الرياضيات: التطبيقات والتفسير SL
التفاضل والتكامل التمهيدي — الموضوع 5
- 1.
أوجد مشتقة f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x، ومن ثم أوجد f'(2).
[3 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مشتقة f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x، ومن ثم أوجد f'(2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة القوة على كل حد للحصول على f'(x) = 12x³ − 4x + 5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 3.
يمر المنحنى y = x² − 3x + 1 بالنقطة التي عندها x = 4. أوجد معادلة المماس للمنحنى عند هذه النقطة.
[4 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر المنحنى y = x² − 3x + 1 بالنقطة التي عندها x = 4. أوجد معادلة المماس للمنحنى عند هذه النقطة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب y(4) = 4² − 3(4) + 1 = 5، فتُعطى النقطة (4, 5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 5.
أوجد النقاط الساكنة لـ f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2، واستخدم المشتقة الثانية لتحديد ما إذا كانت كل منها عظمى محلية أم صغرى محلية.
[6 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد النقاط الساكنة لـ f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2، واستخدم المشتقة الثانية لتحديد ما إذا كانت كل منها عظمى محلية أم صغرى محلية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على f'(x) = 3x² − 12x + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 7.
تُنمذج أرباح شركة، بآلاف الدولارات، من بيع x وحدة بالعلاقة P(x) = −2x² + 80x − 200. أوجد عدد الوحدات الذي يُعظّم الربح، وأوجد الربح الأعظم.
[4 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج أرباح شركة، بآلاف الدولارات، من بيع x وحدة بالعلاقة P(x) = −2x² + 80x − 200. أوجد عدد الوحدات الذي يُعظّم الربح، وأوجد الربح الأعظم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على P'(x) = −4x + 80.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 9.
تُنمذج كمية الماء في خزان، باللترات، بالعلاقة V(t) = 100 − 5t²، حيث t الزمن بالدقائق. أوجد معدل تغير الحجم عند t = 3 دقائق، وفسّر إشارة إجابتك.
[3 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج كمية الماء في خزان، باللترات، بالعلاقة V(t) = 100 − 5t²، حيث t الزمن بالدقائق. أوجد معدل تغير الحجم عند t = 3 دقائق، وفسّر إشارة إجابتك.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على V'(t) = −10t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 11.
استخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق f(x) = (3x + 1)⁴، وأوجد f'(1).
[3 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق f(x) = (3x + 1)⁴، وأوجد f'(1).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة السلسلة: f'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 13.
استخدم قاعدة الضرب لاشتقاق f(x) = x²(2x + 3)، وأوجد f'(2).
[4 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة الضرب لاشتقاق f(x) = x²(2x + 3)، وأوجد f'(2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة الضرب بـ u = x²، v = (2x + 3): f'(x) = 2x(2x + 3) + x²(2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 15.
استخدم قاعدة القسمة لاشتقاق f(x) = (2x + 1)/(x − 3)، وأوجد f'(5).
[4 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة القسمة لاشتقاق f(x) = (2x + 1)/(x − 3)، وأوجد f'(5).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة القسمة بـ u = 2x + 1، v = x − 3: f'(x) = [2(x−3) − (2x+1)(1)]/(x−3)².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 17.
احسب التكامل المحدد ∫₀³ (3x² − 4x + 2) dx.
[4 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب التكامل المحدد ∫₀³ (3x² − 4x + 2) dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الدالة الأصلية x³ − 2x² + 2x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 19.
أوجد المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² والمحور السيني، بين x = −2 وx = 2.
[4 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² والمحور السيني، بين x = −2 وx = 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن المساحة تُعطى بـ ∫₋₂² (4 − x²) dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 21.
يتحرك جسيم بسرعة v(t) = 6t² − 4t م/ث. أوجد إزاحة الجسيم بين t = 1 وt = 3 ثوانٍ.
[4 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتحرك جسيم بسرعة v(t) = 6t² − 4t م/ث. أوجد إزاحة الجسيم بين t = 1 وt = 3 ثوانٍ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الإزاحة هي التكامل المحدد للسرعة: ∫₁³ (6t² − 4t) dt.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 23.
تُعطى إزاحة جسيم بالعلاقة s(t) = t³ − 6t² + 9t. أوجد سرعة الجسيم وتسارعه عند t = 2 ثانية.
[4 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُعطى إزاحة جسيم بالعلاقة s(t) = t³ − 6t² + 9t. أوجد سرعة الجسيم وتسارعه عند t = 2 ثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرة للحصول على السرعة v(t) = 3t² − 12t + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 25.
تُنمذج تكلفة إنتاج x وحدة، بالدولار، بالعلاقة C(x) = 0.01x³ − 0.6x² + 13x + 100. أوجد التكلفة الحدية عند x = 10، وفسّر معناها.
[4 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج تكلفة إنتاج x وحدة، بالدولار، بالعلاقة C(x) = 0.01x³ − 0.6x² + 13x + 100. أوجد التكلفة الحدية عند x = 10، وفسّر معناها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على C'(x) = 0.03x² − 1.2x + 13.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 27.
لدى مزارع 200 متر من السياج لتسييج حقل مستطيل. ليكن العرض x متراً. (أ) عبّر عن مساحة الحقل A بدلالة x. (ب) أوجد قيمة x التي تُعظّم المساحة، وأوجد المساحة العظمى.
[5 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لدى مزارع 200 متر من السياج لتسييج حقل مستطيل. ليكن العرض x متراً. (أ) عبّر عن مساحة الحقل A بدلالة x. (ب) أوجد قيمة x التي تُعظّم المساحة، وأوجد المساحة العظمى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام شرط المحيط 2x + 2(الطول) = 200 للتعبير عن الطول بـ 100 − x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 29.
أوجد نقطتي الانعطاف للمنحنى f(x) = x⁴ − 8x²، باستخدام المشتقة الثانية.
[5 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد نقطتي الانعطاف للمنحنى f(x) = x⁴ − 8x²، باستخدام المشتقة الثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 16.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 31.
أوجد القيمة المتوسطة للدالة f(x) = x² + 1 على الفترة [0, 4].
[4 درجة] - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد القيمة المتوسطة للدالة f(x) = x² + 1 على الفترة [0, 4].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة القيمة المتوسطة: (1/(4−0)) ∫₀⁴ (x² + 1) dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]