الدوال والنمذجة

تصنيف الأوراق هنا غير رسمي وأعددناه بأنفسنا، ونطبّقه فقط حيث يطابق شكل السؤال فعلاً اتفاقية ورقة حقيقية (مثل تقسيم رياضيات IB AA بين بدون آلة حاسبة وبآلة حاسبة). لا يمثل توزيع الأوراق أو ترقيمها الرسمي في الامتحان الفعلي، والأسئلة غير المؤكدة تُصنَّف كـ«تدريب عام».

• 1يفرض نادٍ رياضي رسم اشتراك إضافة إلى تكلفة ثابتة لكل زيارة. يدفع عضو أجرى زيارتين مبلغاً كلياً 15 دولاراً، ويدفع عضو أجرى 6 زيارات مبلغاً كلياً 35 دولاراً. بافتراض أن العلاقة خطية، أوجد معادلة التكلفة الكلية C بدلالة عدد الزيارات n، وفسّر الميل والمقطع C في سياق المسألة.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 2تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يفرض نادٍ رياضي رسم اشتراك إضافة إلى تكلفة ثابتة لكل زيارة. يدفع عضو أجرى زيارتين مبلغاً كلياً 15 دولاراً، ويدفع عضو أجرى 6 زيارات مبلغاً كلياً 35 دولاراً. بافتراض أن العلاقة خطية، أوجد معادلة التكلفة الكلية C بدلالة عدد الزيارات n، وفسّر الميل والمقطع C في سياق المسألة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب الميل بـ (35 − 15)/(6 − 2) = 5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 3يُنمذج ارتفاع كرة تُقذف في الهواء بالعلاقة h(t) = −5t² + 20t + 1، حيث h بالأمتار وt بالثواني. (أ) أوجد الزمن الذي تبلغ عنده الكرة ارتفاعها الأعظم. (ب) أوجد الارتفاع الأعظم الذي تبلغه.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 4تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج ارتفاع كرة تُقذف في الهواء بالعلاقة h(t) = −5t² + 20t + 1، حيث h بالأمتار وt بالثواني. (أ) أوجد الزمن الذي تبلغ عنده الكرة ارتفاعها الأعظم. (ب) أوجد الارتفاع الأعظم الذي تبلغه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الرأس t = −b/(2a) بـ a = −5، وb = 20 للحصول على t = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 5ينمو مجتمع بكتيري أسياً وفق P(t) = P0·e^(kt). عدد الأفراد الابتدائي 200، وبعد 5 ساعات يصبح 600. (أ) أوجد قيمة k. (ب) استخدم نموذجك للتنبؤ بعدد الأفراد بعد 10 ساعات.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 6تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «ينمو مجتمع بكتيري أسياً وفق P(t) = P0·e^(kt). عدد الأفراد الابتدائي 200، وبعد 5 ساعات يصبح 600. (أ) أوجد قيمة k. (ب) استخدم نموذجك للتنبؤ بعدد الأفراد بعد 10 ساعات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض P(5) = 600 وP0 = 200 في 600 = 200e^(5k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 7لمادة مشعة عمر نصف يبلغ 8 أيام. كتلة العينة الابتدائية 50 غراماً. (أ) أوجد ثابت الاضمحلال k في النموذج m(t) = 50e^(−kt). (ب) أوجد الكتلة المتبقية بعد 20 يوماً.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 8تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمادة مشعة عمر نصف يبلغ 8 أيام. كتلة العينة الابتدائية 50 غراماً. (أ) أوجد ثابت الاضمحلال k في النموذج m(t) = 50e^(−kt). (ب) أوجد الكتلة المتبقية بعد 20 يوماً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام شرط عمر النصف m(8) = 25 لإعداد 25 = 50e^(−8k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 9يُنمذج مستوى شدة الصوت L بالديسيبل بالعلاقة L = 10 log10(I/I0)، حيث I الشدة بوحدة واط/م² وI0 = 1 × 10⁻¹² واط/م² هي الشدة المرجعية. احسب مستوى شدة صوت شدته I = 1 × 10⁻⁶ واط/م².نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 10تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج مستوى شدة الصوت L بالديسيبل بالعلاقة L = 10 log10(I/I0)، حيث I الشدة بوحدة واط/م² وI0 = 1 × 10⁻¹² واط/م² هي الشدة المرجعية. احسب مستوى شدة صوت شدته I = 1 × 10⁻⁶ واط/م².» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض I = 1×10⁻⁶ وI0 = 1×10⁻¹² في الصيغة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 11تتناسب تكلفة y لشراء x دفتر متطابق طردياً مع x. إذا كلفت 6 دفاتر 24 دولاراً، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد تكلفة 10 دفاتر.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 12تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتناسب تكلفة y لشراء x دفتر متطابق طردياً مع x. إذا كلفت 6 دفاتر 24 دولاراً، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد تكلفة 10 دفاتر.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد y = kx وتعويض y = 24، وx = 6 للحصول على k = 4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 13يتناسب الزمن y اللازم لإنجاز عمل عكسياً مع عدد العمال x. إذا استغرق 8 عمال 5 ساعات، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد الزمن الذي يستغرقه 20 عاملاً.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 14تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتناسب الزمن y اللازم لإنجاز عمل عكسياً مع عدد العمال x. إذا استغرق 8 عمال 5 ساعات، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد الزمن الذي يستغرقه 20 عاملاً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد y = k/x وتعويض y = 5، وx = 8 للحصول على k = 40.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 15يفرض مرآب سيارات رسوماً وفق الدالة المجزأة C(h) = 5 إذا 0 < h ≤ 1، وC(h) = 5 + 3(h − 1) إذا h > 1، حيث h عدد ساعات الركن وC التكلفة بالدولار. احسب تكلفة الركن لـ (أ) ساعة واحدة، و(ب) 4 ساعات.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 16تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يفرض مرآب سيارات رسوماً وفق الدالة المجزأة C(h) = 5 إذا 0 < h ≤ 1، وC(h) = 5 + 3(h − 1) إذا h > 1، حيث h عدد ساعات الركن وC التكلفة بالدولار. احسب تكلفة الركن لـ (أ) ساعة واحدة، و(ب) 4 ساعات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن h = 1 تقع في الجزء الأول، فتعطي تكلفة 5 دولارات.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 17حل المعادلة 3e^(2x) = 45 من أجل x، مقرَّباً إجابتك لـ3 أرقام معنوية.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 18تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة 3e^(2x) = 45 من أجل x، مقرَّباً إجابتك لـ3 أرقام معنوية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «القسمة على 3 للحصول على e^(2x) = 15.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 19حل المعادلة log2(x) + log2(x − 2) = 3 من أجل x.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 20تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة log2(x) + log2(x − 2) = 3 من أجل x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون اللوغاريتمات لدمج الطرف الأيسر: log2[x(x − 2)] = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 21بمعلومية f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (أ) f(g(2)) و(ب) g(f(2)).نمط الورقة 1سهل3 درجاتبدون آلة+
• 22تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (أ) f(g(2)) و(ب) g(f(2)).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب g(2) = 2² − 3 = 1، ثم f(1) = 2(1) + 1 = 3، فيُحصل على f(g(2)) = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتبدون آلة+
• 23أوجد الدالة العكسية f⁻¹(x) لـ f(x) = (3x − 2)/5، وتحقق من إجابتك بإيجاد f⁻¹(f(4)).نمط الورقة 1متوسط4 درجاتبدون آلة+
• 24تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الدالة العكسية f⁻¹(x) لـ f(x) = (3x − 2)/5، وتحقق من إجابتك بإيجاد f⁻¹(f(4)).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع y = (3x − 2)/5 وتبديل x وy لبدء حل الدالة العكسية.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتبدون آلة+
• 25يتنبأ نموذج بعدد زوار متحف بالعلاقة V(x) = 100√(20 − x)، حيث x سعر الدخول بالدولار. اشرح لماذا ينبغي تقييد مجال هذا النموذج إلى 0 ≤ x ≤ 20 في هذا السياق الواقعي.نمط الورقة 1سهل2 درجاتبدون آلة+
• 26تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتنبأ نموذج بعدد زوار متحف بالعلاقة V(x) = 100√(20 − x)، حيث x سعر الدخول بالدولار. اشرح لماذا ينبغي تقييد مجال هذا النموذج إلى 0 ≤ x ≤ 20 في هذا السياق الواقعي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يشرح أن x لا يمكن أن تكون سالبة، لأن سعر الدخول لا يمكن أن يكون أقل من صفر، فيُعطى الحد الأدنى x ≥ 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتبدون آلة+
• 27يُحوَّل الرسم البياني لـ y = x² إلى الرسم البياني لـ y = (x − 3)² + 2. صف التحويلين المطبقين، وحدد إحداثيي رأس الرسم البياني المحوَّل.نمط الورقة 1سهل2 درجاتبدون آلة+
• 28تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُحوَّل الرسم البياني لـ y = x² إلى الرسم البياني لـ y = (x − 3)² + 2. صف التحويلين المطبقين، وحدد إحداثيي رأس الرسم البياني المحوَّل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وصف انتقال أفقي 3 وحدات لليمين، وانتقال رأسي وحدتين لأعلى.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل2 درجاتبدون آلة+
• 29يُنمذج ارتفاع المد في ميناء، h متراً، بعد t ساعة من منتصف الليل بالعلاقة h(t) = 5 + 3sin(πt/6). (أ) حدد السعة والدور لهذا النموذج. (ب) احسب ارتفاع المد عند t = 3 ساعات.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 30تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج ارتفاع المد في ميناء، h متراً، بعد t ساعة من منتصف الليل بالعلاقة h(t) = 5 + 3sin(πt/6). (أ) حدد السعة والدور لهذا النموذج. (ب) احسب ارتفاع المد عند t = 3 ساعات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد السعة بـ3 أمتار.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 31أوجد إحداثيي نقطتي تقاطع المستقيم y = 2x + 1 والمنحنى y = x² − 4x + 5.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 32تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد إحداثيي نقطتي تقاطع المستقيم y = 2x + 1 والمنحنى y = x² − 4x + 5.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مساواة تعبيري y: 2x + 1 = x² − 4x + 5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+