الهندسة وحساب المثلثات

تصنيف الأوراق هنا غير رسمي وأعددناه بأنفسنا، ونطبّقه فقط حيث يطابق شكل السؤال فعلاً اتفاقية ورقة حقيقية (مثل تقسيم رياضيات IB AA بين بدون آلة حاسبة وبآلة حاسبة). لا يمثل توزيع الأوراق أو ترقيمها الرسمي في الامتحان الفعلي، والأسئلة غير المؤكدة تُصنَّف كـ«تدريب عام».

• 1يستند سلّم طوله 10 أمتار إلى جدار رأسي، ويصنع زاوية 65° مع الأرض الأفقية. احسب الارتفاع الذي يبلغه السلّم على الجدار.نمط الورقة 1سهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 2تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يستند سلّم طوله 10 أمتار إلى جدار رأسي، ويصنع زاوية 65° مع الأرض الأفقية. احسب الارتفاع الذي يبلغه السلّم على الجدار.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام الارتفاع = 10 × sin(65°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 3يبلغ ارتفاع مبنى 50 متراً. يقف مراقب على بعد 120 متراً من قاعدة المبنى على أرض مستوية. احسب زاوية الارتفاع من المراقب إلى قمة المبنى.نمط الورقة 1سهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 4تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يبلغ ارتفاع مبنى 50 متراً. يقف مراقب على بعد 120 متراً من قاعدة المبنى على أرض مستوية. احسب زاوية الارتفاع من المراقب إلى قمة المبنى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام tan(الزاوية) = 50/120.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 5في المثلث ABC، الزاوية A = 40°، والزاوية B = 65°، والضلع a = 12 سم. استخدم قاعدة الجيب لإيجاد طول الضلع b.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 6تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، الزاوية A = 40°، والزاوية B = 65°، والضلع a = 12 سم. استخدم قاعدة الجيب لإيجاد طول الضلع b.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة الجيب a/sin(A) = b/sin(B).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 7في المثلث ABC، b = 8 سم، وc = 10 سم، والزاوية بينهما A = 55°. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد طول الضلع a.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 8تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، b = 8 سم، وc = 10 سم، والزاوية بينهما A = 55°. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد طول الضلع a.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة جيب التمام a² = b² + c² − 2bc·cos(A).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 9في المثلث ABC، a = 7 سم، وb = 9 سم، وc = 12 سم. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية C، الزاوية المقابلة لأطول ضلع.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 10تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، a = 7 سم، وb = 9 سم، وc = 12 سم. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية C، الزاوية المقابلة لأطول ضلع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعادة ترتيب قاعدة جيب التمام إلى cos(C) = (a² + b² − c²)/(2ab).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 11للمثلث ABC ضلعان a = 10 سم وb = 14 سم، والزاوية المحصورة بينهما C = 38°. احسب مساحة المثلث.نمط الورقة 1سهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 12تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمثلث ABC ضلعان a = 10 سم وb = 14 سم، والزاوية المحصورة بينهما C = 38°. احسب مساحة المثلث.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المساحة = (1/2)ab·sin(C).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 13تبحر سفينة 50 كم من الميناء A باتجاه 070° لتصل إلى النقطة B، ثم تبحر 70 كم باتجاه 140° لتصل إلى النقطة C. احسب المسافة المستقيمة من A إلى C.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 14تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تبحر سفينة 50 كم من الميناء A باتجاه 070° لتصل إلى النقطة B، ثم تبحر 70 كم باتجاه 140° لتصل إلى النقطة C. احسب المسافة المستقيمة من A إلى C.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الزاوية الداخلية عند B بين BA وBC هي 180° − (140° − 70°) = 110°.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 15تبحر قارب من النقطة A إلى النقطة B، فتقطع 40 كم شرقاً و30 كم شمالاً. احسب اتجاه B من A.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 16تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تبحر قارب من النقطة A إلى النقطة B، فتقطع 40 كم شرقاً و30 كم شمالاً. احسب اتجاه B من A.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «رسم الإزاحة وتحديد الزاوية من الشمال بـ arctan(شرق/شمال).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 17لمخروط نصف قطر قاعدة 6 سم وارتفاع 8 سم. (أ) أوجد طول المَوْلِد (الارتفاع المائل) للمخروط. (ب) أوجد الزاوية بين المَوْلِد والقاعدة.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 18تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمخروط نصف قطر قاعدة 6 سم وارتفاع 8 سم. (أ) أوجد طول المَوْلِد (الارتفاع المائل) للمخروط. (ب) أوجد الزاوية بين المَوْلِد والقاعدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام نظرية فيثاغورس: المَوْلِد² = 6² + 8².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 19لمتوازي مستطيلات طول 5 سم وعرض 7 سم وارتفاع 9 سم. (أ) أوجد طول القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات. (ب) أوجد الزاوية التي يصنعها هذا القطر مع القاعدة.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 20تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتوازي مستطيلات طول 5 سم وعرض 7 سم وارتفاع 9 سم. (أ) أوجد طول القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات. (ب) أوجد الزاوية التي يصنعها هذا القطر مع القاعدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد قطر القاعدة أولاً: √(5² + 7²) ≈ 8.60 سم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 21لدائرة نصف قطرها 15 سم. أوجد طول القوس الذي يقابله زاوية 50° عند المركز.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 22تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لدائرة نصف قطرها 15 سم. أوجد طول القوس الذي يقابله زاوية 50° عند المركز.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحويل 50° إلى راديان: 50 × π/180 ≈ 0.873 راديان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 23لقطاع دائري نصف قطره 9 سم وزاويته المركزية 120°. أوجد مساحة القطاع.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 24تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لقطاع دائري نصف قطره 9 سم وزاويته المركزية 120°. أوجد مساحة القطاع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحويل 120° إلى راديان: 120 × π/180 ≈ 2.094 راديان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 25يمثل المتجهان a = (3, 4) وb = (−1, 2) إزاحتين. (أ) أوجد المتجه المحصلة a + b. (ب) أوجد مقدار المحصلة والزاوية التي تصنعها مع المحور السيني الموجب.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 26تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمثل المتجهان a = (3, 4) وb = (−1, 2) إزاحتين. (أ) أوجد المتجه المحصلة a + b. (ب) أوجد مقدار المحصلة والزاوية التي تصنعها مع المحور السيني الموجب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع المتجهين مركبةً مركبةً: a + b = (3 + (−1), 4 + 2) = (2, 6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 27المثلث PQR يشابه المثلث XYZ، بمعامل تكبير 1.5 من XYZ إلى PQR. إذا كان الضلع XY = 8 سم، أوجد طول الضلع المقابل PQ.نمط الورقة 1سهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 28تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «المثلث PQR يشابه المثلث XYZ، بمعامل تكبير 1.5 من XYZ إلى PQR. إذا كان الضلع XY = 8 سم، أوجد طول الضلع المقابل PQ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب الضلع المعطى في معامل التكبير: PQ = 8 × 1.5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتآلة حاسبة+
• 29من أعلى منحدر رأسي ارتفاعه 45 متراً، زاوية الانخفاض إلى قارب في البحر هي 25°. احسب المسافة الأفقية من قاعدة المنحدر إلى القارب.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 30تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «من أعلى منحدر رأسي ارتفاعه 45 متراً، زاوية الانخفاض إلى قارب في البحر هي 25°. احسب المسافة الأفقية من قاعدة المنحدر إلى القارب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن زاوية الانخفاض تساوي زاوية الارتفاع من القارب، بالزوايا المتبادلة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 31في المثلث ABC، a = 9 سم، وb = 11 سم، والزاوية C = 50°. (أ) استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد الضلع c. (ب) استخدم قاعدة الجيب لإيجاد الزاوية A. (ج) ومن ثم أوجد الزاوية B.نمط الورقة 2صعب6 درجاتآلة حاسبة+
• 32تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، a = 9 سم، وb = 11 سم، والزاوية C = 50°. (أ) استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد الضلع c. (ب) استخدم قاعدة الجيب لإيجاد الزاوية A. (ج) ومن ثم أوجد الزاوية B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة جيب التمام: c² = 9² + 11² − 2(9)(11)cos(50°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحصعب6 درجاتآلة حاسبة+