2(0.3) = 0.70.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على متجه الحالة لمدة يومين قادمين بـ [0.70, 0.30].

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، أوجد التوزيع الاحتمالي للحالة المستقرة (طويل المدى) π = [π₁, π₂]، باستخدام πP = π وπ₁ + π₂ = 1.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • إعداد معادلات الحالة المستقرة من πP = π: 0.8π₁ + 0.3π₂ = π₁ وَ0.2π₁ + 0.7π₂ = π₂.
    • تبسيط المعادلة الأولى إلى −0.2π₁ + 0.3π₂ = 0، فيُعطى π₂ = (2/3)π₁.
    • التعويض في π₁ + π₂ = 1 للحصول على π₁(1 + 2/3) = 1.
    • الحل للحصول على π₁ = 0.6.
    • الحصول على π₂ = 0.4، فيُعطى توزيع الحالة المستقرة [0.6, 0.4].

    ملاحظة الفاحص: متجه الحالة المستقرة واحد بغض النظر عن حالة البداية، بالنسبة لسلسلة ماركوف منتظمة — فهو يعتمد فقط على مصفوفة الانتقال نفسها.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، أوجد التوزيع الاحتمالي للحالة المستقرة (طويل المدى) π = [π₁, π₂]، باستخدام πP = π وπ₁ + π₂ = 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد معادلات الحالة المستقرة من πP = π: 0.8π₁ + 0.3π₂ = π₁ وَ0.2π₁ + 0.7π₂ = π₂.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعداد معادلات الحالة المستقرة من πP = π: 0.8π₁ + 0.3π₂ = π₁ وَ0.2π₁ + 0.7π₂ = π₂.
    • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط المعادلة الأولى إلى −0.2π₁ + 0.3π₂ = 0، فيُعطى π₂ = (2/3)π₁.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض في π₁ + π₂ = 1 للحصول على π₁(1 + 2/3) = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على π₁ = 0.6.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على π₂ = 0.4، فيُعطى توزيع الحالة المستقرة [0.6, 0.4].

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، احسب P²، واشرح ما تمثله عناصر P² في سياق سلسلة ماركوف.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • ضرب P في نفسها للحصول على P² = [[0.70, 0.30], [0.45, 0.55]].
    • شرح أن كل عنصر (i, j) من P² يعطي احتمال الانتقال من الحالة i إلى الحالة j في خطوتين بالضبط.
    • ملاحظة أن صفوف P² ما زالت تجمع إلى 1، لأن المصفوفة ما زالت تمثل توزيعاً احتمالياً صحيحاً بعد خطوتين.
    • التحقق المتقاطع بأن الصف الأعلى من P² يطابق متجه الحالة ذا الخطوتين الموجود بدءاً من [1, 0].

    ملاحظة الفاحص: يعطي رفع مصفوفة الانتقال للأس n دائماً احتمالات الانتقال لـn خطوة مباشرة — غالباً ما يكون هذا أسرع من ضرب متجه حالة بشكل متكرر عندما تحتاج عدة حالات بداية مختلفة.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمصفوفة الانتقال P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]]، احسب P²، واشرح ما تمثله عناصر P² في سياق سلسلة ماركوف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب P في نفسها للحصول على P² = [[0.70, 0.30], [0.45, 0.55]].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ضرب P في نفسها للحصول على P² = [[0.70, 0.30], [0.45, 0.55]].
    • يحدد المتطلب الناقص: شرح أن كل عنصر (i, j) من P² يعطي احتمال الانتقال من الحالة i إلى الحالة j في خطوتين بالضبط.
    • يحدد المتطلب الناقص: ملاحظة أن صفوف P² ما زالت تجمع إلى 1، لأن المصفوفة ما زالت تمثل توزيعاً احتمالياً صحيحاً بعد خطوتين.
    • يحدد المتطلب الناقص: التحقق المتقاطع بأن الصف الأعلى من P² يطابق متجه الحالة ذا الخطوتين الموجود بدءاً من [1, 0].

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    حل المعادلة المصفوفية AX = B من أجل المتجه العمودي X، حيث A = [[2, 1], [1, 1]] وB = [[8], [5]]، بإيجاد A⁻¹ واستخدام X = A⁻¹B.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • حساب det(A) = (2)(1) − (1)(1) = 1.
    • إيجاد A⁻¹ = [[1, −1], [−1, 2]].
    • ضرب X = A⁻¹B.
    • حساب العنصر الأول: 1(8) + (−1)(5) = 3.
    • الحصول على X = [[3], [2]]، فيكون x = 3 وy = 2.

    ملاحظة الفاحص: يماثل حل AX = B باستخدام المصفوفة المعكوسة رياضياً طريقة الحذف للمعادلات الآنية — إنها ببساطة طريقة أكثر منهجية وقابلية للتوسع لتنظيم العملية نفسها.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة المصفوفية AX = B من أجل المتجه العمودي X، حيث A = [[2, 1], [1, 1]] وB = [[8], [5]]، بإيجاد A⁻¹ واستخدام X = A⁻¹B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب det(A) = (2)(1) − (1)(1) = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب det(A) = (2)(1) − (1)(1) = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد A⁻¹ = [[1, −1], [−1, 2]].
    • يحدد المتطلب الناقص: ضرب X = A⁻¹B.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب العنصر الأول: 1(8) + (−1)(5) = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على X = [[3], [2]]، فيكون x = 3 وy = 2.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    لنموذج طقس بثلاث حالات مصفوفة انتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] للحالات (مشمس، غائم، ممطر) على الترتيب. توزيع اليوم هو [0.5, 0.3, 0.2]. أوجد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • ضرب متجه الحالة الصف [0.5, 0.3, 0.2] في مصفوفة الانتقال P.
    • حساب العنصر الأول: 0.5(0.7) + 0.3(0.1) + 0.2(0.2) = 0.42.
    • حساب العنصر الثاني: 0.5(0.2) + 0.3(0.6) + 0.2(0.2) = 0.32.
    • حساب العنصر الثالث: 0.5(0.1) + 0.3(0.3) + 0.2(0.6) = 0.26.
    • تحديد توزيع الغد بـ [0.42, 0.32, 0.26].

    ملاحظة الفاحص: مع أكثر من حالتين، تتجنب دالة ضرب المصفوفات في الآلة الحاسبة الحساب اليدوي المرهق — أدخل متجه الحالة ومصفوفة الانتقال مباشرة بدلاً من حساب كل عنصر يدوياً.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لنموذج طقس بثلاث حالات مصفوفة انتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] للحالات (مشمس، غائم، ممطر) على الترتيب. توزيع اليوم هو [0.5, 0.3, 0.2]. أوجد التوزيع الاحتمالي ليوم غد.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب متجه الحالة الصف [0.5, 0.3, 0.2] في مصفوفة الانتقال P.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ضرب متجه الحالة الصف [0.5, 0.3, 0.2] في مصفوفة الانتقال P.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب العنصر الأول: 0.5(0.7) + 0.3(0.1) + 0.2(0.2) = 0.42.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب العنصر الثاني: 0.5(0.2) + 0.3(0.6) + 0.2(0.2) = 0.32.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب العنصر الثالث: 0.5(0.1) + 0.3(0.3) + 0.2(0.6) = 0.26.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد توزيع الغد بـ [0.42, 0.32, 0.26].

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    يُصنَّف سكان مدينة بأنهم يعيشون في وسط المدينة (D) أو الضواحي (S). كل عام، ينتقل 40% من سكان وسط المدينة إلى الضواحي، وينتقل 50% من سكان الضواحي إلى وسط المدينة. مصفوفة الانتقال هي P = [[0.6, 0.4], [0.5, 0.5]]. إذا كان عدد السكان كله في وسط المدينة في البداية، [1, 0]، أوجد التوزيع بعد عامين.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • ضرب [1, 0] في P للحصول على التوزيع بعد عام واحد: [0.6, 0.4].
    • ضرب [0.6, 0.4] في P للحصول على التوزيع بعد عامين.
    • حساب العنصر الأول: 0.6(0.6) + 0.4(0.5) = 0.56.
    • الحصول على التوزيع بعد عامين بـ [0.56, 0.44].

    ملاحظة الفاحص: يعتمد توزيع كل عام فقط على توزيع العام السابق، وليس على كيفية وصول السكان إلى تلك الحالة — خاصية 'انعدام الذاكرة' هذه هي السمة المميزة لسلسلة ماركوف.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُصنَّف سكان مدينة بأنهم يعيشون في وسط المدينة (D) أو الضواحي (S). كل عام، ينتقل 40% من سكان وسط المدينة إلى الضواحي، وينتقل 50% من سكان الضواحي إلى وسط المدينة. مصفوفة الانتقال هي P = [[0.6, 0.4], [0.5, 0.5]]. إذا كان عدد السكان كله في وسط المدينة في البداية، [1, 0]، أوجد التوزيع بعد عامين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب [1, 0] في P للحصول على التوزيع بعد عام واحد: [0.6, 0.4].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ضرب [1, 0] في P للحصول على التوزيع بعد عام واحد: [0.6, 0.4].
    • يحدد المتطلب الناقص: ضرب [0.6, 0.4] في P للحصول على التوزيع بعد عامين.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب العنصر الأول: 0.6(0.6) + 0.4(0.5) = 0.56.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على التوزيع بعد عامين بـ [0.56, 0.44].

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    أثبت أن التوزيع المنتظم π = [1/3, 1/3, 1/3] هو توزيع الحالة المستقرة لمصفوفة الانتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] من سؤال سابق، بالتحقق من أن πP = π.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • ضرب π = [1/3, 1/3, 1/3] في P.
    • حساب العنصر الأول: (1/3)(0.7 + 0.1 + 0.2) = (1/3)(1) = 1/3.
    • ملاحظة أن كل عمود من P يجمع إلى 1 (المصفوفة ثنائية التكافؤ العشوائي)، لذا يساوي كل عنصر من πP (1/3)(1) = 1/3 بالاستدلال نفسه.
    • الاستنتاج أن πP = [1/3, 1/3, 1/3] = π، مما يؤكد أن π توزيع الحالة المستقرة.

    ملاحظة الفاحص: كلما كان كل عمود من مصفوفة الانتقال يجمع إلى 1 (مصفوفة ثنائية التكافؤ العشوائي)، يكون التوزيع المنتظم دائماً حالتها المستقرة — هذا اختصار مفيد يتجنب حل المعادلات الآنية.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت أن التوزيع المنتظم π = [1/3, 1/3, 1/3] هو توزيع الحالة المستقرة لمصفوفة الانتقال P = [[0.7, 0.2, 0.1], [0.1, 0.6, 0.3], [0.2, 0.2, 0.6]] من سؤال سابق، بالتحقق من أن πP = π.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب π = [1/3, 1/3, 1/3] في P.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ضرب π = [1/3, 1/3, 1/3] في P.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب العنصر الأول: (1/3)(0.7 + 0.1 + 0.2) = (1/3)(1) = 1/3.
    • يحدد المتطلب الناقص: ملاحظة أن كل عمود من P يجمع إلى 1 (المصفوفة ثنائية التكافؤ العشوائي)، لذا يساوي كل عنصر من πP (1/3)(1) = 1/3 بالاستدلال نفسه.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أن πP = [1/3, 1/3, 1/3] = π، مما يؤكد أن π توزيع الحالة المستقرة.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

31. 31.

    اشرح ما يعنيه أن تكون سلسلة ماركوف 'منتظمة'، واشرح لماذا تتقارب سلسلة ماركوف المنتظمة دائماً إلى توزيع حالة مستقرة وحيد بغض النظر عن حالة بدايتها.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    نقاط التصحيح

    • شرح أن سلسلة ماركوف منتظمة إذا كانت بعض قوى مصفوفة انتقالها ذات عناصر موجبة تماماً، مما يعني إمكانية الوصول في النهاية إلى كل حالة من كل حالة أخرى.
    • شرح أن هذه الخاصية تضمن أن السلسلة 'تختلط' تماماً مع الزمن، فتمحو أثر حالة البداية.
    • الاستنتاج بأن التوزيع الاحتمالي يتقارب نتيجة لذلك إلى متجه الحالة المستقرة الوحيد نفسه بغض النظر عن الحالة التي بدأت عندها السلسلة.

    ملاحظة الفاحص: لست بحاجة لإثبات التقارب رسمياً في هذا المقرر — يكفي وصف الحدس القائل إن السلسلة المنتظمة 'تنسى' نقطة بدايتها بعد خطوات كثيرة لنيل العلامة الكاملة.

32. 32.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشرح ما يعنيه أن تكون سلسلة ماركوف 'منتظمة'، واشرح لماذا تتقارب سلسلة ماركوف المنتظمة دائماً إلى توزيع حالة مستقرة وحيد بغض النظر عن حالة بدايتها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «شرح أن سلسلة ماركوف منتظمة إذا كانت بعض قوى مصفوفة انتقالها ذات عناصر موجبة تماماً، مما يعني إمكانية الوصول في النهاية إلى كل حالة من كل حالة أخرى.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: شرح أن سلسلة ماركوف منتظمة إذا كانت بعض قوى مصفوفة انتقالها ذات عناصر موجبة تماماً، مما يعني إمكانية الوصول في النهاية إلى كل حالة من كل حالة أخرى.
    • يحدد المتطلب الناقص: شرح أن هذه الخاصية تضمن أن السلسلة 'تختلط' تماماً مع الزمن، فتمحو أثر حالة البداية.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج بأن التوزيع الاحتمالي يتقارب نتيجة لذلك إلى متجه الحالة المستقرة الوحيد نفسه بغض النظر عن الحالة التي بدأت عندها السلسلة.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.