الرياضيات: التطبيقات والتفسير SL
الدوال والنمذجة — الموضوع 2
- 1.
يفرض نادٍ رياضي رسم اشتراك إضافة إلى تكلفة ثابتة لكل زيارة. يدفع عضو أجرى زيارتين مبلغاً كلياً 15 دولاراً، ويدفع عضو أجرى 6 زيارات مبلغاً كلياً 35 دولاراً. بافتراض أن العلاقة خطية، أوجد معادلة التكلفة الكلية C بدلالة عدد الزيارات n، وفسّر الميل والمقطع C في سياق المسألة.
[4 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يفرض نادٍ رياضي رسم اشتراك إضافة إلى تكلفة ثابتة لكل زيارة. يدفع عضو أجرى زيارتين مبلغاً كلياً 15 دولاراً، ويدفع عضو أجرى 6 زيارات مبلغاً كلياً 35 دولاراً. بافتراض أن العلاقة خطية، أوجد معادلة التكلفة الكلية C بدلالة عدد الزيارات n، وفسّر الميل والمقطع C في سياق المسألة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب الميل بـ (35 − 15)/(6 − 2) = 5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 3.
يُنمذج ارتفاع كرة تُقذف في الهواء بالعلاقة h(t) = −5t² + 20t + 1، حيث h بالأمتار وt بالثواني. (أ) أوجد الزمن الذي تبلغ عنده الكرة ارتفاعها الأعظم. (ب) أوجد الارتفاع الأعظم الذي تبلغه.
[3 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج ارتفاع كرة تُقذف في الهواء بالعلاقة h(t) = −5t² + 20t + 1، حيث h بالأمتار وt بالثواني. (أ) أوجد الزمن الذي تبلغ عنده الكرة ارتفاعها الأعظم. (ب) أوجد الارتفاع الأعظم الذي تبلغه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الرأس t = −b/(2a) بـ a = −5، وb = 20 للحصول على t = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 5.
ينمو مجتمع بكتيري أسياً وفق P(t) = P0·e^(kt). عدد الأفراد الابتدائي 200، وبعد 5 ساعات يصبح 600. (أ) أوجد قيمة k. (ب) استخدم نموذجك للتنبؤ بعدد الأفراد بعد 10 ساعات.
[4 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «ينمو مجتمع بكتيري أسياً وفق P(t) = P0·e^(kt). عدد الأفراد الابتدائي 200، وبعد 5 ساعات يصبح 600. (أ) أوجد قيمة k. (ب) استخدم نموذجك للتنبؤ بعدد الأفراد بعد 10 ساعات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض P(5) = 600 وP0 = 200 في 600 = 200e^(5k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 7.
لمادة مشعة عمر نصف يبلغ 8 أيام. كتلة العينة الابتدائية 50 غراماً. (أ) أوجد ثابت الاضمحلال k في النموذج m(t) = 50e^(−kt). (ب) أوجد الكتلة المتبقية بعد 20 يوماً.
[4 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمادة مشعة عمر نصف يبلغ 8 أيام. كتلة العينة الابتدائية 50 غراماً. (أ) أوجد ثابت الاضمحلال k في النموذج m(t) = 50e^(−kt). (ب) أوجد الكتلة المتبقية بعد 20 يوماً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام شرط عمر النصف m(8) = 25 لإعداد 25 = 50e^(−8k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 9.
يُنمذج مستوى شدة الصوت L بالديسيبل بالعلاقة L = 10 log10(I/I0)، حيث I الشدة بوحدة واط/م² وI0 = 1 × 10⁻¹² واط/م² هي الشدة المرجعية. احسب مستوى شدة صوت شدته I = 1 × 10⁻⁶ واط/م².
[3 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج مستوى شدة الصوت L بالديسيبل بالعلاقة L = 10 log10(I/I0)، حيث I الشدة بوحدة واط/م² وI0 = 1 × 10⁻¹² واط/م² هي الشدة المرجعية. احسب مستوى شدة صوت شدته I = 1 × 10⁻⁶ واط/م².» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض I = 1×10⁻⁶ وI0 = 1×10⁻¹² في الصيغة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 11.
تتناسب تكلفة y لشراء x دفتر متطابق طردياً مع x. إذا كلفت 6 دفاتر 24 دولاراً، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد تكلفة 10 دفاتر.
[3 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتناسب تكلفة y لشراء x دفتر متطابق طردياً مع x. إذا كلفت 6 دفاتر 24 دولاراً، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد تكلفة 10 دفاتر.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد y = kx وتعويض y = 24، وx = 6 للحصول على k = 4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 13.
يتناسب الزمن y اللازم لإنجاز عمل عكسياً مع عدد العمال x. إذا استغرق 8 عمال 5 ساعات، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد الزمن الذي يستغرقه 20 عاملاً.
[3 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتناسب الزمن y اللازم لإنجاز عمل عكسياً مع عدد العمال x. إذا استغرق 8 عمال 5 ساعات، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد الزمن الذي يستغرقه 20 عاملاً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد y = k/x وتعويض y = 5، وx = 8 للحصول على k = 40.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 15.
يفرض مرآب سيارات رسوماً وفق الدالة المجزأة C(h) = 5 إذا 0 < h ≤ 1، وC(h) = 5 + 3(h − 1) إذا h > 1، حيث h عدد ساعات الركن وC التكلفة بالدولار. احسب تكلفة الركن لـ (أ) ساعة واحدة، و(ب) 4 ساعات.
[3 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يفرض مرآب سيارات رسوماً وفق الدالة المجزأة C(h) = 5 إذا 0 < h ≤ 1، وC(h) = 5 + 3(h − 1) إذا h > 1، حيث h عدد ساعات الركن وC التكلفة بالدولار. احسب تكلفة الركن لـ (أ) ساعة واحدة، و(ب) 4 ساعات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن h = 1 تقع في الجزء الأول، فتعطي تكلفة 5 دولارات.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 17.
حل المعادلة 3e^(2x) = 45 من أجل x، مقرَّباً إجابتك لـ3 أرقام معنوية.
[3 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة 3e^(2x) = 45 من أجل x، مقرَّباً إجابتك لـ3 أرقام معنوية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «القسمة على 3 للحصول على e^(2x) = 15.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 19.
حل المعادلة log2(x) + log2(x − 2) = 3 من أجل x.
[4 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة log2(x) + log2(x − 2) = 3 من أجل x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون اللوغاريتمات لدمج الطرف الأيسر: log2[x(x − 2)] = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 21.
بمعلومية f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (أ) f(g(2)) و(ب) g(f(2)).
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (أ) f(g(2)) و(ب) g(f(2)).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب g(2) = 2² − 3 = 1، ثم f(1) = 2(1) + 1 = 3، فيُحصل على f(g(2)) = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 23.
أوجد الدالة العكسية f⁻¹(x) لـ f(x) = (3x − 2)/5، وتحقق من إجابتك بإيجاد f⁻¹(f(4)).
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الدالة العكسية f⁻¹(x) لـ f(x) = (3x − 2)/5، وتحقق من إجابتك بإيجاد f⁻¹(f(4)).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع y = (3x − 2)/5 وتبديل x وy لبدء حل الدالة العكسية.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 25.
يتنبأ نموذج بعدد زوار متحف بالعلاقة V(x) = 100√(20 − x)، حيث x سعر الدخول بالدولار. اشرح لماذا ينبغي تقييد مجال هذا النموذج إلى 0 ≤ x ≤ 20 في هذا السياق الواقعي.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتنبأ نموذج بعدد زوار متحف بالعلاقة V(x) = 100√(20 − x)، حيث x سعر الدخول بالدولار. اشرح لماذا ينبغي تقييد مجال هذا النموذج إلى 0 ≤ x ≤ 20 في هذا السياق الواقعي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يشرح أن x لا يمكن أن تكون سالبة، لأن سعر الدخول لا يمكن أن يكون أقل من صفر، فيُعطى الحد الأدنى x ≥ 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 27.
يُحوَّل الرسم البياني لـ y = x² إلى الرسم البياني لـ y = (x − 3)² + 2. صف التحويلين المطبقين، وحدد إحداثيي رأس الرسم البياني المحوَّل.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُحوَّل الرسم البياني لـ y = x² إلى الرسم البياني لـ y = (x − 3)² + 2. صف التحويلين المطبقين، وحدد إحداثيي رأس الرسم البياني المحوَّل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وصف انتقال أفقي 3 وحدات لليمين، وانتقال رأسي وحدتين لأعلى.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 29.
يُنمذج ارتفاع المد في ميناء، h متراً، بعد t ساعة من منتصف الليل بالعلاقة h(t) = 5 + 3sin(πt/6). (أ) حدد السعة والدور لهذا النموذج. (ب) احسب ارتفاع المد عند t = 3 ساعات.
[4 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج ارتفاع المد في ميناء، h متراً، بعد t ساعة من منتصف الليل بالعلاقة h(t) = 5 + 3sin(πt/6). (أ) حدد السعة والدور لهذا النموذج. (ب) احسب ارتفاع المد عند t = 3 ساعات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد السعة بـ3 أمتار.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 31.
أوجد إحداثيي نقطتي تقاطع المستقيم y = 2x + 1 والمنحنى y = x² − 4x + 5.
[5 درجة] - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد إحداثيي نقطتي تقاطع المستقيم y = 2x + 1 والمنحنى y = x² − 4x + 5.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مساواة تعبيري y: 2x + 1 = x² − 4x + 5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]