الرياضيات: التطبيقات والتفسير SL
الدوال والنمذجة — الموضوع 2
- 1.
يفرض نادٍ رياضي رسم اشتراك إضافة إلى تكلفة ثابتة لكل زيارة. يدفع عضو أجرى زيارتين مبلغاً كلياً 15 دولاراً، ويدفع عضو أجرى 6 زيارات مبلغاً كلياً 35 دولاراً. بافتراض أن العلاقة خطية، أوجد معادلة التكلفة الكلية C بدلالة عدد الزيارات n، وفسّر الميل والمقطع C في سياق المسألة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- حساب الميل بـ (35 − 15)/(6 − 2) = 5.
- إيجاد المعادلة C = 5n + 5 باستخدام إحدى النقطتين المعطاتين.
- تفسير الميل 5 بأنه التكلفة لكل زيارة بالدولار.
- تفسير مقطع C البالغ 5 بأنه رسم الاشتراك الثابت بصرف النظر عن عدد الزيارات.
ملاحظة الفاحص: عامل نموذج التكلفة الخطي تماماً كأي خط مستقيم: استخدم نقطتين لإيجاد الميل أولاً، ثم عوّض لإيجاد المعادلة كاملة.
- 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يفرض نادٍ رياضي رسم اشتراك إضافة إلى تكلفة ثابتة لكل زيارة. يدفع عضو أجرى زيارتين مبلغاً كلياً 15 دولاراً، ويدفع عضو أجرى 6 زيارات مبلغاً كلياً 35 دولاراً. بافتراض أن العلاقة خطية، أوجد معادلة التكلفة الكلية C بدلالة عدد الزيارات n، وفسّر الميل والمقطع C في سياق المسألة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب الميل بـ (35 − 15)/(6 − 2) = 5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب الميل بـ (35 − 15)/(6 − 2) = 5.
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد المعادلة C = 5n + 5 باستخدام إحدى النقطتين المعطاتين.
- يحدد المتطلب الناقص: تفسير الميل 5 بأنه التكلفة لكل زيارة بالدولار.
- يحدد المتطلب الناقص: تفسير مقطع C البالغ 5 بأنه رسم الاشتراك الثابت بصرف النظر عن عدد الزيارات.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 3.
يُنمذج ارتفاع كرة تُقذف في الهواء بالعلاقة h(t) = −5t² + 20t + 1، حيث h بالأمتار وt بالثواني. (أ) أوجد الزمن الذي تبلغ عنده الكرة ارتفاعها الأعظم. (ب) أوجد الارتفاع الأعظم الذي تبلغه.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام صيغة الرأس t = −b/(2a) بـ a = −5، وb = 20 للحصول على t = 2.
- تعويض t = 2 في h(t).
- الحصول على ارتفاع أعظم 21 متراً.
ملاحظة الفاحص: بالنسبة لقطع مكافئ يفتح للأسفل (معامل t² سالب)، يعطي الرأس دائماً النقطة العظمى، لا الصغرى.
- 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج ارتفاع كرة تُقذف في الهواء بالعلاقة h(t) = −5t² + 20t + 1، حيث h بالأمتار وt بالثواني. (أ) أوجد الزمن الذي تبلغ عنده الكرة ارتفاعها الأعظم. (ب) أوجد الارتفاع الأعظم الذي تبلغه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة الرأس t = −b/(2a) بـ a = −5، وb = 20 للحصول على t = 2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة الرأس t = −b/(2a) بـ a = −5، وb = 20 للحصول على t = 2.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 2 في h(t).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على ارتفاع أعظم 21 متراً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 5.
ينمو مجتمع بكتيري أسياً وفق P(t) = P0·e^(kt). عدد الأفراد الابتدائي 200، وبعد 5 ساعات يصبح 600. (أ) أوجد قيمة k. (ب) استخدم نموذجك للتنبؤ بعدد الأفراد بعد 10 ساعات.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- تعويض P(5) = 600 وP0 = 200 في 600 = 200e^(5k).
- أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين للحصول على k = ln(3)/5.
- الحصول على k ≈ 0.220.
- تعويض t = 10 في النموذج للتنبؤ بعدد أفراد يقارب 1,800.
ملاحظة الفاحص: لاحظ أن مضاعفة الزمن من 5 إلى 10 ساعات تُربّع معامل النمو بالضبط (×3 يصبح ×9)، لأن النموذج أسي.
- 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «ينمو مجتمع بكتيري أسياً وفق P(t) = P0·e^(kt). عدد الأفراد الابتدائي 200، وبعد 5 ساعات يصبح 600. (أ) أوجد قيمة k. (ب) استخدم نموذجك للتنبؤ بعدد الأفراد بعد 10 ساعات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض P(5) = 600 وP0 = 200 في 600 = 200e^(5k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تعويض P(5) = 600 وP0 = 200 في 600 = 200e^(5k).
- يحدد المتطلب الناقص: أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين للحصول على k = ln(3)/5.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على k ≈ 0.220.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 10 في النموذج للتنبؤ بعدد أفراد يقارب 1,800.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 7.
لمادة مشعة عمر نصف يبلغ 8 أيام. كتلة العينة الابتدائية 50 غراماً. (أ) أوجد ثابت الاضمحلال k في النموذج m(t) = 50e^(−kt). (ب) أوجد الكتلة المتبقية بعد 20 يوماً.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام شرط عمر النصف m(8) = 25 لإعداد 25 = 50e^(−8k).
- الحل للحصول على k = ln(2)/8 ≈ 0.0866.
- تعويض t = 20 في النموذج.
- الحصول على كتلة متبقية تقارب 8.84 غراماً.
ملاحظة الفاحص: يساوي ثابت الاضمحلال في نموذج عمر النصف دائماً ln(2) مقسوماً على عمر النصف — يتجنب هذا الاختصار إعادة حل المعادلة من البداية في كل مرة.
- 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمادة مشعة عمر نصف يبلغ 8 أيام. كتلة العينة الابتدائية 50 غراماً. (أ) أوجد ثابت الاضمحلال k في النموذج m(t) = 50e^(−kt). (ب) أوجد الكتلة المتبقية بعد 20 يوماً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام شرط عمر النصف m(8) = 25 لإعداد 25 = 50e^(−8k).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام شرط عمر النصف m(8) = 25 لإعداد 25 = 50e^(−8k).
- يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على k = ln(2)/8 ≈ 0.0866.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 20 في النموذج.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على كتلة متبقية تقارب 8.84 غراماً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 9.
يُنمذج مستوى شدة الصوت L بالديسيبل بالعلاقة L = 10 log10(I/I0)، حيث I الشدة بوحدة واط/م² وI0 = 1 × 10⁻¹² واط/م² هي الشدة المرجعية. احسب مستوى شدة صوت شدته I = 1 × 10⁻⁶ واط/م².
[3 درجة]نقاط التصحيح
- تعويض I = 1×10⁻⁶ وI0 = 1×10⁻¹² في الصيغة.
- تبسيط النسبة I/I0 = 10⁶.
- الحصول على L = 10 log10(10⁶) = 60 ديسيبل.
ملاحظة الفاحص: عندما تكون النسبة داخل log10 قوة للعدد 10، يُبسَّط اللوغاريتم فوراً إلى تلك القوة — لا حاجة للآلة الحاسبة بصورة صارمة.
- 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج مستوى شدة الصوت L بالديسيبل بالعلاقة L = 10 log10(I/I0)، حيث I الشدة بوحدة واط/م² وI0 = 1 × 10⁻¹² واط/م² هي الشدة المرجعية. احسب مستوى شدة صوت شدته I = 1 × 10⁻⁶ واط/م².» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض I = 1×10⁻⁶ وI0 = 1×10⁻¹² في الصيغة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تعويض I = 1×10⁻⁶ وI0 = 1×10⁻¹² في الصيغة.
- يحدد المتطلب الناقص: تبسيط النسبة I/I0 = 10⁶.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على L = 10 log10(10⁶) = 60 ديسيبل.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 11.
تتناسب تكلفة y لشراء x دفتر متطابق طردياً مع x. إذا كلفت 6 دفاتر 24 دولاراً، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد تكلفة 10 دفاتر.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- إعداد y = kx وتعويض y = 24، وx = 6 للحصول على k = 4.
- كتابة النموذج كـ y = 4x.
- تعويض x = 10 للحصول على تكلفة 40 دولاراً.
ملاحظة الفاحص: في التناسب الطردي، تكون y/x ثابتة دائماً — يمكنك التحقق من قيمة k بقسمة أي y معطاة على x المقابلة لها.
- 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتناسب تكلفة y لشراء x دفتر متطابق طردياً مع x. إذا كلفت 6 دفاتر 24 دولاراً، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد تكلفة 10 دفاتر.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد y = kx وتعويض y = 24، وx = 6 للحصول على k = 4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعداد y = kx وتعويض y = 24، وx = 6 للحصول على k = 4.
- يحدد المتطلب الناقص: كتابة النموذج كـ y = 4x.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 10 للحصول على تكلفة 40 دولاراً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 13.
يتناسب الزمن y اللازم لإنجاز عمل عكسياً مع عدد العمال x. إذا استغرق 8 عمال 5 ساعات، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد الزمن الذي يستغرقه 20 عاملاً.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- إعداد y = k/x وتعويض y = 5، وx = 8 للحصول على k = 40.
- كتابة النموذج كـ y = 40/x.
- تعويض x = 20 للحصول على زمن مقداره ساعتان.
ملاحظة الفاحص: في التناسب العكسي، يكون حاصل الضرب xy ثابتاً دائماً — يعني المزيد من العمال دائماً وقتاً أقل، لا أكثر أبداً.
- 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتناسب الزمن y اللازم لإنجاز عمل عكسياً مع عدد العمال x. إذا استغرق 8 عمال 5 ساعات، أوجد ثابت التناسب، واستخدمه لإيجاد الزمن الذي يستغرقه 20 عاملاً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعداد y = k/x وتعويض y = 5، وx = 8 للحصول على k = 40.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعداد y = k/x وتعويض y = 5، وx = 8 للحصول على k = 40.
- يحدد المتطلب الناقص: كتابة النموذج كـ y = 40/x.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 20 للحصول على زمن مقداره ساعتان.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 15.
يفرض مرآب سيارات رسوماً وفق الدالة المجزأة C(h) = 5 إذا 0 < h ≤ 1، وC(h) = 5 + 3(h − 1) إذا h > 1، حيث h عدد ساعات الركن وC التكلفة بالدولار. احسب تكلفة الركن لـ (أ) ساعة واحدة، و(ب) 4 ساعات.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- تحديد أن h = 1 تقع في الجزء الأول، فتعطي تكلفة 5 دولارات.
- تحديد أن h = 4 تقع في الجزء الثاني.
- تعويض h = 4 في C(h) = 5 + 3(h−1) للحصول على تكلفة 14 دولاراً.
ملاحظة الفاحص: تحقق دائماً من الشرط الذي تحققه قيمة إدخال قبل تعويضها في دالة مجزأة — استخدام الجزء الخاطئ هو الخطأ الأكثر شيوعاً.
- 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يفرض مرآب سيارات رسوماً وفق الدالة المجزأة C(h) = 5 إذا 0 < h ≤ 1، وC(h) = 5 + 3(h − 1) إذا h > 1، حيث h عدد ساعات الركن وC التكلفة بالدولار. احسب تكلفة الركن لـ (أ) ساعة واحدة، و(ب) 4 ساعات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن h = 1 تقع في الجزء الأول، فتعطي تكلفة 5 دولارات.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن h = 1 تقع في الجزء الأول، فتعطي تكلفة 5 دولارات.
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن h = 4 تقع في الجزء الثاني.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض h = 4 في C(h) = 5 + 3(h−1) للحصول على تكلفة 14 دولاراً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 17.
حل المعادلة 3e^(2x) = 45 من أجل x، مقرَّباً إجابتك لـ3 أرقام معنوية.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- القسمة على 3 للحصول على e^(2x) = 15.
- أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين للحصول على 2x = ln(15).
- الحصول على x ≈ 1.35.
ملاحظة الفاحص: اعزل الحد الأسي تماماً دائماً قبل أخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين.
- 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة 3e^(2x) = 45 من أجل x، مقرَّباً إجابتك لـ3 أرقام معنوية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «القسمة على 3 للحصول على e^(2x) = 15.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: القسمة على 3 للحصول على e^(2x) = 15.
- يحدد المتطلب الناقص: أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين للحصول على 2x = ln(15).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x ≈ 1.35.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 19.
حل المعادلة log2(x) + log2(x − 2) = 3 من أجل x.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام قانون اللوغاريتمات لدمج الطرف الأيسر: log2[x(x − 2)] = 3.
- التحويل إلى الصورة الأسية: x(x − 2) = 2³ = 8.
- إعادة الترتيب إلى x² − 2x − 8 = 0 والتحليل إلى (x − 4)(x + 2) = 0، فيُحصل على x = 4 أو x = −2.
- رفض x = −2 لأن log2(x) تكون غير معرّفة عندها، مما يؤكد أن x = 4 الحل الصالح الوحيد.
ملاحظة الفاحص: تحقق دائماً من الحلول مقابل مجال المعادلة اللوغاريتمية الأصلية — يجب رفض أي قيمة تجعل وسيطة أي لوغاريتم سالبة أو صفراً.
- 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة log2(x) + log2(x − 2) = 3 من أجل x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون اللوغاريتمات لدمج الطرف الأيسر: log2[x(x − 2)] = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون اللوغاريتمات لدمج الطرف الأيسر: log2[x(x − 2)] = 3.
- يحدد المتطلب الناقص: التحويل إلى الصورة الأسية: x(x − 2) = 2³ = 8.
- يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب إلى x² − 2x − 8 = 0 والتحليل إلى (x − 4)(x + 2) = 0، فيُحصل على x = 4 أو x = −2.
- يحدد المتطلب الناقص: رفض x = −2 لأن log2(x) تكون غير معرّفة عندها، مما يؤكد أن x = 4 الحل الصالح الوحيد.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 21.
بمعلومية f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (أ) f(g(2)) و(ب) g(f(2)).
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةنقاط التصحيح
- حساب g(2) = 2² − 3 = 1، ثم f(1) = 2(1) + 1 = 3، فيُحصل على f(g(2)) = 3.
- حساب f(2) = 2(2) + 1 = 5، ثم g(5) = 5² − 3 = 22، فيُحصل على g(f(2)) = 22.
- ملاحظة أن f(g(2)) ≠ g(f(2))، مما يؤكد أن تركيب الدوال ليس تبديلياً عموماً.
ملاحظة الفاحص: قيّم الدالة الأعمق أولاً دائماً في التركيب — تعني f(g(x)) تطبيق g أولاً، ثم تطبيق f على الناتج.
- 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بمعلومية f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (أ) f(g(2)) و(ب) g(f(2)).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب g(2) = 2² − 3 = 1، ثم f(1) = 2(1) + 1 = 3، فيُحصل على f(g(2)) = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبةنقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب g(2) = 2² − 3 = 1، ثم f(1) = 2(1) + 1 = 3، فيُحصل على f(g(2)) = 3.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب f(2) = 2(2) + 1 = 5، ثم g(5) = 5² − 3 = 22، فيُحصل على g(f(2)) = 22.
- يحدد المتطلب الناقص: ملاحظة أن f(g(2)) ≠ g(f(2))، مما يؤكد أن تركيب الدوال ليس تبديلياً عموماً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 23.
أوجد الدالة العكسية f⁻¹(x) لـ f(x) = (3x − 2)/5، وتحقق من إجابتك بإيجاد f⁻¹(f(4)).
[4 درجة] · بدون آلة حاسبةنقاط التصحيح
- وضع y = (3x − 2)/5 وتبديل x وy لبدء حل الدالة العكسية.
- إعادة الترتيب للحصول على f⁻¹(x) = (5x + 2)/3.
- حساب f(4) = (3(4) − 2)/5 = 2.
- حساب f⁻¹(2) = (5(2) + 2)/3 = 4، مؤكداً أن f⁻¹(f(4)) = 4 كما هو متوقع.
ملاحظة الفاحص: يجب أن تحقق الدالة العكسية الصحيحة دائماً f⁻¹(f(x)) = x — استخدم ذلك تحققاً سريعاً على أي دالة عكسية تجدها.
- 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الدالة العكسية f⁻¹(x) لـ f(x) = (3x − 2)/5، وتحقق من إجابتك بإيجاد f⁻¹(f(4)).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع y = (3x − 2)/5 وتبديل x وy لبدء حل الدالة العكسية.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبةنقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع y = (3x − 2)/5 وتبديل x وy لبدء حل الدالة العكسية.
- يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على f⁻¹(x) = (5x + 2)/3.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب f(4) = (3(4) − 2)/5 = 2.
- يحدد المتطلب الناقص: حساب f⁻¹(2) = (5(2) + 2)/3 = 4، مؤكداً أن f⁻¹(f(4)) = 4 كما هو متوقع.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 25.
يتنبأ نموذج بعدد زوار متحف بالعلاقة V(x) = 100√(20 − x)، حيث x سعر الدخول بالدولار. اشرح لماذا ينبغي تقييد مجال هذا النموذج إلى 0 ≤ x ≤ 20 في هذا السياق الواقعي.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبةنقاط التصحيح
- يشرح أن x لا يمكن أن تكون سالبة، لأن سعر الدخول لا يمكن أن يكون أقل من صفر، فيُعطى الحد الأدنى x ≥ 0.
- يشرح أن x لا يمكن أن تتجاوز 20، لأن المقدار تحت الجذر التربيعي سيصبح سالباً (غير معرَّف للأعداد الحقيقية)، فيُعطى الحد الأعلى x ≤ 20.
ملاحظة الفاحص: ينبغي مراعاة كل من المجال الرياضي للنموذج (حيث تكون الصيغة معرَّفة) ومجاله الواقعي (حيث يكون السياق منطقياً) — وهما يتفقان هنا.
- 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتنبأ نموذج بعدد زوار متحف بالعلاقة V(x) = 100√(20 − x)، حيث x سعر الدخول بالدولار. اشرح لماذا ينبغي تقييد مجال هذا النموذج إلى 0 ≤ x ≤ 20 في هذا السياق الواقعي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يشرح أن x لا يمكن أن تكون سالبة، لأن سعر الدخول لا يمكن أن يكون أقل من صفر، فيُعطى الحد الأدنى x ≥ 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبةنقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: يشرح أن x لا يمكن أن تكون سالبة، لأن سعر الدخول لا يمكن أن يكون أقل من صفر، فيُعطى الحد الأدنى x ≥ 0.
- يحدد المتطلب الناقص: يشرح أن x لا يمكن أن تتجاوز 20، لأن المقدار تحت الجذر التربيعي سيصبح سالباً (غير معرَّف للأعداد الحقيقية)، فيُعطى الحد الأعلى x ≤ 20.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 27.
يُحوَّل الرسم البياني لـ y = x² إلى الرسم البياني لـ y = (x − 3)² + 2. صف التحويلين المطبقين، وحدد إحداثيي رأس الرسم البياني المحوَّل.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبةنقاط التصحيح
- وصف انتقال أفقي 3 وحدات لليمين، وانتقال رأسي وحدتين لأعلى.
- تحديد رأس الرسم البياني المحوَّل بـ (3, 2).
ملاحظة الفاحص: بالنسبة لـ y = (x − h)² + k، ينتقل الرأس إلى (h, k) — لاحظ أن الإشارة داخل القوسين معاكسة لاتجاه الانتقال الأفقي.
- 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُحوَّل الرسم البياني لـ y = x² إلى الرسم البياني لـ y = (x − 3)² + 2. صف التحويلين المطبقين، وحدد إحداثيي رأس الرسم البياني المحوَّل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وصف انتقال أفقي 3 وحدات لليمين، وانتقال رأسي وحدتين لأعلى.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبةنقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وصف انتقال أفقي 3 وحدات لليمين، وانتقال رأسي وحدتين لأعلى.
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد رأس الرسم البياني المحوَّل بـ (3, 2).
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 29.
يُنمذج ارتفاع المد في ميناء، h متراً، بعد t ساعة من منتصف الليل بالعلاقة h(t) = 5 + 3sin(πt/6). (أ) حدد السعة والدور لهذا النموذج. (ب) احسب ارتفاع المد عند t = 3 ساعات.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- تحديد السعة بـ3 أمتار.
- استخدام الدور = 2π ÷ (π/6) للحصول على دور مقداره 12 ساعة.
- تعويض t = 3 في h(t).
- الحصول على h(3) = 8 أمتار.
ملاحظة الفاحص: بالنسبة لـ h(t) = a + b·sin(ct)، السعة هي |b|، والانتقال الرأسي هو a، والدور هو 2π/c — حدد كل معامل على حدة قبل التفسير.
- 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج ارتفاع المد في ميناء، h متراً، بعد t ساعة من منتصف الليل بالعلاقة h(t) = 5 + 3sin(πt/6). (أ) حدد السعة والدور لهذا النموذج. (ب) احسب ارتفاع المد عند t = 3 ساعات.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد السعة بـ3 أمتار.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد السعة بـ3 أمتار.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام الدور = 2π ÷ (π/6) للحصول على دور مقداره 12 ساعة.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 3 في h(t).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على h(3) = 8 أمتار.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 31.
أوجد إحداثيي نقطتي تقاطع المستقيم y = 2x + 1 والمنحنى y = x² − 4x + 5.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- مساواة تعبيري y: 2x + 1 = x² − 4x + 5.
- إعادة الترتيب للحصول على x² − 6x + 4 = 0.
- استخدام الصيغة التربيعية (أو الآلة الحاسبة) للحصول على x ≈ 5.24 أو x ≈ 0.764.
- تعويض كل قيمة x في y = 2x + 1.
- تحديد نقطتي التقاطع بـ (5.24, 11.5) و(0.764, 2.53) تقريباً.
ملاحظة الفاحص: عوّض دائماً في المعادلة الأبسط (الخطية) لإيجاد كل قيمة y، بدلاً من المعادلة التربيعية الأكثر تعقيداً.
- 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد إحداثيي نقطتي تقاطع المستقيم y = 2x + 1 والمنحنى y = x² − 4x + 5.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مساواة تعبيري y: 2x + 1 = x² − 4x + 5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: مساواة تعبيري y: 2x + 1 = x² − 4x + 5.
- يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على x² − 6x + 4 = 0.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام الصيغة التربيعية (أو الآلة الحاسبة) للحصول على x ≈ 5.24 أو x ≈ 0.764.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض كل قيمة x في y = 2x + 1.
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد نقطتي التقاطع بـ (5.24, 11.5) و(0.764, 2.53) تقريباً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.