الرياضيات: التطبيقات والتفسير HL

1. 1.

   يصل الزبائن إلى منضدة مخبز صغير بمعدل متوسطه 5 زبائن لكل فترة 10 دقائق، ويتبع عدد الوافدين توزيع بواسون. (أ) اذكر متوسط عدد الوافدين خلال فترة 10 دقائق. (ب) احسب احتمال وصول 3 زبائن بالضبط خلال فترة 10 دقائق مختارة عشوائياً. (ج) احسب احتمال وصول زبون واحد على الأقل خلال فترة دقيقتين.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • تحديد λ = 5 لفترة 10 دقائق.
   • استخدام توزيع بواسون للحصول على P(X = 3) ≈ 0.140.
   • إعادة ضبط المتوسط إلى λ = 1 لفترة دقيقتين.
   • استخدام P(زبون واحد على الأقل) = 1 − P(X = 0) للحصول على 0.632 تقريباً.

   ملاحظة الفاحص: أعد ضبط λ دائماً لتطابق الفترة الزمنية المحددة في كل جزء؛ من الأخطاء الشائعة إعادة استخدام المتوسط الأصلي.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يصل الزبائن إلى منضدة مخبز صغير بمعدل متوسطه 5 زبائن لكل فترة 10 دقائق، ويتبع عدد الوافدين توزيع بواسون. (أ) اذكر متوسط عدد الوافدين خلال فترة 10 دقائق. (ب) احسب احتمال وصول 3 زبائن بالضبط خلال فترة 10 دقائق مختارة عشوائياً. (ج) احسب احتمال وصول زبون واحد على الأقل خلال فترة دقيقتين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد λ = 5 لفترة 10 دقائق.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد λ = 5 لفترة 10 دقائق.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام توزيع بواسون للحصول على P(X = 3) ≈ 0.140.
   • يحدد المتطلب الناقص: إعادة ضبط المتوسط إلى λ = 1 لفترة دقيقتين.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام P(زبون واحد على الأقل) = 1 − P(X = 0) للحصول على 0.632 تقريباً.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   تتبع أطوال مجموعة كبيرة من نوع نباتي التوزيع الطبيعي بمتوسط 42 سم وانحراف معياري 6 سم. (أ) احسب احتمال أن يكون طول نبتة مختارة عشوائياً أكبر من 50 سم. (ب) احسب احتمال أن يقع طول نبتة مختارة عشوائياً بين 36 سم و48 سم. (ج) تُصنَّف أطول 10% من النباتات بأنها 'ممتازة'. أوجد أقل طول تُصنَّف عنده النبتة 'ممتازة'.

   [5 درجة]

   نقاط التصحيح

   • استخدام التوزيع الطبيعي بمتوسط 42 وانحراف معياري 6.
   • الحصول على P(X > 50) ≈ 0.0912.
   • الحصول على P(36 < X < 48) ≈ 0.6827.
   • استخدام دالة معكوس التوزيع الطبيعي مع الذيل العلوي 10%.
   • الحصول على أقل طول يقارب 49.7 سم.

   ملاحظة الفاحص: استخدم دالة معكوس التوزيع الطبيعي في الآلة الحاسبة مباشرة في مسائل الحدود؛ لا تحاول عكس جدول التوزيع الطبيعي القياسي يدوياً.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتبع أطوال مجموعة كبيرة من نوع نباتي التوزيع الطبيعي بمتوسط 42 سم وانحراف معياري 6 سم. (أ) احسب احتمال أن يكون طول نبتة مختارة عشوائياً أكبر من 50 سم. (ب) احسب احتمال أن يقع طول نبتة مختارة عشوائياً بين 36 سم و48 سم. (ج) تُصنَّف أطول 10% من النباتات بأنها 'ممتازة'. أوجد أقل طول تُصنَّف عنده النبتة 'ممتازة'.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام التوزيع الطبيعي بمتوسط 42 وانحراف معياري 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام التوزيع الطبيعي بمتوسط 42 وانحراف معياري 6.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X > 50) ≈ 0.0912.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(36 < X < 48) ≈ 0.6827.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام دالة معكوس التوزيع الطبيعي مع الذيل العلوي 10%.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على أقل طول يقارب 49.7 سم.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   يعتقد باحث أن سماداً جديداً يزيد متوسط كتلة ثمار الطماطم. تعطي عينة عشوائية من 36 ثمرة نمت باستخدام السماد متوسط كتلة 182 غم بانحراف معياري للعينة 24 غم. متوسط كتلة الثمار التي تنمو دون السماد معروف ويساوي 172 غم. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كانت العينة تقدّم دليلاً على أن السماد يزيد متوسط الكتلة. (أ) اذكر الفرضية الصفرية والفرضية البديلة. (ب) احسب إحصائية الاختبار. (ج) اذكر القيمة الاحتمالية (p) لهذا الاختبار. (د) اذكر استنتاجاً في سياق المسألة، مع الإشارة إلى مستوى الدلالة. (هـ) اذكر افتراضاً واحداً لازماً لصحة هذا الاختبار.

   [7 درجة]

   نقاط التصحيح

   • تحديد H0: μ = 172 غم.
   • تحديد H1: μ > 172 غم (اختبار أحادي الاتجاه).
   • إعداد اختبار عينة واحدة بمتوسط عينة 182 وانحراف معياري للعينة 24 وn = 36.
   • حساب إحصائية اختبار تقارب 2.5.
   • تحديد قيمة احتمالية تقارب 0.0062 (تُقبل قيمة مكافئة متسقة من حساب قائم على توزيع t).
   • الاستنتاج أنه بما أن القيمة الاحتمالية أقل من 0.05، تُرفض H0 وهناك دليل على أن السماد يزيد متوسط الكتلة.
   • ذكر افتراض صحيح، مثل كون العينة عشوائية وممثلة، أو أن توزيع المعاينة للمتوسط طبيعي تقريباً.

   ملاحظة الفاحص: حدد اتجاه الفرضية البديلة قبل الحساب؛ فالادعاء أحادي الاتجاه يغيّر القيمة الاحتمالية التي تقارنها بمستوى الدلالة.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يعتقد باحث أن سماداً جديداً يزيد متوسط كتلة ثمار الطماطم. تعطي عينة عشوائية من 36 ثمرة نمت باستخدام السماد متوسط كتلة 182 غم بانحراف معياري للعينة 24 غم. متوسط كتلة الثمار التي تنمو دون السماد معروف ويساوي 172 غم. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كانت العينة تقدّم دليلاً على أن السماد يزيد متوسط الكتلة. (أ) اذكر الفرضية الصفرية والفرضية البديلة. (ب) احسب إحصائية الاختبار. (ج) اذكر القيمة الاحتمالية (p) لهذا الاختبار. (د) اذكر استنتاجاً في سياق المسألة، مع الإشارة إلى مستوى الدلالة. (هـ) اذكر افتراضاً واحداً لازماً لصحة هذا الاختبار.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: μ = 172 غم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 7 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [7 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد H0: μ = 172 غم.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد H1: μ > 172 غم (اختبار أحادي الاتجاه).
   • يحدد المتطلب الناقص: إعداد اختبار عينة واحدة بمتوسط عينة 182 وانحراف معياري للعينة 24 وn = 36.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب إحصائية اختبار تقارب 2.5.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد قيمة احتمالية تقارب 0.0062 (تُقبل قيمة مكافئة متسقة من حساب قائم على توزيع t).
   • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أنه بما أن القيمة الاحتمالية أقل من 0.05، تُرفض H0 وهناك دليل على أن السماد يزيد متوسط الكتلة.
   • يحدد المتطلب الناقص: ذكر افتراض صحيح، مثل كون العينة عشوائية وممثلة، أو أن توزيع المعاينة للمتوسط طبيعي تقريباً.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   لمتغير عشوائي ذي حدين X عدد محاولاته n = 20 واحتمال النجاح فيه p = 0.3. (أ) أوجد متوسط X وتباينه. (ب) احسب P(X = 6).

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • استخدام المتوسط = np = 20(0.3) = 6.
   • استخدام التباين = np(1−p) = 20(0.3)(0.7) = 4.2.
   • استخدام صيغة احتمال ذي الحدين بـ n = 20، وp = 0.3، وk = 6.
   • الحصول على P(X = 6) ≈ 0.192.

   ملاحظة الفاحص: اذكر دائماً صيغتي المتوسط والتباين np وnp(1−p) صراحة قبل التعويض — هذه ممارسة جيدة لنيل علامات الطريقة حتى عند استخدام الآلة الحاسبة للاحتمال النهائي.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي ذي حدين X عدد محاولاته n = 20 واحتمال النجاح فيه p = 0.3. (أ) أوجد متوسط X وتباينه. (ب) احسب P(X = 6).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام المتوسط = np = 20(0.3) = 6.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام المتوسط = np = 20(0.3) = 6.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام التباين = np(1−p) = 20(0.3)(0.7) = 4.2.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام صيغة احتمال ذي الحدين بـ n = 20، وp = 0.3، وk = 6.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X = 6) ≈ 0.192.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   ينتج مصنع قطعاً بمعدل عيب 2%. في دفعة من 200 قطعة، يُنمذج عدد القطع المعيبة باستخدام تقريب بواسون لتوزيع ذي الحدين. (أ) حدد المعلمة λ لهذا التقريب. (ب) احسب احتمال أن تكون 3 قطع بالضبط في الدفعة معيبة.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • تحديد أن تقريب بواسون صالح لأن n كبير وp صغير.
   • تحديد λ = np = 200(0.02) = 4.
   • استخدام توزيع بواسون بـ λ = 4 لحساب P(X = 3).
   • الحصول على P(X = 3) ≈ 0.195.

   ملاحظة الفاحص: يعمل تقريب بواسون لذي الحدين بشكل جيد عندما يكون n كبيراً وp صغيراً، مع إبقاء λ = np معتدلة — برّر دائماً سبب ملاءمة التقريب قبل استخدامه.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «ينتج مصنع قطعاً بمعدل عيب 2%. في دفعة من 200 قطعة، يُنمذج عدد القطع المعيبة باستخدام تقريب بواسون لتوزيع ذي الحدين. (أ) حدد المعلمة λ لهذا التقريب. (ب) احسب احتمال أن تكون 3 قطع بالضبط في الدفعة معيبة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن تقريب بواسون صالح لأن n كبير وp صغير.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن تقريب بواسون صالح لأن n كبير وp صغير.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد λ = np = 200(0.02) = 4.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام توزيع بواسون بـ λ = 4 لحساب P(X = 3).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X = 3) ≈ 0.195.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    يتبع عدد المكالمات الواردة إلى مكتب مساعدة توزيع بواسون بمتوسط 3 مكالمات في الساعة. يتبع عدد الرسائل الإلكترونية الواردة توزيع بواسون مستقل بمتوسط 5 رسائل في الساعة. أوجد احتمال وصول 10 اتصالات بالضبط (مكالمات ورسائل مجتمعة) خلال ساعة واحدة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد أن مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يتبعان توزيع بواسون يتبع هو نفسه توزيع بواسون، بمعلمة تساوي مجموع المتوسطين.
    • الحصول على المعلمة المجمعة λ = 3 + 5 = 8.
    • استخدام توزيع بواسون بـ λ = 8 لحساب P(X = 10).
    • الحصول على P(X = 10) ≈ 0.0993.

    ملاحظة الفاحص: خاصية الجمعية للمتغيرات المستقلة ذات توزيع بواسون اختصار مفيد — فهي تتجنب الحاجة لنمذجة توزيعين منفصلين ودمجهما بالالتفاف.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتبع عدد المكالمات الواردة إلى مكتب مساعدة توزيع بواسون بمتوسط 3 مكالمات في الساعة. يتبع عدد الرسائل الإلكترونية الواردة توزيع بواسون مستقل بمتوسط 5 رسائل في الساعة. أوجد احتمال وصول 10 اتصالات بالضبط (مكالمات ورسائل مجتمعة) خلال ساعة واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يتبعان توزيع بواسون يتبع هو نفسه توزيع بواسون، بمعلمة تساوي مجموع المتوسطين.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يتبعان توزيع بواسون يتبع هو نفسه توزيع بواسون، بمعلمة تساوي مجموع المتوسطين.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على المعلمة المجمعة λ = 3 + 5 = 8.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام توزيع بواسون بـ λ = 8 لحساب P(X = 10).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X = 10) ≈ 0.0993.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    لعينة عشوائية من 36 بطارية متوسط عمر 50 ساعة. الانحراف المعياري للمجتمع معروف ويساوي 8 ساعات. أنشئ فترة ثقة 95% لمتوسط عمر المجتمع.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد صيغة فترة الثقة x̄ ± z(σ/√n) بـ z = 1.96 لثقة 95%.
    • حساب هامش الخطأ بـ 1.96 × 8/√36 ≈ 2.61.
    • الحصول على فترة الثقة (47.4, 52.6)، لمنزلة عشرية واحدة.
    • تحديد صحيح بأننا واثقون بنسبة 95% أن متوسط عمر المجتمع الحقيقي يقع ضمن هذه الفترة.

    ملاحظة الفاحص: يشير التفسير الصحيح لفترة الثقة إلى أن الطريقة تحتوي على المعلمة الحقيقية في 95% من العينات المتكررة — ولا يعني أن هناك احتمال 95% أن يقع المتوسط الحقيقي في هذه الفترة المحددة.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لعينة عشوائية من 36 بطارية متوسط عمر 50 ساعة. الانحراف المعياري للمجتمع معروف ويساوي 8 ساعات. أنشئ فترة ثقة 95% لمتوسط عمر المجتمع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد صيغة فترة الثقة x̄ ± z(σ/√n) بـ z = 1.96 لثقة 95%.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد صيغة فترة الثقة x̄ ± z(σ/√n) بـ z = 1.96 لثقة 95%.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب هامش الخطأ بـ 1.96 × 8/√36 ≈ 2.61.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على فترة الثقة (47.4, 52.6)، لمنزلة عشرية واحدة.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد صحيح بأننا واثقون بنسبة 95% أن متوسط عمر المجتمع الحقيقي يقع ضمن هذه الفترة.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    في استطلاع لـ150 ناخباً اختيروا عشوائياً، قال 45 منهم إنهم يؤيدون سياسة جديدة. أنشئ فترة ثقة 95% للنسبة الحقيقية للناخبين المؤيدين للسياسة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • حساب نسبة العينة p̂ = 45/150 = 0.3.
    • تحديد صيغة فترة الثقة p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n) بـ z = 1.96.
    • حساب الخطأ المعياري بـ √(0.3(0.7)/150) ≈ 0.0374.
    • حساب هامش الخطأ بـ 1.96 × 0.0374 ≈ 0.0733.
    • الحصول على فترة الثقة (0.227, 0.373)، لثلاث منازل عشرية.

    ملاحظة الفاحص: يستخدم الخطأ المعياري لنسبة نسبة العينة p̂ نفسها بدلاً من نسبة المجتمع غير المعروفة عادة — هذا اختلاف رئيسي عن فترة الثقة للمتوسط.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في استطلاع لـ150 ناخباً اختيروا عشوائياً، قال 45 منهم إنهم يؤيدون سياسة جديدة. أنشئ فترة ثقة 95% للنسبة الحقيقية للناخبين المؤيدين للسياسة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب نسبة العينة p̂ = 45/150 = 0.3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب نسبة العينة p̂ = 45/150 = 0.3.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد صيغة فترة الثقة p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n) بـ z = 1.96.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الخطأ المعياري بـ √(0.3(0.7)/150) ≈ 0.0374.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب هامش الخطأ بـ 1.96 × 0.0374 ≈ 0.0733.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على فترة الثقة (0.227, 0.373)، لثلاث منازل عشرية.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    يُدار مؤشر دوّار ذو خمسة قطاعات متساوية الحجم مرقّمة من 1 إلى 5، وذلك 100 مرة. التكرارات المرصودة للقطاعات 1 إلى 5 هي: 18، 22، 25، 15، 20. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كانت هذه النتائج متسقة مع كون المؤشر عادلاً (توزيع منتظم عبر القطاعات الخمسة)، بمعلومية قيمة حرجة χ² = 9.49 لـ4 درجات حرية.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد H0: النتائج موزعة توزيعاً منتظماً، فيكون كل تكرار متوقع 100/5 = 20.
    • حساب إحصائية كاي تربيع χ² = Σ(O−E)²/E.
    • الحصول على χ² = 2.90.
    • مقارنة 2.90 بالقيمة الحرجة 9.49 وملاحظة أن 2.90 < 9.49.
    • الاستنتاج بعدم رفض H0: لا يوجد دليل كافٍ على أن التوزيع غير منتظم.

    ملاحظة الفاحص: في اختبار كاي تربيع، تعني إحصائية الاختبار الأصغر أن البيانات المرصودة أقرب إلى المتوقع — ارفض H0 فقط عندما تتجاوز الإحصائية القيمة الحرجة.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُدار مؤشر دوّار ذو خمسة قطاعات متساوية الحجم مرقّمة من 1 إلى 5، وذلك 100 مرة. التكرارات المرصودة للقطاعات 1 إلى 5 هي: 18، 22، 25، 15، 20. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كانت هذه النتائج متسقة مع كون المؤشر عادلاً (توزيع منتظم عبر القطاعات الخمسة)، بمعلومية قيمة حرجة χ² = 9.49 لـ4 درجات حرية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: النتائج موزعة توزيعاً منتظماً، فيكون كل تكرار متوقع 100/5 = 20.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد H0: النتائج موزعة توزيعاً منتظماً، فيكون كل تكرار متوقع 100/5 = 20.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب إحصائية كاي تربيع χ² = Σ(O−E)²/E.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على χ² = 2.90.
    • يحدد المتطلب الناقص: مقارنة 2.90 بالقيمة الحرجة 9.49 وملاحظة أن 2.90 < 9.49.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج بعدم رفض H0: لا يوجد دليل كافٍ على أن التوزيع غير منتظم.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    يسجل جدول توافقي 2×2 بيانات 100 شخص مصنفين حسب الجنس وما إذا كانوا يفضلون تصميم منتج جديد: (رجال يفضلونه: 30، رجال لا يفضلونه: 20، نساء يفضلنه: 15، نساء لا يفضلنه: 35). اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان التفضيل مستقلاً عن الجنس، بمعلومية قيمة حرجة χ² = 3.84 لدرجة حرية واحدة.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد H0: التفضيل مستقل عن الجنس؛ H1: التفضيل غير مستقل عن الجنس.
    • حساب مجاميع الصفوف والأعمدة: الرجال = 50، النساء = 50، يفضلون = 45، لا يفضلون = 55.
    • حساب كل تكرار متوقع باستخدام (مجموع الصف × مجموع العمود)/100.
    • حساب إحصائية كاي تربيع χ² = Σ(O−E)²/E.
    • الحصول على χ² ≈ 9.09.
    • مقارنة 9.09 بالقيمة الحرجة 3.84، والاستنتاج برفض H0، وذكر أن التفضيل والجنس ليسا مستقلين.

    ملاحظة الفاحص: درجات الحرية للجدول التوافقي هي (الصفوف−1)×(الأعمدة−1) — بالنسبة لجدول 2×2 تكون دائماً 1، بغض النظر عن التكرارات الفعلية.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجل جدول توافقي 2×2 بيانات 100 شخص مصنفين حسب الجنس وما إذا كانوا يفضلون تصميم منتج جديد: (رجال يفضلونه: 30، رجال لا يفضلونه: 20، نساء يفضلنه: 15، نساء لا يفضلنه: 35). اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان التفضيل مستقلاً عن الجنس، بمعلومية قيمة حرجة χ² = 3.84 لدرجة حرية واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: التفضيل مستقل عن الجنس؛ H1: التفضيل غير مستقل عن الجنس.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد H0: التفضيل مستقل عن الجنس؛ H1: التفضيل غير مستقل عن الجنس.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب مجاميع الصفوف والأعمدة: الرجال = 50، النساء = 50، يفضلون = 45، لا يفضلون = 55.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب كل تكرار متوقع باستخدام (مجموع الصف × مجموع العمود)/100.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب إحصائية كاي تربيع χ² = Σ(O−E)²/E.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على χ² ≈ 9.09.
    • يحدد المتطلب الناقص: مقارنة 9.09 بالقيمة الحرجة 3.84، والاستنتاج برفض H0، وذكر أن التفضيل والجنس ليسا مستقلين.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    في اختبار فرضيات يُجرى عند مستوى دلالة 5%، اشرح المقصود بالخطأ من النوع الأول والخطأ من النوع الثاني في هذا السياق تحديداً، بمعلومية أن الاختبار يفحص ما إذا كان دواء جديد يخفض ضغط الدم مقارنة بدواء وهمي. حدد احتمال الخطأ من النوع الأول.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    نقاط التصحيح

    • شرح أن الخطأ من النوع الأول يحدث إذا استنتج الاختبار أن الدواء يخفض ضغط الدم بينما هو في الحقيقة لا يفعل ذلك (رفض H0 الصحيحة).
    • شرح أن الخطأ من النوع الثاني يحدث إذا فشل الاختبار في اكتشاف أن الدواء يخفض ضغط الدم فعلاً (عدم رفض H0 الخاطئة).
    • تحديد أن احتمال الخطأ من النوع الأول يساوي مستوى الدلالة، 0.05.

    ملاحظة الفاحص: يُعدّ مستوى دلالة الاختبار دائماً، بحكم تعريفه، احتمال الخطأ من النوع الأول — لا حاجة أبداً لحسابه بشكل منفصل عن مستوى الدلالة المذكور.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في اختبار فرضيات يُجرى عند مستوى دلالة 5%، اشرح المقصود بالخطأ من النوع الأول والخطأ من النوع الثاني في هذا السياق تحديداً، بمعلومية أن الاختبار يفحص ما إذا كان دواء جديد يخفض ضغط الدم مقارنة بدواء وهمي. حدد احتمال الخطأ من النوع الأول.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «شرح أن الخطأ من النوع الأول يحدث إذا استنتج الاختبار أن الدواء يخفض ضغط الدم بينما هو في الحقيقة لا يفعل ذلك (رفض H0 الصحيحة).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: شرح أن الخطأ من النوع الأول يحدث إذا استنتج الاختبار أن الدواء يخفض ضغط الدم بينما هو في الحقيقة لا يفعل ذلك (رفض H0 الصحيحة).
    • يحدد المتطلب الناقص: شرح أن الخطأ من النوع الثاني يحدث إذا فشل الاختبار في اكتشاف أن الدواء يخفض ضغط الدم فعلاً (عدم رفض H0 الخاطئة).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن احتمال الخطأ من النوع الأول يساوي مستوى الدلالة، 0.05.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    تتبع أوزان أكياس الدقيق التي ينتجها مصنع التوزيع الطبيعي بمتوسط 80 غم وانحراف معياري 15 غم. تُؤخذ عينة عشوائية من 25 كيساً. أوجد احتمال أن يتجاوز متوسط وزن العينة 85 غم.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد أنه وفقاً لنظرية النهاية المركزية، يتبع متوسط العينة التوزيع الطبيعي بمتوسط 80 وانحراف معياري 15/√25 = 3.
    • التقييس للحصول على z = (85 − 80)/3 ≈ 1.67.
    • استخدام التوزيع الطبيعي القياسي لإيجاد P(Z > 1.67).
    • الحصول على احتمال يقارب 0.0478.

    ملاحظة الفاحص: يكون الانحراف المعياري لمتوسط العينة (الخطأ المعياري) دائماً الانحراف المعياري للمجتمع مقسوماً على √n، وليس الانحراف المعياري للمجتمع نفسه أبداً — استخدام القيمة الخاطئة هو الخطأ الأكثر شيوعاً هنا.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتبع أوزان أكياس الدقيق التي ينتجها مصنع التوزيع الطبيعي بمتوسط 80 غم وانحراف معياري 15 غم. تُؤخذ عينة عشوائية من 25 كيساً. أوجد احتمال أن يتجاوز متوسط وزن العينة 85 غم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أنه وفقاً لنظرية النهاية المركزية، يتبع متوسط العينة التوزيع الطبيعي بمتوسط 80 وانحراف معياري 15/√25 = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أنه وفقاً لنظرية النهاية المركزية، يتبع متوسط العينة التوزيع الطبيعي بمتوسط 80 وانحراف معياري 15/√25 = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: التقييس للحصول على z = (85 − 80)/3 ≈ 1.67.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام التوزيع الطبيعي القياسي لإيجاد P(Z > 1.67).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على احتمال يقارب 0.0478.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    جُمعت عينتان مستقلتان لمقارنة أوقات التنقل. العينة A (n = 40) متوسطها 72 دقيقة وانحرافها المعياري 10 دقائق. العينة B (n = 35) متوسطها 68 دقيقة وانحرافها المعياري 12 دقيقة. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان هناك دليل على أن متوسط وقت التنقل الحقيقي للمجموعة A أكبر منه للمجموعة B، بمعلومية قيمة z الحرجة 1.645.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد H0: μA = μB؛ H1: μA > μB (اختبار أحادي الاتجاه).
    • حساب الخطأ المعياري للفرق: √(10²/40 + 12²/35) ≈ 2.572.
    • حساب إحصائية الاختبار z = (72 − 68)/2.572 ≈ 1.56.
    • مقارنة 1.56 بالقيمة الحرجة 1.645 وملاحظة أن 1.56 < 1.645.
    • الاستنتاج بعدم رفض H0: لا يوجد دليل كافٍ عند مستوى 5% بأن متوسط وقت تنقل المجموعة A أكبر.
    • ملاحظة أن إحصائية الاختبار قريبة من القيمة الحرجة، لذا قد تكتشف عينة أكبر فرقاً حقيقياً إن وُجد.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لاختبار عينتين بعينات مستقلة كبيرة، يجمع الخطأ المعياري للفرق تبايني العينتين مقسومين على حجمي العينتين المعنيين، تحت جذر تربيعي — لا يُحسب بالمتوسط أبداً.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «جُمعت عينتان مستقلتان لمقارنة أوقات التنقل. العينة A (n = 40) متوسطها 72 دقيقة وانحرافها المعياري 10 دقائق. العينة B (n = 35) متوسطها 68 دقيقة وانحرافها المعياري 12 دقيقة. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان هناك دليل على أن متوسط وقت التنقل الحقيقي للمجموعة A أكبر منه للمجموعة B، بمعلومية قيمة z الحرجة 1.645.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: μA = μB؛ H1: μA > μB (اختبار أحادي الاتجاه).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد H0: μA = μB؛ H1: μA > μB (اختبار أحادي الاتجاه).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الخطأ المعياري للفرق: √(10²/40 + 12²/35) ≈ 2.572.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب إحصائية الاختبار z = (72 − 68)/2.572 ≈ 1.56.
    • يحدد المتطلب الناقص: مقارنة 1.56 بالقيمة الحرجة 1.645 وملاحظة أن 1.56 < 1.645.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج بعدم رفض H0: لا يوجد دليل كافٍ عند مستوى 5% بأن متوسط وقت تنقل المجموعة A أكبر.
    • يحدد المتطلب الناقص: ملاحظة أن إحصائية الاختبار قريبة من القيمة الحرجة، لذا قد تكتشف عينة أكبر فرقاً حقيقياً إن وُجد.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    تتبع كتلة تفاح من بستان X التوزيع الطبيعي بمتوسط 50 غم وانحراف معياري 6 غم. تتبع كتلة تفاح من بستان Y توزيعاً طبيعياً مستقلاً بمتوسط 30 غم وانحراف معياري 4 غم. تُختار تفاحة عشوائياً من كل بستان. أوجد احتمال أن تكون التفاحة من البستان X أثقل من تفاحة البستان Y بأكثر من 25 غم.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد أنه بالنسبة لمتغيرين طبيعيين مستقلين، X − Y تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط μX − μY = 50 − 30 = 20.
    • تحديد أن تباين X − Y هو مجموع التباينين: 6² + 4² = 52.
    • تحديد الانحراف المعياري لـ X − Y بـ √52 ≈ 7.21.
    • التقييس لإيجاد P(X − Y > 25) باستخدام المتوسط 20 والانحراف المعياري 7.21.
    • الحصول على احتمال يقارب 0.244.

    ملاحظة الفاحص: عند دمج متغيرين طبيعيين مستقلين، تُجمع التباينات دائماً — حتى عند إيجاد توزيع الفرق — لأن طرح متغير عشوائي لا يقلل من عدم يقينه.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتبع كتلة تفاح من بستان X التوزيع الطبيعي بمتوسط 50 غم وانحراف معياري 6 غم. تتبع كتلة تفاح من بستان Y توزيعاً طبيعياً مستقلاً بمتوسط 30 غم وانحراف معياري 4 غم. تُختار تفاحة عشوائياً من كل بستان. أوجد احتمال أن تكون التفاحة من البستان X أثقل من تفاحة البستان Y بأكثر من 25 غم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أنه بالنسبة لمتغيرين طبيعيين مستقلين، X − Y تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط μX − μY = 50 − 30 = 20.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أنه بالنسبة لمتغيرين طبيعيين مستقلين، X − Y تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط μX − μY = 50 − 30 = 20.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن تباين X − Y هو مجموع التباينين: 6² + 4² = 52.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الانحراف المعياري لـ X − Y بـ √52 ≈ 7.21.
    • يحدد المتطلب الناقص: التقييس لإيجاد P(X − Y > 25) باستخدام المتوسط 20 والانحراف المعياري 7.21.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على احتمال يقارب 0.244.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    متغير عشوائي منفصل X له التوزيع الاحتمالي: P(X=0) = 0.1، P(X=1) = 0.3، P(X=2) = 0.4، P(X=3) = 0.2. أوجد (أ) E(X)، (ب) E(X²)، (ج) Var(X).

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • حساب E(X) = Σx·P(X=x) = 0(0.1) + 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.2).
    • الحصول على E(X) = 1.7.
    • حساب E(X²) = Σx²·P(X=x) = 0(0.1) + 1(0.3) + 4(0.4) + 9(0.2).
    • الحصول على E(X²) = 3.7.
    • استخدام Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 3.7 − 1.7² للحصول على Var(X) = 0.81.

    ملاحظة الفاحص: احسب دائماً E(X²) مباشرة من جدول التوزيع بدلاً من تربيع E(X) — فهما كميتان مختلفتان، ويتطلب Var(X) كلتيهما.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «متغير عشوائي منفصل X له التوزيع الاحتمالي: P(X=0) = 0.1، P(X=1) = 0.3، P(X=2) = 0.4، P(X=3) = 0.2. أوجد (أ) E(X)، (ب) E(X²)، (ج) Var(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب E(X) = Σx·P(X=x) = 0(0.1) + 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب E(X) = Σx·P(X=x) = 0(0.1) + 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.2).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X) = 1.7.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب E(X²) = Σx²·P(X=x) = 0(0.1) + 1(0.3) + 4(0.4) + 9(0.2).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X²) = 3.7.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 3.7 − 1.7² للحصول على Var(X) = 0.81.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

31. 31.

    قِيست أزمنة رد فعل 10 مشاركين (بأجزاء من مئة الثانية) قبل برنامج تدريبي وبعده. كانت الفروق (قبل − بعد): 2، −1، 3، 4، 0، 2، 1، −2، 3، 2. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان البرنامج التدريبي قد قلّل أزمنة رد الفعل، بمعلومية قيمة t الحرجة 1.833 لـ9 درجات حرية. (أ) حدد الفرضية الصفرية والبديلة. (ب) احسب متوسط الفروق وانحرافها المعياري. (ج) احسب إحصائية الاختبار. (د) حدد استنتاجاً في سياق المسألة.

    [7 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد H0: μd = 0 (لا تغيير)؛ H1: μd > 0 (انخفض زمن رد الفعل، لأن قبل − بعد موجب إذا كان أسرع).
    • حساب متوسط الفروق d̄ = 1.4.
    • حساب الانحراف المعياري لعينة الفروق sd ≈ 1.90.
    • حساب إحصائية الاختبار t = d̄/(sd/√n) = 1.4/(1.90/√10).
    • الحصول على t ≈ 2.33.
    • مقارنة 2.33 بالقيمة الحرجة 1.833 وملاحظة أن 2.33 > 1.833.
    • الاستنتاج برفض H0: يوجد دليل عند مستوى 5% على أن البرنامج التدريبي قلّل أزمنة رد الفعل.

    ملاحظة الفاحص: يختزل اختبار t المزدوج عينتين مترابطتين إلى عينة واحدة من الفروق — احسب دائماً متوسط الفروق نفسها وانحرافها المعياري، لا متوسطي القيم الأصلية قبل/بعد كلٍ على حدة.

32. 32.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «قِيست أزمنة رد فعل 10 مشاركين (بأجزاء من مئة الثانية) قبل برنامج تدريبي وبعده. كانت الفروق (قبل − بعد): 2، −1، 3، 4، 0، 2، 1، −2، 3، 2. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان البرنامج التدريبي قد قلّل أزمنة رد الفعل، بمعلومية قيمة t الحرجة 1.833 لـ9 درجات حرية. (أ) حدد الفرضية الصفرية والبديلة. (ب) احسب متوسط الفروق وانحرافها المعياري. (ج) احسب إحصائية الاختبار. (د) حدد استنتاجاً في سياق المسألة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: μd = 0 (لا تغيير)؛ H1: μd > 0 (انخفض زمن رد الفعل، لأن قبل − بعد موجب إذا كان أسرع).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 7 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [7 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد H0: μd = 0 (لا تغيير)؛ H1: μd > 0 (انخفض زمن رد الفعل، لأن قبل − بعد موجب إذا كان أسرع).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب متوسط الفروق d̄ = 1.4.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الانحراف المعياري لعينة الفروق sd ≈ 1.90.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب إحصائية الاختبار t = d̄/(sd/√n) = 1.4/(1.90/√10).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على t ≈ 2.33.
    • يحدد المتطلب الناقص: مقارنة 2.33 بالقيمة الحرجة 1.833 وملاحظة أن 2.33 > 1.833.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج برفض H0: يوجد دليل عند مستوى 5% على أن البرنامج التدريبي قلّل أزمنة رد الفعل.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.