الرياضيات: التطبيقات والتفسير HL
التوزيعات الاحتمالية — الموضوع 4 HL
- 1.
يصل الزبائن إلى منضدة مخبز صغير بمعدل متوسطه 5 زبائن لكل فترة 10 دقائق، ويتبع عدد الوافدين توزيع بواسون. (أ) اذكر متوسط عدد الوافدين خلال فترة 10 دقائق. (ب) احسب احتمال وصول 3 زبائن بالضبط خلال فترة 10 دقائق مختارة عشوائياً. (ج) احسب احتمال وصول زبون واحد على الأقل خلال فترة دقيقتين.
[4 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يصل الزبائن إلى منضدة مخبز صغير بمعدل متوسطه 5 زبائن لكل فترة 10 دقائق، ويتبع عدد الوافدين توزيع بواسون. (أ) اذكر متوسط عدد الوافدين خلال فترة 10 دقائق. (ب) احسب احتمال وصول 3 زبائن بالضبط خلال فترة 10 دقائق مختارة عشوائياً. (ج) احسب احتمال وصول زبون واحد على الأقل خلال فترة دقيقتين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد λ = 5 لفترة 10 دقائق.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 3.
تتبع أطوال مجموعة كبيرة من نوع نباتي التوزيع الطبيعي بمتوسط 42 سم وانحراف معياري 6 سم. (أ) احسب احتمال أن يكون طول نبتة مختارة عشوائياً أكبر من 50 سم. (ب) احسب احتمال أن يقع طول نبتة مختارة عشوائياً بين 36 سم و48 سم. (ج) تُصنَّف أطول 10% من النباتات بأنها 'ممتازة'. أوجد أقل طول تُصنَّف عنده النبتة 'ممتازة'.
[5 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتبع أطوال مجموعة كبيرة من نوع نباتي التوزيع الطبيعي بمتوسط 42 سم وانحراف معياري 6 سم. (أ) احسب احتمال أن يكون طول نبتة مختارة عشوائياً أكبر من 50 سم. (ب) احسب احتمال أن يقع طول نبتة مختارة عشوائياً بين 36 سم و48 سم. (ج) تُصنَّف أطول 10% من النباتات بأنها 'ممتازة'. أوجد أقل طول تُصنَّف عنده النبتة 'ممتازة'.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام التوزيع الطبيعي بمتوسط 42 وانحراف معياري 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 5.
يعتقد باحث أن سماداً جديداً يزيد متوسط كتلة ثمار الطماطم. تعطي عينة عشوائية من 36 ثمرة نمت باستخدام السماد متوسط كتلة 182 غم بانحراف معياري للعينة 24 غم. متوسط كتلة الثمار التي تنمو دون السماد معروف ويساوي 172 غم. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كانت العينة تقدّم دليلاً على أن السماد يزيد متوسط الكتلة. (أ) اذكر الفرضية الصفرية والفرضية البديلة. (ب) احسب إحصائية الاختبار. (ج) اذكر القيمة الاحتمالية (p) لهذا الاختبار. (د) اذكر استنتاجاً في سياق المسألة، مع الإشارة إلى مستوى الدلالة. (هـ) اذكر افتراضاً واحداً لازماً لصحة هذا الاختبار.
[7 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يعتقد باحث أن سماداً جديداً يزيد متوسط كتلة ثمار الطماطم. تعطي عينة عشوائية من 36 ثمرة نمت باستخدام السماد متوسط كتلة 182 غم بانحراف معياري للعينة 24 غم. متوسط كتلة الثمار التي تنمو دون السماد معروف ويساوي 172 غم. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كانت العينة تقدّم دليلاً على أن السماد يزيد متوسط الكتلة. (أ) اذكر الفرضية الصفرية والفرضية البديلة. (ب) احسب إحصائية الاختبار. (ج) اذكر القيمة الاحتمالية (p) لهذا الاختبار. (د) اذكر استنتاجاً في سياق المسألة، مع الإشارة إلى مستوى الدلالة. (هـ) اذكر افتراضاً واحداً لازماً لصحة هذا الاختبار.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: μ = 172 غم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 7 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[7 درجة] - 7.
لمتغير عشوائي ذي حدين X عدد محاولاته n = 20 واحتمال النجاح فيه p = 0.3. (أ) أوجد متوسط X وتباينه. (ب) احسب P(X = 6).
[4 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي ذي حدين X عدد محاولاته n = 20 واحتمال النجاح فيه p = 0.3. (أ) أوجد متوسط X وتباينه. (ب) احسب P(X = 6).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام المتوسط = np = 20(0.3) = 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 9.
ينتج مصنع قطعاً بمعدل عيب 2%. في دفعة من 200 قطعة، يُنمذج عدد القطع المعيبة باستخدام تقريب بواسون لتوزيع ذي الحدين. (أ) حدد المعلمة λ لهذا التقريب. (ب) احسب احتمال أن تكون 3 قطع بالضبط في الدفعة معيبة.
[4 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «ينتج مصنع قطعاً بمعدل عيب 2%. في دفعة من 200 قطعة، يُنمذج عدد القطع المعيبة باستخدام تقريب بواسون لتوزيع ذي الحدين. (أ) حدد المعلمة λ لهذا التقريب. (ب) احسب احتمال أن تكون 3 قطع بالضبط في الدفعة معيبة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن تقريب بواسون صالح لأن n كبير وp صغير.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 11.
يتبع عدد المكالمات الواردة إلى مكتب مساعدة توزيع بواسون بمتوسط 3 مكالمات في الساعة. يتبع عدد الرسائل الإلكترونية الواردة توزيع بواسون مستقل بمتوسط 5 رسائل في الساعة. أوجد احتمال وصول 10 اتصالات بالضبط (مكالمات ورسائل مجتمعة) خلال ساعة واحدة.
[4 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتبع عدد المكالمات الواردة إلى مكتب مساعدة توزيع بواسون بمتوسط 3 مكالمات في الساعة. يتبع عدد الرسائل الإلكترونية الواردة توزيع بواسون مستقل بمتوسط 5 رسائل في الساعة. أوجد احتمال وصول 10 اتصالات بالضبط (مكالمات ورسائل مجتمعة) خلال ساعة واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يتبعان توزيع بواسون يتبع هو نفسه توزيع بواسون، بمعلمة تساوي مجموع المتوسطين.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 13.
لعينة عشوائية من 36 بطارية متوسط عمر 50 ساعة. الانحراف المعياري للمجتمع معروف ويساوي 8 ساعات. أنشئ فترة ثقة 95% لمتوسط عمر المجتمع.
[4 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لعينة عشوائية من 36 بطارية متوسط عمر 50 ساعة. الانحراف المعياري للمجتمع معروف ويساوي 8 ساعات. أنشئ فترة ثقة 95% لمتوسط عمر المجتمع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد صيغة فترة الثقة x̄ ± z(σ/√n) بـ z = 1.96 لثقة 95%.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 15.
في استطلاع لـ150 ناخباً اختيروا عشوائياً، قال 45 منهم إنهم يؤيدون سياسة جديدة. أنشئ فترة ثقة 95% للنسبة الحقيقية للناخبين المؤيدين للسياسة.
[5 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في استطلاع لـ150 ناخباً اختيروا عشوائياً، قال 45 منهم إنهم يؤيدون سياسة جديدة. أنشئ فترة ثقة 95% للنسبة الحقيقية للناخبين المؤيدين للسياسة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب نسبة العينة p̂ = 45/150 = 0.3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 17.
يُدار مؤشر دوّار ذو خمسة قطاعات متساوية الحجم مرقّمة من 1 إلى 5، وذلك 100 مرة. التكرارات المرصودة للقطاعات 1 إلى 5 هي: 18، 22، 25، 15، 20. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كانت هذه النتائج متسقة مع كون المؤشر عادلاً (توزيع منتظم عبر القطاعات الخمسة)، بمعلومية قيمة حرجة χ² = 9.49 لـ4 درجات حرية.
[5 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُدار مؤشر دوّار ذو خمسة قطاعات متساوية الحجم مرقّمة من 1 إلى 5، وذلك 100 مرة. التكرارات المرصودة للقطاعات 1 إلى 5 هي: 18، 22، 25، 15، 20. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كانت هذه النتائج متسقة مع كون المؤشر عادلاً (توزيع منتظم عبر القطاعات الخمسة)، بمعلومية قيمة حرجة χ² = 9.49 لـ4 درجات حرية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: النتائج موزعة توزيعاً منتظماً، فيكون كل تكرار متوقع 100/5 = 20.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 19.
يسجل جدول توافقي 2×2 بيانات 100 شخص مصنفين حسب الجنس وما إذا كانوا يفضلون تصميم منتج جديد: (رجال يفضلونه: 30، رجال لا يفضلونه: 20، نساء يفضلنه: 15، نساء لا يفضلنه: 35). اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان التفضيل مستقلاً عن الجنس، بمعلومية قيمة حرجة χ² = 3.84 لدرجة حرية واحدة.
[6 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجل جدول توافقي 2×2 بيانات 100 شخص مصنفين حسب الجنس وما إذا كانوا يفضلون تصميم منتج جديد: (رجال يفضلونه: 30، رجال لا يفضلونه: 20، نساء يفضلنه: 15، نساء لا يفضلنه: 35). اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان التفضيل مستقلاً عن الجنس، بمعلومية قيمة حرجة χ² = 3.84 لدرجة حرية واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: التفضيل مستقل عن الجنس؛ H1: التفضيل غير مستقل عن الجنس.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 21.
في اختبار فرضيات يُجرى عند مستوى دلالة 5%، اشرح المقصود بالخطأ من النوع الأول والخطأ من النوع الثاني في هذا السياق تحديداً، بمعلومية أن الاختبار يفحص ما إذا كان دواء جديد يخفض ضغط الدم مقارنة بدواء وهمي. حدد احتمال الخطأ من النوع الأول.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في اختبار فرضيات يُجرى عند مستوى دلالة 5%، اشرح المقصود بالخطأ من النوع الأول والخطأ من النوع الثاني في هذا السياق تحديداً، بمعلومية أن الاختبار يفحص ما إذا كان دواء جديد يخفض ضغط الدم مقارنة بدواء وهمي. حدد احتمال الخطأ من النوع الأول.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «شرح أن الخطأ من النوع الأول يحدث إذا استنتج الاختبار أن الدواء يخفض ضغط الدم بينما هو في الحقيقة لا يفعل ذلك (رفض H0 الصحيحة).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 23.
تتبع أوزان أكياس الدقيق التي ينتجها مصنع التوزيع الطبيعي بمتوسط 80 غم وانحراف معياري 15 غم. تُؤخذ عينة عشوائية من 25 كيساً. أوجد احتمال أن يتجاوز متوسط وزن العينة 85 غم.
[4 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتبع أوزان أكياس الدقيق التي ينتجها مصنع التوزيع الطبيعي بمتوسط 80 غم وانحراف معياري 15 غم. تُؤخذ عينة عشوائية من 25 كيساً. أوجد احتمال أن يتجاوز متوسط وزن العينة 85 غم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أنه وفقاً لنظرية النهاية المركزية، يتبع متوسط العينة التوزيع الطبيعي بمتوسط 80 وانحراف معياري 15/√25 = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 25.
جُمعت عينتان مستقلتان لمقارنة أوقات التنقل. العينة A (n = 40) متوسطها 72 دقيقة وانحرافها المعياري 10 دقائق. العينة B (n = 35) متوسطها 68 دقيقة وانحرافها المعياري 12 دقيقة. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان هناك دليل على أن متوسط وقت التنقل الحقيقي للمجموعة A أكبر منه للمجموعة B، بمعلومية قيمة z الحرجة 1.645.
[6 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «جُمعت عينتان مستقلتان لمقارنة أوقات التنقل. العينة A (n = 40) متوسطها 72 دقيقة وانحرافها المعياري 10 دقائق. العينة B (n = 35) متوسطها 68 دقيقة وانحرافها المعياري 12 دقيقة. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان هناك دليل على أن متوسط وقت التنقل الحقيقي للمجموعة A أكبر منه للمجموعة B، بمعلومية قيمة z الحرجة 1.645.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: μA = μB؛ H1: μA > μB (اختبار أحادي الاتجاه).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 27.
تتبع كتلة تفاح من بستان X التوزيع الطبيعي بمتوسط 50 غم وانحراف معياري 6 غم. تتبع كتلة تفاح من بستان Y توزيعاً طبيعياً مستقلاً بمتوسط 30 غم وانحراف معياري 4 غم. تُختار تفاحة عشوائياً من كل بستان. أوجد احتمال أن تكون التفاحة من البستان X أثقل من تفاحة البستان Y بأكثر من 25 غم.
[5 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتبع كتلة تفاح من بستان X التوزيع الطبيعي بمتوسط 50 غم وانحراف معياري 6 غم. تتبع كتلة تفاح من بستان Y توزيعاً طبيعياً مستقلاً بمتوسط 30 غم وانحراف معياري 4 غم. تُختار تفاحة عشوائياً من كل بستان. أوجد احتمال أن تكون التفاحة من البستان X أثقل من تفاحة البستان Y بأكثر من 25 غم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أنه بالنسبة لمتغيرين طبيعيين مستقلين، X − Y تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط μX − μY = 50 − 30 = 20.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 29.
متغير عشوائي منفصل X له التوزيع الاحتمالي: P(X=0) = 0.1، P(X=1) = 0.3، P(X=2) = 0.4، P(X=3) = 0.2. أوجد (أ) E(X)، (ب) E(X²)، (ج) Var(X).
[5 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «متغير عشوائي منفصل X له التوزيع الاحتمالي: P(X=0) = 0.1، P(X=1) = 0.3، P(X=2) = 0.4، P(X=3) = 0.2. أوجد (أ) E(X)، (ب) E(X²)، (ج) Var(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب E(X) = Σx·P(X=x) = 0(0.1) + 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 31.
قِيست أزمنة رد فعل 10 مشاركين (بأجزاء من مئة الثانية) قبل برنامج تدريبي وبعده. كانت الفروق (قبل − بعد): 2، −1، 3، 4، 0، 2، 1، −2، 3، 2. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان البرنامج التدريبي قد قلّل أزمنة رد الفعل، بمعلومية قيمة t الحرجة 1.833 لـ9 درجات حرية. (أ) حدد الفرضية الصفرية والبديلة. (ب) احسب متوسط الفروق وانحرافها المعياري. (ج) احسب إحصائية الاختبار. (د) حدد استنتاجاً في سياق المسألة.
[7 درجة] - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «قِيست أزمنة رد فعل 10 مشاركين (بأجزاء من مئة الثانية) قبل برنامج تدريبي وبعده. كانت الفروق (قبل − بعد): 2، −1، 3، 4، 0، 2، 1، −2، 3، 2. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان البرنامج التدريبي قد قلّل أزمنة رد الفعل، بمعلومية قيمة t الحرجة 1.833 لـ9 درجات حرية. (أ) حدد الفرضية الصفرية والبديلة. (ب) احسب متوسط الفروق وانحرافها المعياري. (ج) احسب إحصائية الاختبار. (د) حدد استنتاجاً في سياق المسألة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: μd = 0 (لا تغيير)؛ H1: μd > 0 (انخفض زمن رد الفعل، لأن قبل − بعد موجب إذا كان أسرع).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 7 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[7 درجة]