الرياضيات: التطبيقات والتفسير SL
الرياضيات المالية — الموضوع 1
- 1.
تستثمر ليلى 4,000 درهم في حساب بفائدة اسمية سنوية 6% تُحتسب شهرياً. احسب قيمة استثمارها بعد 3 سنوات، مقرَّبة لأقرب درهم.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- تحديد n = 36 (الاحتساب الشهري خلال 3 سنوات).
- استخدام صيغة القيمة المركبة بمعدل شهري 6%/12 = 0.5%.
- الحصول على قيمة 4,787 درهم (لأقرب درهم).
ملاحظة الفاحص: في التطبيق المالي على الآلة الحاسبة، أدخل n كعدد فترات الاحتساب وليس عدد السنوات.
- 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تستثمر ليلى 4,000 درهم في حساب بفائدة اسمية سنوية 6% تُحتسب شهرياً. احسب قيمة استثمارها بعد 3 سنوات، مقرَّبة لأقرب درهم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد n = 36 (الاحتساب الشهري خلال 3 سنوات).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد n = 36 (الاحتساب الشهري خلال 3 سنوات).
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام صيغة القيمة المركبة بمعدل شهري 6%/12 = 0.5%.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على قيمة 4,787 درهم (لأقرب درهم).
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 3.
تنخفض قيمة شاحنة توصيل اشتُريت بمبلغ 90,000 درهم بنسبة 15% سنوياً بطريقة الرصيد المتناقص. أوجد قيمتها بعد 4 سنوات كاملة، وحدد أول سنة كاملة تنخفض فيها قيمتها عن 40,000 درهم.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام نموذج الرصيد المتناقص V = 90000(0.85)^n.
- الحصول على القيمة بعد 4 سنوات بمقدار 46,981 درهم تقريباً.
- اختبار قيم صحيحة متتالية لـ n (أو استخدام اللوغاريتمات) لتحديد متى تنخفض V عن 40000.
- تحديد أن القيمة تنخفض عن 40,000 درهم لأول مرة خلال السنة 5 (n = 5).
ملاحظة الفاحص: يُضرب الإهلاك بطريقة الرصيد المتناقص بالمعامل نفسه كل سنة؛ لا تطرح مبلغاً ثابتاً.
- 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تنخفض قيمة شاحنة توصيل اشتُريت بمبلغ 90,000 درهم بنسبة 15% سنوياً بطريقة الرصيد المتناقص. أوجد قيمتها بعد 4 سنوات كاملة، وحدد أول سنة كاملة تنخفض فيها قيمتها عن 40,000 درهم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام نموذج الرصيد المتناقص V = 90000(0.85)^n.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام نموذج الرصيد المتناقص V = 90000(0.85)^n.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على القيمة بعد 4 سنوات بمقدار 46,981 درهم تقريباً.
- يحدد المتطلب الناقص: اختبار قيم صحيحة متتالية لـ n (أو استخدام اللوغاريتمات) لتحديد متى تنخفض V عن 40000.
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن القيمة تنخفض عن 40,000 درهم لأول مرة خلال السنة 5 (n = 5).
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 5.
يقترض طالب 12,000 درهم على أن يسددها بأقساط شهرية متساوية على مدى سنتين بفائدة اسمية سنوية 9% تُحتسب شهرياً. (أ) احسب القسط الشهري. (ب) احسب إجمالي المبلغ المسدد خلال مدة القرض. (ج) احسب إجمالي الفائدة المدفوعة. (د) اذكر، دون حساب إضافي، كيف يتغير إجمالي الفائدة إذا مُددت مدة القرض إلى 3 سنوات بنفس المعدل.
[6 درجة]نقاط التصحيح
- إعداد القرض بـ PV = 12000، وn = 24 دفعة شهرية، ومعدل شهري 9%/12 = 0.75%.
- استخدام حلّال مالي (TVM) للحصول على قسط شهري يقارب 548 درهم.
- حساب إجمالي المبلغ المسدد 548 × 24 ≈ 13,152 درهم.
- حساب إجمالي الفائدة = إجمالي المسدد − 12000 ≈ 1,152 درهم.
- إدراك أن تمديد المدة يقلل القسط الشهري لكنه يزيد عدد الدفعات.
- توضيح أن إجمالي الفائدة المدفوعة يزداد لأن الفائدة تستمر بالتراكم خلال فترة سداد أطول.
ملاحظة الفاحص: حافظ على اتساق إشارات التدفق النقدي في الحلّال المالي: يجب أن يكون المبلغ المقترَض والدفعات بإشارتين متعاكستين.
- 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يقترض طالب 12,000 درهم على أن يسددها بأقساط شهرية متساوية على مدى سنتين بفائدة اسمية سنوية 9% تُحتسب شهرياً. (أ) احسب القسط الشهري. (ب) احسب إجمالي المبلغ المسدد خلال مدة القرض. (ج) احسب إجمالي الفائدة المدفوعة. (د) اذكر، دون حساب إضافي، كيف يتغير إجمالي الفائدة إذا مُددت مدة القرض إلى 3 سنوات بنفس المعدل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد القرض بـ PV = 12000، وn = 24 دفعة شهرية، ومعدل شهري 9%/12 = 0.75%.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعداد القرض بـ PV = 12000، وn = 24 دفعة شهرية، ومعدل شهري 9%/12 = 0.75%.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام حلّال مالي (TVM) للحصول على قسط شهري يقارب 548 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب إجمالي المبلغ المسدد 548 × 24 ≈ 13,152 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب إجمالي الفائدة = إجمالي المسدد − 12000 ≈ 1,152 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: إدراك أن تمديد المدة يقلل القسط الشهري لكنه يزيد عدد الدفعات.
- يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن إجمالي الفائدة المدفوعة يزداد لأن الفائدة تستمر بالتراكم خلال فترة سداد أطول.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 7.
يستثمر سامر 5,000 درهم لمدة 4 سنوات. يدفع الخيار A فائدة بسيطة 5% سنوياً. ويدفع الخيار B فائدة مركبة 5% سنوياً تُحتسب سنوياً. احسب قيمة كل خيار بعد 4 سنوات، واذكر أي خيار يعطي عائداً أكبر.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام الفائدة البسيطة I = Prt للحصول على قيمة الخيار A البالغة 6,000 درهم.
- استخدام صيغة القيمة المركبة للحصول على قيمة الخيار B البالغة 6,077.53 درهم تقريباً.
- توضيح أن الخيار B يعطي العائد الأكبر.
ملاحظة الفاحص: تنمو الفائدة البسيطة بمقدار ثابت كل سنة؛ بينما تنمو الفائدة المركبة بمقدار متزايد، لذا تتجاوز الفائدة المركبة دائماً البسيطة بالمعدل نفسه مع الوقت.
- 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يستثمر سامر 5,000 درهم لمدة 4 سنوات. يدفع الخيار A فائدة بسيطة 5% سنوياً. ويدفع الخيار B فائدة مركبة 5% سنوياً تُحتسب سنوياً. احسب قيمة كل خيار بعد 4 سنوات، واذكر أي خيار يعطي عائداً أكبر.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام الفائدة البسيطة I = Prt للحصول على قيمة الخيار A البالغة 6,000 درهم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام الفائدة البسيطة I = Prt للحصول على قيمة الخيار A البالغة 6,000 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام صيغة القيمة المركبة للحصول على قيمة الخيار B البالغة 6,077.53 درهم تقريباً.
- يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن الخيار B يعطي العائد الأكبر.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 9.
تقترض أسرة 8,000 درهم على أن تسددها بأقساط شهرية متساوية على مدى سنتين بفائدة اسمية سنوية 9% تُحتسب شهرياً. (أ) احسب القسط الشهري. (ب) احسب مقدار الفائدة في القسط الأول. (ج) احسب مقدار سداد أصل الدين في القسط الأول.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- إعداد PV = 8000، وn = 24، ومعدل شهري 9%/12 = 0.75%.
- استخدام حلّال مالي للحصول على قسط شهري يقارب 365.48 درهم.
- حساب فائدة الشهر الأول بـ 8000 × 0.0075 = 60.00 درهم.
- حساب جزء سداد الأصل من القسط الأول بـ 365.48 − 60.00 ≈ 305.48 درهم.
ملاحظة الفاحص: في أول قسط لأي قرض، تُحسب الفائدة على كامل الرصيد الأصلي؛ ولا يخفض الأصل سوى باقي الدفعة.
- 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تقترض أسرة 8,000 درهم على أن تسددها بأقساط شهرية متساوية على مدى سنتين بفائدة اسمية سنوية 9% تُحتسب شهرياً. (أ) احسب القسط الشهري. (ب) احسب مقدار الفائدة في القسط الأول. (ج) احسب مقدار سداد أصل الدين في القسط الأول.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد PV = 8000، وn = 24، ومعدل شهري 9%/12 = 0.75%.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعداد PV = 8000، وn = 24، ومعدل شهري 9%/12 = 0.75%.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام حلّال مالي للحصول على قسط شهري يقارب 365.48 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب فائدة الشهر الأول بـ 8000 × 0.0075 = 60.00 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب جزء سداد الأصل من القسط الأول بـ 365.48 − 60.00 ≈ 305.48 درهم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 11.
تودع فاطمة 200 درهم في نهاية كل شهر في حساب بفائدة اسمية سنوية 6% تُحتسب شهرياً. احسب قيمة مدخراتها بعد 3 سنوات.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- تحديد أن هذا هو القيمة المستقبلية لمعاش ادخار منتظم بدفعة شهرية 200 درهم ومعدل شهري 0.5%.
- استخدام حلّال مالي (أو صيغة المعاش) بـ n = 36 دفعة.
- الحصول على قيمة نهائية تقارب 7,867.22 درهم.
ملاحظة الفاحص: تُعد سلسلة الودائع المنتظمة معاشاً لا مبلغاً مقطوعاً واحداً — استخدم حلّال المعاش/TVM في الآلة الحاسبة بعدد الدفعات الصحيح.
- 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تودع فاطمة 200 درهم في نهاية كل شهر في حساب بفائدة اسمية سنوية 6% تُحتسب شهرياً. احسب قيمة مدخراتها بعد 3 سنوات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن هذا هو القيمة المستقبلية لمعاش ادخار منتظم بدفعة شهرية 200 درهم ومعدل شهري 0.5%.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن هذا هو القيمة المستقبلية لمعاش ادخار منتظم بدفعة شهرية 200 درهم ومعدل شهري 0.5%.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام حلّال مالي (أو صيغة المعاش) بـ n = 36 دفعة.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على قيمة نهائية تقارب 7,867.22 درهم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 13.
يعلن بنك عن حساب توفير بفائدة اسمية سنوية 8% تُحتسب شهرياً. احسب معدل الفائدة السنوي الفعلي لهذا الحساب، مقرَّباً لـ3 أرقام معنوية.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام صيغة المعدل الفعلي (1 + الاسمي/m)^m − 1 بـ الاسمي = 0.08 وm = 12.
- الحصول على معدل سنوي فعلي يقارب 8.30%.
ملاحظة الفاحص: يكون المعدل السنوي الفعلي أعلى دائماً بقليل من المعدل الاسمي كلما تكرر الاحتساب أكثر من مرة في السنة.
- 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يعلن بنك عن حساب توفير بفائدة اسمية سنوية 8% تُحتسب شهرياً. احسب معدل الفائدة السنوي الفعلي لهذا الحساب، مقرَّباً لـ3 أرقام معنوية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المعدل الفعلي (1 + الاسمي/m)^m − 1 بـ الاسمي = 0.08 وm = 12.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة المعدل الفعلي (1 + الاسمي/m)^m − 1 بـ الاسمي = 0.08 وm = 12.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على معدل سنوي فعلي يقارب 8.30%.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 15.
يُفترض أن يبقى التضخم في دولة ثابتاً عند 3% سنوياً. ما القيمة الحقيقية (بالقوة الشرائية الحالية) لمبلغ 10,000 درهم اليوم بعد 5 سنوات، بافتراض عدم وجود تغير آخر في القيمة؟ احسب هذه القيمة الحقيقية، مقرَّبة لأقرب درهم.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- إدراك أن التضخم يقلل القوة الشرائية، لذا يجب خصم القيمة الحقيقية بمعدل التضخم.
- القسمة على (1.03)^5 للحصول على قيمة حقيقية تقارب 8,626 درهم.
ملاحظة الفاحص: يستخدم إيجاد القيمة «الحقيقية» في ظل التضخم فكرة الخصم نفسها المستخدمة في إيجاد القيمة الحالية — اقسم على معامل النمو.
- 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُفترض أن يبقى التضخم في دولة ثابتاً عند 3% سنوياً. ما القيمة الحقيقية (بالقوة الشرائية الحالية) لمبلغ 10,000 درهم اليوم بعد 5 سنوات، بافتراض عدم وجود تغير آخر في القيمة؟ احسب هذه القيمة الحقيقية، مقرَّبة لأقرب درهم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن التضخم يقلل القوة الشرائية، لذا يجب خصم القيمة الحقيقية بمعدل التضخم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن التضخم يقلل القوة الشرائية، لذا يجب خصم القيمة الحقيقية بمعدل التضخم.
- يحدد المتطلب الناقص: القسمة على (1.03)^5 للحصول على قيمة حقيقية تقارب 8,626 درهم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 17.
يُسدَّد قرض قيمته 15,000 درهم على مدى 3 سنوات بأقساط شهرية متساوية بفائدة اسمية سنوية 7.2% تُحتسب شهرياً. (أ) احسب القسط الشهري. (ب) احسب الرصيد المتبقي فور سداد القسط الثاني عشر.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- إعداد PV = 15000، وn = 36، ومعدل شهري 7.2%/12 = 0.6%.
- استخدام حلّال مالي للحصول على قسط شهري يقارب 464.53 درهم.
- استخدام دالة الإطفاء (أو الرصيد) في الآلة الحاسبة، أو صيغة الرصيد، مع k = 12 دفعة مسددة.
- الحصول على رصيد متبقٍ يقارب 10,354 درهم.
ملاحظة الفاحص: تمتلك معظم التطبيقات المالية على الآلات الحاسبة البيانية دالة «رصيد» أو «إطفاء» مدمجة — استخدمها مباشرة بدلاً من إعادة جمع الدفعات الفردية يدوياً.
- 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُسدَّد قرض قيمته 15,000 درهم على مدى 3 سنوات بأقساط شهرية متساوية بفائدة اسمية سنوية 7.2% تُحتسب شهرياً. (أ) احسب القسط الشهري. (ب) احسب الرصيد المتبقي فور سداد القسط الثاني عشر.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد PV = 15000، وn = 36، ومعدل شهري 7.2%/12 = 0.6%.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعداد PV = 15000، وn = 36، ومعدل شهري 7.2%/12 = 0.6%.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام حلّال مالي للحصول على قسط شهري يقارب 464.53 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام دالة الإطفاء (أو الرصيد) في الآلة الحاسبة، أو صيغة الرصيد، مع k = 12 دفعة مسددة.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على رصيد متبقٍ يقارب 10,354 درهم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 19.
يَنمو استثمار قدره 4,000 درهم بمعدل فائدة مركبة سنوية ثابت 6%. (أ) استخدم اللوغاريتمات لإيجاد العدد الدقيق للسنوات اللازمة ليتضاعف الاستثمار. (ب) قارن إجابتك بالتقدير الذي تعطيه «قاعدة 72» (72 ÷ معدل الفائدة كنسبة مئوية).
[4 درجة]نقاط التصحيح
- إعداد المعادلة 2 = (1.06)^n.
- أخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين وحل n = ln(2)/ln(1.06).
- الحصول على n ≈ 11.90 سنة.
- مقارنة ذلك بتقدير قاعدة 72 البالغ 72 ÷ 6 = 12 سنة، مع ملاحظة أن القيمتين متقاربتان جداً.
ملاحظة الفاحص: قاعدة 72 تقدير سريع لا طريقة دقيقة — استخدم اللوغاريتمات دائماً عند الحاجة إلى إجابة دقيقة.
- 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يَنمو استثمار قدره 4,000 درهم بمعدل فائدة مركبة سنوية ثابت 6%. (أ) استخدم اللوغاريتمات لإيجاد العدد الدقيق للسنوات اللازمة ليتضاعف الاستثمار. (ب) قارن إجابتك بالتقدير الذي تعطيه «قاعدة 72» (72 ÷ معدل الفائدة كنسبة مئوية).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد المعادلة 2 = (1.06)^n.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعداد المعادلة 2 = (1.06)^n.
- يحدد المتطلب الناقص: أخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين وحل n = ln(2)/ln(1.06).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على n ≈ 11.90 سنة.
- يحدد المتطلب الناقص: مقارنة ذلك بتقدير قاعدة 72 البالغ 72 ÷ 6 = 12 سنة، مع ملاحظة أن القيمتين متقاربتان جداً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 21.
يُستثمر 3,000 درهم لمدة 5 سنوات بمعدل اسمي سنوي 5%. احسب القيمة النهائية للاستثمار إذا احتُسبت الفائدة (أ) سنوياً و(ب) شهرياً. (ج) اذكر طريقة الاحتساب التي تعطي العائد الأكبر، واشرح السبب.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام الاحتساب السنوي للحصول على قيمة تقارب 3,828.84 درهم.
- استخدام الاحتساب الشهري (معدل 5%/12، n = 60) للحصول على قيمة تقارب 3,850.08 درهم.
- توضيح أن الاحتساب الشهري يعطي العائد الأكبر.
- شرح أن الاحتساب الأكثر تكراراً يعني إضافة الفائدة إلى الرصيد مبكراً، فتبدأ بكسب فائدتها الخاصة مبكراً.
ملاحظة الفاحص: بالنسبة للمعدل الاسمي نفسه، ينتج الاحتساب الأكثر تكراراً دائماً قيمة نهائية أكبر أو مساوية — لا أقل أبداً.
- 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُستثمر 3,000 درهم لمدة 5 سنوات بمعدل اسمي سنوي 5%. احسب القيمة النهائية للاستثمار إذا احتُسبت الفائدة (أ) سنوياً و(ب) شهرياً. (ج) اذكر طريقة الاحتساب التي تعطي العائد الأكبر، واشرح السبب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام الاحتساب السنوي للحصول على قيمة تقارب 3,828.84 درهم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام الاحتساب السنوي للحصول على قيمة تقارب 3,828.84 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام الاحتساب الشهري (معدل 5%/12، n = 60) للحصول على قيمة تقارب 3,850.08 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن الاحتساب الشهري يعطي العائد الأكبر.
- يحدد المتطلب الناقص: شرح أن الاحتساب الأكثر تكراراً يعني إضافة الفائدة إلى الرصيد مبكراً، فتبدأ بكسب فائدتها الخاصة مبكراً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 23.
تشتري شركة آلات بمبلغ 50,000 درهم، يُتوقع أن تبلغ قيمتها التخريدية 5,000 درهم بعد 10 سنوات. (أ) باستخدام طريقة القسط الثابت، احسب قيمة الآلات بعد 3 سنوات. (ب) باستخدام طريقة الرصيد المتناقص بمعدل إهلاك سنوي 15%، احسب قيمة الآلات بعد 3 سنوات. (ج) اذكر أي طريقة تعطي قيمة أقل بعد 3 سنوات.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- حساب إهلاك القسط الثابت السنوي بـ (50000 − 5000) ÷ 10 = 4,500 درهم.
- الحصول على قيمة القسط الثابت بعد 3 سنوات 50000 − 3(4500) = 36,500 درهم.
- استخدام V = 50000(0.85)^3 لطريقة الرصيد المتناقص.
- الحصول على قيمة الرصيد المتناقص بعد 3 سنوات تقارب 30,706 درهم.
- توضيح أن طريقة الرصيد المتناقص تعطي القيمة الأقل بعد 3 سنوات.
ملاحظة الفاحص: يكون إهلاك الرصيد المتناقص أسرع في السنوات الأولى، لأنه دائماً نسبة من القيمة الحالية لا الأصلية.
- 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تشتري شركة آلات بمبلغ 50,000 درهم، يُتوقع أن تبلغ قيمتها التخريدية 5,000 درهم بعد 10 سنوات. (أ) باستخدام طريقة القسط الثابت، احسب قيمة الآلات بعد 3 سنوات. (ب) باستخدام طريقة الرصيد المتناقص بمعدل إهلاك سنوي 15%، احسب قيمة الآلات بعد 3 سنوات. (ج) اذكر أي طريقة تعطي قيمة أقل بعد 3 سنوات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب إهلاك القسط الثابت السنوي بـ (50000 − 5000) ÷ 10 = 4,500 درهم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب إهلاك القسط الثابت السنوي بـ (50000 − 5000) ÷ 10 = 4,500 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على قيمة القسط الثابت بعد 3 سنوات 50000 − 3(4500) = 36,500 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام V = 50000(0.85)^3 لطريقة الرصيد المتناقص.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على قيمة الرصيد المتناقص بعد 3 سنوات تقارب 30,706 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن طريقة الرصيد المتناقص تعطي القيمة الأقل بعد 3 سنوات.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 25.
تريد نور ادخار 20,000 درهم خلال 5 سنوات بإيداعات شهرية متساوية في حساب بفائدة اسمية سنوية 4% تُحتسب شهرياً. احسب الإيداع الشهري المطلوب.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- تحديد أن هذا إيجاد دفعة منتظمة لصندوق ادخار بقيمة مستقبلية مستهدفة 20,000 درهم، وn = 60 شهراً، ومعدل شهري 4%/12.
- استخدام حلّال مالي بالقيم الصحيحة.
- الحصول على إيداع شهري مطلوب يقارب 301.66 درهم.
ملاحظة الفاحص: هذا عكس مسألة الادخار المعتادة: هنا القيمة النهائية معروفة والدفعة المنتظمة هي المجهول المطلوب حله.
- 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تريد نور ادخار 20,000 درهم خلال 5 سنوات بإيداعات شهرية متساوية في حساب بفائدة اسمية سنوية 4% تُحتسب شهرياً. احسب الإيداع الشهري المطلوب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن هذا إيجاد دفعة منتظمة لصندوق ادخار بقيمة مستقبلية مستهدفة 20,000 درهم، وn = 60 شهراً، ومعدل شهري 4%/12.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن هذا إيجاد دفعة منتظمة لصندوق ادخار بقيمة مستقبلية مستهدفة 20,000 درهم، وn = 60 شهراً، ومعدل شهري 4%/12.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام حلّال مالي بالقيم الصحيحة.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على إيداع شهري مطلوب يقارب 301.66 درهم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 27.
يستبدل سائح 1,000 دولار أمريكي بدراهم إماراتية بسعر 1 دولار = 3.67 درهم. يفرض مكتب الصرافة عمولة 2% على المبلغ المحوَّل. (أ) احسب المبلغ بالدرهم قبل العمولة. (ب) احسب المبلغ الذي يستلمه السائح فعلياً بعد العمولة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- ضرب 1000 × 3.67 للحصول على 3,670 درهم قبل العمولة.
- حساب العمولة بـ 2% من 3,670 درهم = 73.40 درهم.
- طرح العمولة للحصول على 3,596.60 درهم.
- التأكد من أن هذا يساوي 3670 × 0.98 كتحقق.
ملاحظة الفاحص: طبّق سعر الصرف أولاً، ثم طبّق العمولة على المبلغ المحوَّل — لا على مبلغ العملة الأجنبية الأصلي.
- 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يستبدل سائح 1,000 دولار أمريكي بدراهم إماراتية بسعر 1 دولار = 3.67 درهم. يفرض مكتب الصرافة عمولة 2% على المبلغ المحوَّل. (أ) احسب المبلغ بالدرهم قبل العمولة. (ب) احسب المبلغ الذي يستلمه السائح فعلياً بعد العمولة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب 1000 × 3.67 للحصول على 3,670 درهم قبل العمولة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ضرب 1000 × 3.67 للحصول على 3,670 درهم قبل العمولة.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب العمولة بـ 2% من 3,670 درهم = 73.40 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: طرح العمولة للحصول على 3,596.60 درهم.
- يحدد المتطلب الناقص: التأكد من أن هذا يساوي 3670 × 0.98 كتحقق.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 29.
تفرض بطاقة ائتمان معدل فائدة اسمياً سنوياً 12% يُحتسب شهرياً على أي رصيد غير مسدد. احسب معدل الفائدة السنوي الفعلي المفروض، لـ3 أرقام معنوية، وعلّق على سبب كونه أعلى من المعدل المعلن 12%.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام صيغة المعدل الفعلي (1 + 0.12/12)^12 − 1.
- الحصول على معدل سنوي فعلي يقارب 12.7%.
- التعليق بأن الاحتساب الشهري يعني أن الفائدة غير المسددة تبدأ بكسب فائدة بنفسها خلال السنة، مما يرفع التكلفة السنوية الحقيقية فوق المعدل الاسمي.
ملاحظة الفاحص: تزداد الفجوة بين المعدل الاسمي والفعلي مع ارتفاع المعدل الاسمي ومع تكرار الاحتساب أكثر.
- 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تفرض بطاقة ائتمان معدل فائدة اسمياً سنوياً 12% يُحتسب شهرياً على أي رصيد غير مسدد. احسب معدل الفائدة السنوي الفعلي المفروض، لـ3 أرقام معنوية، وعلّق على سبب كونه أعلى من المعدل المعلن 12%.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المعدل الفعلي (1 + 0.12/12)^12 − 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة المعدل الفعلي (1 + 0.12/12)^12 − 1.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على معدل سنوي فعلي يقارب 12.7%.
- يحدد المتطلب الناقص: التعليق بأن الاحتساب الشهري يعني أن الفائدة غير المسددة تبدأ بكسب فائدة بنفسها خلال السنة، مما يرفع التكلفة السنوية الحقيقية فوق المعدل الاسمي.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 31.
احسب المبلغ الذي يجب استثماره اليوم بمعدل فائدة مركبة سنوية 6.5% للحصول على 10,000 درهم بالضبط بعد 6 سنوات.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- إدراك أن هذه مسألة قيمة حالية: PV = FV ÷ (1 + r)^n.
- تعويض FV = 10000، وr = 0.065، وn = 6.
- الحصول على استثمار حالي مطلوب يقارب 6,853 درهم.
ملاحظة الفاحص: إيجاد القيمة الحالية هو ببساطة نمو مركب يُحسب عكسياً — اقسم على معامل النمو بدلاً من الضرب فيه.
- 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب المبلغ الذي يجب استثماره اليوم بمعدل فائدة مركبة سنوية 6.5% للحصول على 10,000 درهم بالضبط بعد 6 سنوات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن هذه مسألة قيمة حالية: PV = FV ÷ (1 + r)^n.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن هذه مسألة قيمة حالية: PV = FV ÷ (1 + r)^n.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض FV = 10000، وr = 0.065، وn = 6.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على استثمار حالي مطلوب يقارب 6,853 درهم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.