الرياضيات: التطبيقات والتفسير SL
الهندسة وحساب المثلثات — الموضوع 3
- 1.
يستند سلّم طوله 10 أمتار إلى جدار رأسي، ويصنع زاوية 65° مع الأرض الأفقية. احسب الارتفاع الذي يبلغه السلّم على الجدار.
[2 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يستند سلّم طوله 10 أمتار إلى جدار رأسي، ويصنع زاوية 65° مع الأرض الأفقية. احسب الارتفاع الذي يبلغه السلّم على الجدار.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام الارتفاع = 10 × sin(65°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] - 3.
يبلغ ارتفاع مبنى 50 متراً. يقف مراقب على بعد 120 متراً من قاعدة المبنى على أرض مستوية. احسب زاوية الارتفاع من المراقب إلى قمة المبنى.
[2 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يبلغ ارتفاع مبنى 50 متراً. يقف مراقب على بعد 120 متراً من قاعدة المبنى على أرض مستوية. احسب زاوية الارتفاع من المراقب إلى قمة المبنى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام tan(الزاوية) = 50/120.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] - 5.
في المثلث ABC، الزاوية A = 40°، والزاوية B = 65°، والضلع a = 12 سم. استخدم قاعدة الجيب لإيجاد طول الضلع b.
[3 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، الزاوية A = 40°، والزاوية B = 65°، والضلع a = 12 سم. استخدم قاعدة الجيب لإيجاد طول الضلع b.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة الجيب a/sin(A) = b/sin(B).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 7.
في المثلث ABC، b = 8 سم، وc = 10 سم، والزاوية بينهما A = 55°. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد طول الضلع a.
[3 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، b = 8 سم، وc = 10 سم، والزاوية بينهما A = 55°. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد طول الضلع a.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة جيب التمام a² = b² + c² − 2bc·cos(A).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 9.
في المثلث ABC، a = 7 سم، وb = 9 سم، وc = 12 سم. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية C، الزاوية المقابلة لأطول ضلع.
[3 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، a = 7 سم، وb = 9 سم، وc = 12 سم. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية C، الزاوية المقابلة لأطول ضلع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعادة ترتيب قاعدة جيب التمام إلى cos(C) = (a² + b² − c²)/(2ab).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 11.
للمثلث ABC ضلعان a = 10 سم وb = 14 سم، والزاوية المحصورة بينهما C = 38°. احسب مساحة المثلث.
[2 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمثلث ABC ضلعان a = 10 سم وb = 14 سم، والزاوية المحصورة بينهما C = 38°. احسب مساحة المثلث.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المساحة = (1/2)ab·sin(C).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] - 13.
تبحر سفينة 50 كم من الميناء A باتجاه 070° لتصل إلى النقطة B، ثم تبحر 70 كم باتجاه 140° لتصل إلى النقطة C. احسب المسافة المستقيمة من A إلى C.
[4 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تبحر سفينة 50 كم من الميناء A باتجاه 070° لتصل إلى النقطة B، ثم تبحر 70 كم باتجاه 140° لتصل إلى النقطة C. احسب المسافة المستقيمة من A إلى C.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الزاوية الداخلية عند B بين BA وBC هي 180° − (140° − 70°) = 110°.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 15.
تبحر قارب من النقطة A إلى النقطة B، فتقطع 40 كم شرقاً و30 كم شمالاً. احسب اتجاه B من A.
[3 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تبحر قارب من النقطة A إلى النقطة B، فتقطع 40 كم شرقاً و30 كم شمالاً. احسب اتجاه B من A.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «رسم الإزاحة وتحديد الزاوية من الشمال بـ arctan(شرق/شمال).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 17.
لمخروط نصف قطر قاعدة 6 سم وارتفاع 8 سم. (أ) أوجد طول المَوْلِد (الارتفاع المائل) للمخروط. (ب) أوجد الزاوية بين المَوْلِد والقاعدة.
[4 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمخروط نصف قطر قاعدة 6 سم وارتفاع 8 سم. (أ) أوجد طول المَوْلِد (الارتفاع المائل) للمخروط. (ب) أوجد الزاوية بين المَوْلِد والقاعدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام نظرية فيثاغورس: المَوْلِد² = 6² + 8².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 19.
لمتوازي مستطيلات طول 5 سم وعرض 7 سم وارتفاع 9 سم. (أ) أوجد طول القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات. (ب) أوجد الزاوية التي يصنعها هذا القطر مع القاعدة.
[4 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتوازي مستطيلات طول 5 سم وعرض 7 سم وارتفاع 9 سم. (أ) أوجد طول القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات. (ب) أوجد الزاوية التي يصنعها هذا القطر مع القاعدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد قطر القاعدة أولاً: √(5² + 7²) ≈ 8.60 سم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 21.
لدائرة نصف قطرها 15 سم. أوجد طول القوس الذي يقابله زاوية 50° عند المركز.
[3 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لدائرة نصف قطرها 15 سم. أوجد طول القوس الذي يقابله زاوية 50° عند المركز.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحويل 50° إلى راديان: 50 × π/180 ≈ 0.873 راديان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 23.
لقطاع دائري نصف قطره 9 سم وزاويته المركزية 120°. أوجد مساحة القطاع.
[3 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لقطاع دائري نصف قطره 9 سم وزاويته المركزية 120°. أوجد مساحة القطاع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحويل 120° إلى راديان: 120 × π/180 ≈ 2.094 راديان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 25.
يمثل المتجهان a = (3, 4) وb = (−1, 2) إزاحتين. (أ) أوجد المتجه المحصلة a + b. (ب) أوجد مقدار المحصلة والزاوية التي تصنعها مع المحور السيني الموجب.
[4 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمثل المتجهان a = (3, 4) وb = (−1, 2) إزاحتين. (أ) أوجد المتجه المحصلة a + b. (ب) أوجد مقدار المحصلة والزاوية التي تصنعها مع المحور السيني الموجب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع المتجهين مركبةً مركبةً: a + b = (3 + (−1), 4 + 2) = (2, 6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 27.
المثلث PQR يشابه المثلث XYZ، بمعامل تكبير 1.5 من XYZ إلى PQR. إذا كان الضلع XY = 8 سم، أوجد طول الضلع المقابل PQ.
[2 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «المثلث PQR يشابه المثلث XYZ، بمعامل تكبير 1.5 من XYZ إلى PQR. إذا كان الضلع XY = 8 سم، أوجد طول الضلع المقابل PQ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب الضلع المعطى في معامل التكبير: PQ = 8 × 1.5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] - 29.
من أعلى منحدر رأسي ارتفاعه 45 متراً، زاوية الانخفاض إلى قارب في البحر هي 25°. احسب المسافة الأفقية من قاعدة المنحدر إلى القارب.
[3 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «من أعلى منحدر رأسي ارتفاعه 45 متراً، زاوية الانخفاض إلى قارب في البحر هي 25°. احسب المسافة الأفقية من قاعدة المنحدر إلى القارب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن زاوية الانخفاض تساوي زاوية الارتفاع من القارب، بالزوايا المتبادلة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 31.
في المثلث ABC، a = 9 سم، وb = 11 سم، والزاوية C = 50°. (أ) استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد الضلع c. (ب) استخدم قاعدة الجيب لإيجاد الزاوية A. (ج) ومن ثم أوجد الزاوية B.
[6 درجة] - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، a = 9 سم، وb = 11 سم، والزاوية C = 50°. (أ) استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد الضلع c. (ب) استخدم قاعدة الجيب لإيجاد الزاوية A. (ج) ومن ثم أوجد الزاوية B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة جيب التمام: c² = 9² + 11² − 2(9)(11)cos(50°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة]