IB · MATH AI SL

الرياضيات: التطبيقات والتفسير SL

التفاضل والتكامل التمهيدي — الموضوع 5

الاسم: ____________________التاريخ: 2 أكتوبر 2026

1.
أوجد مشتقة f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x، ومن ثم أوجد f'(2).
[3 درجة]
نقاط التصحيح
- تطبيق قاعدة القوة على كل حد للحصول على f'(x) = 12x³ − 4x + 5.
- تعويض x = 2.
- الحصول على f'(2) = 93.
ملاحظة الفاحص: اشتق حداً حداً، بتخفيض كل قوة بمقدار واحد والضرب في الأس الأصلي — يشتق الحد الثابت دائماً إلى صفر.
2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد مشتقة f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x، ومن ثم أوجد f'(2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة القوة على كل حد للحصول على f'(x) = 12x³ − 4x + 5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تطبيق قاعدة القوة على كل حد للحصول على f'(x) = 12x³ − 4x + 5.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 2.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على f'(2) = 93.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
3.
يمر المنحنى y = x² − 3x + 1 بالنقطة التي عندها x = 4. أوجد معادلة المماس للمنحنى عند هذه النقطة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- حساب y(4) = 4² − 3(4) + 1 = 5، فتُعطى النقطة (4, 5).
- الاشتقاق للحصول على y' = 2x − 3، وتقييم الميل عند x = 4 بـ5.
- استخدام صيغة النقطة والميل y − 5 = 5(x − 4).
- التبسيط إلى y = 5x − 15.
ملاحظة الفاحص: يساوي ميل المماس عند نقطة ما قيمة المشتقة عند تلك النقطة — أوجد دائماً كلاً من الإحداثي y والمشتقة قبل تكوين معادلة المماس.
4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر المنحنى y = x² − 3x + 1 بالنقطة التي عندها x = 4. أوجد معادلة المماس للمنحنى عند هذه النقطة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب y(4) = 4² − 3(4) + 1 = 5، فتُعطى النقطة (4, 5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب y(4) = 4² − 3(4) + 1 = 5، فتُعطى النقطة (4, 5).
- يحدد المتطلب الناقص: الاشتقاق للحصول على y' = 2x − 3، وتقييم الميل عند x = 4 بـ5.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام صيغة النقطة والميل y − 5 = 5(x − 4).
- يحدد المتطلب الناقص: التبسيط إلى y = 5x − 15.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
5.
أوجد النقاط الساكنة لـ f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2، واستخدم المشتقة الثانية لتحديد ما إذا كانت كل منها عظمى محلية أم صغرى محلية.
[6 درجة]
نقاط التصحيح
- الاشتقاق للحصول على f'(x) = 3x² − 12x + 9.
- وضع f'(x) = 0 والتبسيط إلى x² − 4x + 3 = 0.
- التحليل للحصول على x = 1 وx = 3.
- إيجاد المشتقة الثانية f''(x) = 6x − 12.
- تقييم f''(1) = −6 < 0، لذا (1, 6) نقطة عظمى محلية.
- تقييم f''(3) = 6 > 0، لذا (3, 2) نقطة صغرى محلية.
ملاحظة الفاحص: اختبار المشتقة الثانية سريع: تؤكد القيمة السالبة وجود نقطة عظمى، وتؤكد القيمة الموجبة وجود نقطة صغرى، فلا حاجة لفحص إشارات الميل على جانبي النقطة.
6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد النقاط الساكنة لـ f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2، واستخدم المشتقة الثانية لتحديد ما إذا كانت كل منها عظمى محلية أم صغرى محلية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على f'(x) = 3x² − 12x + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الاشتقاق للحصول على f'(x) = 3x² − 12x + 9.
- يحدد المتطلب الناقص: وضع f'(x) = 0 والتبسيط إلى x² − 4x + 3 = 0.
- يحدد المتطلب الناقص: التحليل للحصول على x = 1 وx = 3.
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد المشتقة الثانية f''(x) = 6x − 12.
- يحدد المتطلب الناقص: تقييم f''(1) = −6 < 0، لذا (1, 6) نقطة عظمى محلية.
- يحدد المتطلب الناقص: تقييم f''(3) = 6 > 0، لذا (3, 2) نقطة صغرى محلية.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
7.
تُنمذج أرباح شركة، بآلاف الدولارات، من بيع x وحدة بالعلاقة P(x) = −2x² + 80x − 200. أوجد عدد الوحدات الذي يُعظّم الربح، وأوجد الربح الأعظم.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- الاشتقاق للحصول على P'(x) = −4x + 80.
- وضع P'(x) = 0 والحل للحصول على x = 20.
- تأكيد أنها نقطة عظمى لأن P''(x) = −4 < 0.
- تعويض x = 20 في P(x) للحصول على ربح أعظم مقداره 600,000 دولار.
ملاحظة الفاحص: في مسائل الأمثلية، تأكد دائماً من أن النقطة الساكنة عظمى (وليست صغرى) باستخدام المشتقة الثانية قبل ذكر الإجابة النهائية.
8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج أرباح شركة، بآلاف الدولارات، من بيع x وحدة بالعلاقة P(x) = −2x² + 80x − 200. أوجد عدد الوحدات الذي يُعظّم الربح، وأوجد الربح الأعظم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على P'(x) = −4x + 80.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الاشتقاق للحصول على P'(x) = −4x + 80.
- يحدد المتطلب الناقص: وضع P'(x) = 0 والحل للحصول على x = 20.
- يحدد المتطلب الناقص: تأكيد أنها نقطة عظمى لأن P''(x) = −4 < 0.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 20 في P(x) للحصول على ربح أعظم مقداره 600,000 دولار.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
9.
تُنمذج كمية الماء في خزان، باللترات، بالعلاقة V(t) = 100 − 5t²، حيث t الزمن بالدقائق. أوجد معدل تغير الحجم عند t = 3 دقائق، وفسّر إشارة إجابتك.
[3 درجة]
نقاط التصحيح
- الاشتقاق للحصول على V'(t) = −10t.
- تعويض t = 3 للحصول على V'(3) = −30.
- تفسير الإشارة السالبة بأن الحجم يتناقص بمعدل 30 لتراً في الدقيقة عند t = 3.
ملاحظة الفاحص: تخبرك إشارة معدل التغير دائماً بالاتجاه: السالبة تعني التناقص، والموجبة تعني التزايد — اذكر ذلك دائماً في السياق عند وجود تعليمة 'فسّر'.
10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج كمية الماء في خزان، باللترات، بالعلاقة V(t) = 100 − 5t²، حيث t الزمن بالدقائق. أوجد معدل تغير الحجم عند t = 3 دقائق، وفسّر إشارة إجابتك.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على V'(t) = −10t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الاشتقاق للحصول على V'(t) = −10t.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 3 للحصول على V'(3) = −30.
- يحدد المتطلب الناقص: تفسير الإشارة السالبة بأن الحجم يتناقص بمعدل 30 لتراً في الدقيقة عند t = 3.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
11.
استخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق f(x) = (3x + 1)⁴، وأوجد f'(1).
[3 درجة]
نقاط التصحيح
- تطبيق قاعدة السلسلة: f'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
- تعويض x = 1 للحصول على f'(1) = 12(4)³.
- الحصول على f'(1) = 768.
ملاحظة الفاحص: تضرب قاعدة السلسلة دائماً مشتقة الدالة الخارجية في مشتقة الدالة الداخلية — هنا تساهم الدالة الداخلية 3x + 1 بالعامل الإضافي 3.
12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق f(x) = (3x + 1)⁴، وأوجد f'(1).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة السلسلة: f'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تطبيق قاعدة السلسلة: f'(x) = 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 1 للحصول على f'(1) = 12(4)³.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على f'(1) = 768.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
13.
استخدم قاعدة الضرب لاشتقاق f(x) = x²(2x + 3)، وأوجد f'(2).
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- تطبيق قاعدة الضرب بـ u = x²، v = (2x + 3): f'(x) = 2x(2x + 3) + x²(2).
- التبسيط إلى f'(x) = 6x² + 6x.
- تعويض x = 2.
- الحصول على f'(2) = 36.
ملاحظة الفاحص: يمكنك التحقق من نتيجة قاعدة الضرب بتوسيع الدالة الأصلية أولاً والاشتقاق حداً حداً — هنا x²(2x+3) = 2x³ + 3x² يعطي المشتقة نفسها 6x² + 6x.
14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة الضرب لاشتقاق f(x) = x²(2x + 3)، وأوجد f'(2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة الضرب بـ u = x²، v = (2x + 3): f'(x) = 2x(2x + 3) + x²(2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تطبيق قاعدة الضرب بـ u = x²، v = (2x + 3): f'(x) = 2x(2x + 3) + x²(2).
- يحدد المتطلب الناقص: التبسيط إلى f'(x) = 6x² + 6x.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 2.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على f'(2) = 36.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
15.
استخدم قاعدة القسمة لاشتقاق f(x) = (2x + 1)/(x − 3)، وأوجد f'(5).
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- تطبيق قاعدة القسمة بـ u = 2x + 1، v = x − 3: f'(x) = [2(x−3) − (2x+1)(1)]/(x−3)².
- تبسيط البسط إلى −7، فيُعطى f'(x) = −7/(x−3)².
- تعويض x = 5.
- الحصول على f'(5) = −1.75.
ملاحظة الفاحص: في قاعدة القسمة، ترتيب الطرح في البسط مهم: هو (u'v − uv')، وليس (uv' − u'v) — عكسه يقلب إشارة الإجابة بأكملها.
16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم قاعدة القسمة لاشتقاق f(x) = (2x + 1)/(x − 3)، وأوجد f'(5).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة القسمة بـ u = 2x + 1، v = x − 3: f'(x) = [2(x−3) − (2x+1)(1)]/(x−3)².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تطبيق قاعدة القسمة بـ u = 2x + 1، v = x − 3: f'(x) = [2(x−3) − (2x+1)(1)]/(x−3)².
- يحدد المتطلب الناقص: تبسيط البسط إلى −7، فيُعطى f'(x) = −7/(x−3)².
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 5.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على f'(5) = −1.75.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
17.
احسب التكامل المحدد ∫₀³ (3x² − 4x + 2) dx.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- إيجاد الدالة الأصلية x³ − 2x² + 2x.
- التقييم عند الحد الأعلى: 3³ − 2(3²) + 2(3) = 15.
- التقييم عند الحد الأدنى: 0³ − 2(0²) + 2(0) = 0.
- الطرح للحصول على قيمة 15.
ملاحظة الفاحص: زد قوة كل حد بمقدار واحد واقسم على القوة الجديدة لتكامله — ثم اطرح دائماً قيمة الحد الأدنى من قيمة الحد الأعلى.
18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب التكامل المحدد ∫₀³ (3x² − 4x + 2) dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الدالة الأصلية x³ − 2x² + 2x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد الدالة الأصلية x³ − 2x² + 2x.
- يحدد المتطلب الناقص: التقييم عند الحد الأعلى: 3³ − 2(3²) + 2(3) = 15.
- يحدد المتطلب الناقص: التقييم عند الحد الأدنى: 0³ − 2(0²) + 2(0) = 0.
- يحدد المتطلب الناقص: الطرح للحصول على قيمة 15.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
19.
أوجد المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² والمحور السيني، بين x = −2 وx = 2.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- إدراك أن المساحة تُعطى بـ ∫₋₂² (4 − x²) dx.
- إيجاد الدالة الأصلية 4x − x³/3.
- تقييم الدالة الأصلية عند x = 2 وعند x = −2.
- الحصول على مساحة 32/3 ≈ 10.7 وحدة مربعة.
ملاحظة الفاحص: بما أن المنحنى يقع بأكمله فوق المحور السيني في هذه الفترة (4 − x² ≥ 0 لـ −2 ≤ x ≤ 2)، يعطي التكامل المحدد مساحة موجبة مباشرة دون الحاجة لتعديل الإشارة.
20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² والمحور السيني، بين x = −2 وx = 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن المساحة تُعطى بـ ∫₋₂² (4 − x²) dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن المساحة تُعطى بـ ∫₋₂² (4 − x²) dx.
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد الدالة الأصلية 4x − x³/3.
- يحدد المتطلب الناقص: تقييم الدالة الأصلية عند x = 2 وعند x = −2.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة 32/3 ≈ 10.7 وحدة مربعة.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
21.
يتحرك جسيم بسرعة v(t) = 6t² − 4t م/ث. أوجد إزاحة الجسيم بين t = 1 وt = 3 ثوانٍ.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- إدراك أن الإزاحة هي التكامل المحدد للسرعة: ∫₁³ (6t² − 4t) dt.
- إيجاد الدالة الأصلية 2t³ − 2t².
- التقييم عند t = 3 وt = 1.
- الحصول على إزاحة مقدارها 36 متراً.
ملاحظة الفاحص: يعطي تكامل السرعة الإزاحة، ويعطي تكامل التسارع السرعة — ضع هذه السلسلة في اعتبارك عند تحديد ما إذا كان ينبغي الاشتقاق أو التكامل في مسألة حركية.
22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتحرك جسيم بسرعة v(t) = 6t² − 4t م/ث. أوجد إزاحة الجسيم بين t = 1 وt = 3 ثوانٍ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الإزاحة هي التكامل المحدد للسرعة: ∫₁³ (6t² − 4t) dt.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن الإزاحة هي التكامل المحدد للسرعة: ∫₁³ (6t² − 4t) dt.
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد الدالة الأصلية 2t³ − 2t².
- يحدد المتطلب الناقص: التقييم عند t = 3 وt = 1.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على إزاحة مقدارها 36 متراً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
23.
تُعطى إزاحة جسيم بالعلاقة s(t) = t³ − 6t² + 9t. أوجد سرعة الجسيم وتسارعه عند t = 2 ثانية.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- الاشتقاق مرة للحصول على السرعة v(t) = 3t² − 12t + 9.
- تعويض t = 2 للحصول على v(2) = −3 م/ث.
- الاشتقاق مرة أخرى للحصول على التسارع a(t) = 6t − 12.
- تعويض t = 2 للحصول على a(2) = 0 م/ث².
ملاحظة الفاحص: تُظهر السرعة السالبة أن الجسيم يتحرك للخلف لحظياً عند t = 2، بينما يعني التسارع الصفري أن السرعة لا تتزايد ولا تتناقص في تلك اللحظة بالضبط.
24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُعطى إزاحة جسيم بالعلاقة s(t) = t³ − 6t² + 9t. أوجد سرعة الجسيم وتسارعه عند t = 2 ثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرة للحصول على السرعة v(t) = 3t² − 12t + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الاشتقاق مرة للحصول على السرعة v(t) = 3t² − 12t + 9.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 2 للحصول على v(2) = −3 م/ث.
- يحدد المتطلب الناقص: الاشتقاق مرة أخرى للحصول على التسارع a(t) = 6t − 12.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 2 للحصول على a(2) = 0 م/ث².
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
25.
تُنمذج تكلفة إنتاج x وحدة، بالدولار، بالعلاقة C(x) = 0.01x³ − 0.6x² + 13x + 100. أوجد التكلفة الحدية عند x = 10، وفسّر معناها.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- الاشتقاق للحصول على C'(x) = 0.03x² − 1.2x + 13.
- تعويض x = 10.
- الحصول على C'(10) = 4.
- تفسير ذلك بأنه التكلفة التقريبية، 4 دولارات، لإنتاج وحدة إضافية واحدة بعد الوحدة العاشرة.
ملاحظة الفاحص: التكلفة الحدية هي مشتقة دالة التكلفة — وهي تقرّب تكلفة إنتاج وحدة إضافية واحدة عند مستوى الإنتاج الحالي، وليست التكلفة الكلية.
26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج تكلفة إنتاج x وحدة، بالدولار، بالعلاقة C(x) = 0.01x³ − 0.6x² + 13x + 100. أوجد التكلفة الحدية عند x = 10، وفسّر معناها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على C'(x) = 0.03x² − 1.2x + 13.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الاشتقاق للحصول على C'(x) = 0.03x² − 1.2x + 13.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 10.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على C'(10) = 4.
- يحدد المتطلب الناقص: تفسير ذلك بأنه التكلفة التقريبية، 4 دولارات، لإنتاج وحدة إضافية واحدة بعد الوحدة العاشرة.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
27.
لدى مزارع 200 متر من السياج لتسييج حقل مستطيل. ليكن العرض x متراً. (أ) عبّر عن مساحة الحقل A بدلالة x. (ب) أوجد قيمة x التي تُعظّم المساحة، وأوجد المساحة العظمى.
[5 درجة]
نقاط التصحيح
- استخدام شرط المحيط 2x + 2(الطول) = 200 للتعبير عن الطول بـ 100 − x.
- التعبير عن المساحة بـ A(x) = x(100 − x) = 100x − x².
- الاشتقاق ووضع A'(x) = 100 − 2x = 0 للحصول على x = 50.
- تأكيد أنها نقطة عظمى لأن A''(x) = −2 < 0.
- تعويض x = 50 للحصول على مساحة عظمى مقدارها 2,500 م².
ملاحظة الفاحص: عندما يُسيّج محيط ثابت مستطيلاً، تكون المساحة عظمى دائماً عندما يكون المستطيل مربعاً — هنا تؤكد x = 50 والطول 100 − 50 = 50 هذا النمط.
28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لدى مزارع 200 متر من السياج لتسييج حقل مستطيل. ليكن العرض x متراً. (أ) عبّر عن مساحة الحقل A بدلالة x. (ب) أوجد قيمة x التي تُعظّم المساحة، وأوجد المساحة العظمى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام شرط المحيط 2x + 2(الطول) = 200 للتعبير عن الطول بـ 100 − x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام شرط المحيط 2x + 2(الطول) = 200 للتعبير عن الطول بـ 100 − x.
- يحدد المتطلب الناقص: التعبير عن المساحة بـ A(x) = x(100 − x) = 100x − x².
- يحدد المتطلب الناقص: الاشتقاق ووضع A'(x) = 100 − 2x = 0 للحصول على x = 50.
- يحدد المتطلب الناقص: تأكيد أنها نقطة عظمى لأن A''(x) = −2 < 0.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 50 للحصول على مساحة عظمى مقدارها 2,500 م².
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
29.
أوجد نقطتي الانعطاف للمنحنى f(x) = x⁴ − 8x²، باستخدام المشتقة الثانية.
[5 درجة]
نقاط التصحيح
- الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 16.
- وضع f''(x) = 0 والحل للحصول على x² = 4/3.
- الحصول على x ≈ ±1.15.
- تعويض كل قيمة x في f(x) للحصول على y ≈ −8.89 عند النقطتين كلتيهما، بسبب تناظر الدالة الزوجية.
- تحديد نقطتي الانعطاف بـ (1.15, −8.89) و(−1.15, −8.89) تقريباً.
ملاحظة الفاحص: تحدث نقطة الانعطاف حيث تتغير إشارة المشتقة الثانية — يحدد حل f''(x) = 0 المرشحين فقط، لكن لدالة كثيرة حدود ملساء كهذه، يكون تغير الإشارة الحقيقي مضموناً عند كل جذر بسيط.
30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد نقطتي الانعطاف للمنحنى f(x) = x⁴ − 8x²، باستخدام المشتقة الثانية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 16.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الاشتقاق مرتين للحصول على f''(x) = 12x² − 16.
- يحدد المتطلب الناقص: وضع f''(x) = 0 والحل للحصول على x² = 4/3.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x ≈ ±1.15.
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض كل قيمة x في f(x) للحصول على y ≈ −8.89 عند النقطتين كلتيهما، بسبب تناظر الدالة الزوجية.
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد نقطتي الانعطاف بـ (1.15, −8.89) و(−1.15, −8.89) تقريباً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
31.
أوجد القيمة المتوسطة للدالة f(x) = x² + 1 على الفترة [0, 4].
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- استخدام صيغة القيمة المتوسطة: (1/(4−0)) ∫₀⁴ (x² + 1) dx.
- إيجاد الدالة الأصلية x³/3 + x.
- تقييم التكامل بـ (64/3 + 4) − 0 = 76/3.
- القسمة على 4 للحصول على قيمة متوسطة تقارب 6.33.
ملاحظة الفاحص: القيمة المتوسطة لدالة على فترة هي التكامل المحدد مقسوماً على طول الفترة — وهذا المناظر المستمر لحساب متوسط قائمة من الأعداد.
32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد القيمة المتوسطة للدالة f(x) = x² + 1 على الفترة [0, 4].» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة القيمة المتوسطة: (1/(4−0)) ∫₀⁴ (x² + 1) dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]
نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة القيمة المتوسطة: (1/(4−0)) ∫₀⁴ (x² + 1) dx.
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد الدالة الأصلية x³/3 + x.
- يحدد المتطلب الناقص: تقييم التكامل بـ (64/3 + 4) − 0 = 76/3.
- يحدد المتطلب الناقص: القسمة على 4 للحصول على قيمة متوسطة تقارب 6.33.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.