التفاضل والتكامل التمهيدي

تصنيف الأوراق هنا غير رسمي وأعددناه بأنفسنا، ونطبّقه فقط حيث يطابق شكل السؤال فعلاً اتفاقية ورقة حقيقية (مثل تقسيم رياضيات IB AA بين بدون آلة حاسبة وبآلة حاسبة). لا يمثل توزيع الأوراق أو ترقيمها الرسمي في الامتحان الفعلي، والأسئلة غير المؤكدة تُصنَّف كـ«تدريب عام».

• 1أوجد مشتقة f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x، ومن ثم أوجد f'(2).نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 2تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مشتقة f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x، ومن ثم أوجد f'(2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة القوة على كل حد للحصول على f'(x) = 12x³ − 4x + 5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 3يمر المنحنى y = x² − 3x + 1 بالنقطة التي عندها x = 4. أوجد معادلة المماس للمنحنى عند هذه النقطة.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 4تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر المنحنى y = x² − 3x + 1 بالنقطة التي عندها x = 4. أوجد معادلة المماس للمنحنى عند هذه النقطة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب y(4) = 4² − 3(4) + 1 = 5، فتُعطى النقطة (4, 5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 5أوجد النقاط الساكنة لـ f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2، واستخدم المشتقة الثانية لتحديد ما إذا كانت كل منها عظمى محلية أم صغرى محلية.نمط الورقة 2صعب6 درجاتآلة حاسبة+
• 6تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد النقاط الساكنة لـ f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2، واستخدم المشتقة الثانية لتحديد ما إذا كانت كل منها عظمى محلية أم صغرى محلية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على f'(x) = 3x² − 12x + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحصعب6 درجاتآلة حاسبة+
• 7تُنمذج أرباح شركة، بآلاف الدولارات، من بيع x وحدة بالعلاقة P(x) = −2x² + 80x − 200. أوجد عدد الوحدات الذي يُعظّم الربح، وأوجد الربح الأعظم.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 8تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج أرباح شركة، بآلاف الدولارات، من بيع x وحدة بالعلاقة P(x) = −2x² + 80x − 200. أوجد عدد الوحدات الذي يُعظّم الربح، وأوجد الربح الأعظم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على P'(x) = −4x + 80.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 9تُنمذج كمية الماء في خزان، باللترات، بالعلاقة V(t) = 100 − 5t²، حيث t الزمن بالدقائق. أوجد معدل تغير الحجم عند t = 3 دقائق، وفسّر إشارة إجابتك.نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 10تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج كمية الماء في خزان، باللترات، بالعلاقة V(t) = 100 − 5t²، حيث t الزمن بالدقائق. أوجد معدل تغير الحجم عند t = 3 دقائق، وفسّر إشارة إجابتك.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على V'(t) = −10t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 11استخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق f(x) = (3x + 1)⁴، وأوجد f'(1).نمط الورقة 1سهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 12تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق f(x) = (3x + 1)⁴، وأوجد f'(1).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة السلسلة: f'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحسهل3 درجاتآلة حاسبة+
• 13استخدم قاعدة الضرب لاشتقاق f(x) = x²(2x + 3)، وأوجد f'(2).نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 14تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة الضرب لاشتقاق f(x) = x²(2x + 3)، وأوجد f'(2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة الضرب بـ u = x²، v = (2x + 3): f'(x) = 2x(2x + 3) + x²(2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 15استخدم قاعدة القسمة لاشتقاق f(x) = (2x + 1)/(x − 3)، وأوجد f'(5).نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 16تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة القسمة لاشتقاق f(x) = (2x + 1)/(x − 3)، وأوجد f'(5).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة القسمة بـ u = 2x + 1، v = x − 3: f'(x) = [2(x−3) − (2x+1)(1)]/(x−3)².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 17احسب التكامل المحدد ∫₀³ (3x² − 4x + 2) dx.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 18تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب التكامل المحدد ∫₀³ (3x² − 4x + 2) dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الدالة الأصلية x³ − 2x² + 2x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 19أوجد المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² والمحور السيني، بين x = −2 وx = 2.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 20تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² والمحور السيني، بين x = −2 وx = 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن المساحة تُعطى بـ ∫₋₂² (4 − x²) dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 21يتحرك جسيم بسرعة v(t) = 6t² − 4t م/ث. أوجد إزاحة الجسيم بين t = 1 وt = 3 ثوانٍ.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 22تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتحرك جسيم بسرعة v(t) = 6t² − 4t م/ث. أوجد إزاحة الجسيم بين t = 1 وt = 3 ثوانٍ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الإزاحة هي التكامل المحدد للسرعة: ∫₁³ (6t² − 4t) dt.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 23تُعطى إزاحة جسيم بالعلاقة s(t) = t³ − 6t² + 9t. أوجد سرعة الجسيم وتسارعه عند t = 2 ثانية.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 24تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُعطى إزاحة جسيم بالعلاقة s(t) = t³ − 6t² + 9t. أوجد سرعة الجسيم وتسارعه عند t = 2 ثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرة للحصول على السرعة v(t) = 3t² − 12t + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 25تُنمذج تكلفة إنتاج x وحدة، بالدولار، بالعلاقة C(x) = 0.01x³ − 0.6x² + 13x + 100. أوجد التكلفة الحدية عند x = 10، وفسّر معناها.نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 26تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج تكلفة إنتاج x وحدة، بالدولار، بالعلاقة C(x) = 0.01x³ − 0.6x² + 13x + 100. أوجد التكلفة الحدية عند x = 10، وفسّر معناها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على C'(x) = 0.03x² − 1.2x + 13.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 27لدى مزارع 200 متر من السياج لتسييج حقل مستطيل. ليكن العرض x متراً. (أ) عبّر عن مساحة الحقل A بدلالة x. (ب) أوجد قيمة x التي تُعظّم المساحة، وأوجد المساحة العظمى.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 28تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لدى مزارع 200 متر من السياج لتسييج حقل مستطيل. ليكن العرض x متراً. (أ) عبّر عن مساحة الحقل A بدلالة x. (ب) أوجد قيمة x التي تُعظّم المساحة، وأوجد المساحة العظمى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام شرط المحيط 2x + 2(الطول) = 200 للتعبير عن الطول بـ 100 − x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 29أوجد نقطتي الانعطاف للمنحنى f(x) = x⁴ − 8x²، باستخدام المشتقة الثانية.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 30تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد نقطتي الانعطاف للمنحنى f(x) = x⁴ − 8x²، باستخدام المشتقة الثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 16.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 31أوجد القيمة المتوسطة للدالة f(x) = x² + 1 على الفترة [0, 4].نمط الورقة 2متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 32تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد القيمة المتوسطة للدالة f(x) = x² + 1 على الفترة [0, 4].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة القيمة المتوسطة: (1/(4−0)) ∫₀⁴ (x² + 1) dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتآلة حاسبة+